资源简介

2024年中考数学高频考点突破——圆的综合题
1．如图，线段AB为的直径，点C、E在上，弧BC=弧CE，连接BE、CE，过点C作CM∥BE交AB的延长线于点M.
（1）求证：直线CM是圆O的切线；
（2）若sin∠ABE= ，BM=4，求圆O的半径.
2．如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB ，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD＋CE与AF的数量关系并说明理由．
3．如图，已知圆 的直径 与弦 交于点 ，连接 ， 且 ．
（1）求证：
（2）点 为弧 上一点，连接 交 于点 ，交 于点 ，若 ，求证：
4．如图，在菱形 中， 是对角线 上一点（ ）， ，垂足为 ，以 为半径的 分别交 于点 ，交 的延长线于点 ， 与 交于点 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 是 的中点， ， .
①求 的长；
②求 的长.
5．如图，已知以为斜边的内接于，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：为的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
6．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A．
（1）⊙的周长等于　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ▲ ．
7．已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若等边△ABC的边长为8，求由 、DF、EF围成的阴影部分面积
8．如图， 是 的直径，C为 上一点，连接 ， 于点 ，D是直径 延长线上一点，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长.
9．如图， 是 的弦，半径 ，交 于点 为 延长线上一点， 与 相切于点 与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
10．如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧ABC的中点.
（1）如图①，求证：OP∥BC；
（2）如图②，PC交AB于点D，当△ODC是等腰三角形时，求∠PAO的度数.
11．已知， 内接于圆O，过点C作 的垂线，垂足为点E，交圆O于点D．
（1）如图1，连接 ，求证： ；
（2）如图2，过点O作 的垂线，垂足为G，交 于F，若 ，求证 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 交 于点M，过点B作 的垂线交 于点N，垂足为H，连接 ，若 ， ，求 的长．
12．如图，在 中，点A、B、C在 上，射线 交 于点H，弧 弧 ．
（1）求证 ；
（2）如图，延长 交 于点D，E为 上一点，且弧 弧 ，点F在 上， 于点G， 于点K，若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，连接 并延长交 于点W，若 ， ， ，求 的长．
13．如图，在 中，直径 与弦 互相垂直，垂足为H，点E是弧 上一点，连接 ，过点E作直线 交 的延长线于点M，交 的延长线于点G，连接 交 于点F，且 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ， ，求 的值.
14．已知AB、CD为 的两条弦， ．
（1）如图1，求证：弧 弧BD；
（2）如图2，连接AC、BC、OA、BD，弦BC与半径OA相交于点G，延长AO交CD于点E，连接BE，使 ，若 ，求证：四边形ABEC为菱形；
（3）在（2）的条件下，CH与 相切于点C，连接CO并延长交BE于点F，延长BE交CH于点H， ， ，求CH长．
15．如图，AB是O的直径，C、D是O上两点，且，过点D的直线交
AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是O的切线；
（2）若，O的半径为2，求阴影部分的面积：
（3）连接BE，在（2）的条件下，求BE的长．
16．如图，⊙O是的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得．过点A作于点E，交⊙O于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若，，则AE的长为　 　．
17．如图，已知为的直径，点为的中点，点在上，连接、、、、与相交于点.
（1）求证：；
（2）如图2，过点C作的垂线，分别与，，相交于点F、G、H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积等于3，求的长.
18．已知：是的直径，弦，垂足为E，点H是上一点，连接并延长交于点G，交于点F，连接、、．
（1）如图1．求证：；
（2）如图2，过A作交于点M，连接，求证；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点N，连接，若，，，求的面积．
19．如图，是⊙O的内接三角形，于点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．
（1）求证：；
（2）若，，求AD的长；
（3）若点G是AB的中点，当点O在DG上时，探究BF与FD存在的数量关系，并说明理由．
20．如图，已知的半径为1，P是平面内一点.
（1）如图①，若，过点P作的两条切线、，切点分别为E、F，连接.则　 　，　 　.
（2）若点M、N是上两点，且存在，则规定点P为的“直角点”.
①如图②，已知平面内有一点D，，试说明点D是的“直角点”.
②如图③，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，若线段上所有点都是半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标.
21．M（﹣1，﹣ ），N（1，﹣ ）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．
（1）在点 ， ， ，A4（2，2）中，线段MN的可视点为　 　；
（2）若点B是直线y＝x+ 上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．
22．已知钝角三角形ABC内接于00，E、D分别为AC、BC的中点，连接DE．
（1）如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：DE= AC．
（2）如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当AB+AC=2AG时．
①求证：△DEG是等腰三角形；
②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH求证：AH∥FG．
23．如图
[问题探究]
（1）如图1， ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段和AD和AB上的两个动点，连接CE，EF.则CE+EF的最小值为　 　；
（2）如图2，⊙O为 ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC.将 ACD绕点C逆时针旋转得到 BCE.若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
（3）如图3，⊙O为等边 ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 上运动（不与点A，B重合），
连接DA.DB，DC.设线段DC的长为x.四边形ADBC的面积为S.
①求S与x的函数关系式；
②若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含瑞点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置. DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化.求所有t值中的最大值，并求此时四边形ADBC的面积S.
24．已知，为的直径，弦与交于点E，点A为弧的中点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点F为弧上一点，连接，，，过点C作交于点G，求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点L，连接，若，，求线段的长．
25．如图13-1至图13-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
①如图13-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB=c时，⊙O恰好自转1周．
②如图13-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转 周．
（1）实践应用：
在阅读理解的①中，若AB = 2c，则⊙O自转　 　周；若AB=1，则⊙O自转　 　周．在阅读理解的②中，若∠ABC = 120°，则⊙O在点B处自转　 　周；若∠ABC = 60°，则⊙O在点B处自转　 　周．
（2）如图13-3，∠ABC=90°，AB=BC= c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转　 　周．
（3）拓展联想：
如图13-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．
（4）如图13-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：连接OE，OC
∵弧BC=弧CE
∴OC⊥BE
∵CM∥BE
∴OC⊥CM
∴直线CM是圆O的切线
（2）解：设半径为r
∵CM∥BE
∴∠CMO=∠ABE
在Rt△OCM中
sin∠CMO= =sin∠ABE=
∴圆O的半径是6
【解析】【分析】（1）连接OE，OC，根据垂径定理可得OC⊥BE，利用平行线的性质可得OC⊥CM，即证直线CM是圆O的切线 .
（2）设半径为r，根据两直线平行同位角相等可得∠CMO=∠ABE，由sin∠CMO= =sin∠ABE= ，即可求出r值.
2．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵tanB ，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵ ，
∴ ，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵ ，
∴ ，
∴OC ，
故⊙O的半径为 ；
（3）解：如图，连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF＋BD＝CE＋BD．
【解析】【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；
（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．
3．【答案】（1）证明：如图：连接OC、OD
∵在△AOC和△AOD中
OA=OA,AC=AD,OC=OD
∴△AOC≌△AOD
∴∠CAO=∠DAO
又∵AC=AD
∴
（2）证明：如图：连接OC、BC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∵
∴∠AEC=90°
∴∠CAE+∠ABC =90°, ∠CAE+∠ACE =90°
∴∠ACE=∠ABC
∵OC=OB
∴∠OCB=∠ABC
∴∠CAB+∠ABC =90°, ∠OCA+∠OCB =90°
∴∠OAB=∠OCA
∵
∴∠ACE=∠GWC
∴∠ABC=∠GWC
∴∠OCA+∠GWC =∠OAB +∠CAB= 90°, 即OC⊥BE
∴
【解析】【分析】（1）连接OC、OD，先证明△AOC≌△AOD,得到∠CAO=∠DAO,再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；（2）连接OC、BC，先根据圆周角定理和直角三角形的性质求得:∠ABC=∠ACE,再根据直角三角形的性质证得OC⊥BF,然后证得∠EOC=∠BOC即可完成证明．
4．【答案】（1）证明：如图，过点 作 于点 ，
∵ 是菱形 的对角线，
∴ ，
∵ ， ，
∴∠OEB=∠OMB=90 ，
∵OB=OB，
∴△OEB≌△OMB（AAS）
∴ ，
∴ 是 的切线
（2）解：①如图，
∵ 是 的中点， ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴由弧长公式，得到 的长： .
②方法一：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵DG//NE，DN//GE，∠GEN=90
∴四边形 是矩形，
∴ ，BN=3，OE=4，DN=6，
在菱形 中，AD=AB，在 中，设 ，
∴ ，
∴ .
方法二：如图，过 作 于点 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
，
∴
【解析】【分析】（1）过点O作OM⊥BC于点M，利用菱形的性质可证得∠ABD=∠CBD，再利用AAS证明OEB≌△OMB，利用全等三角形的对应角相等，可证得OE=OM，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）①利用三角形的中位线定理可得到PG与OH之间的数量关系，再利用解直角三角形求出∠GHO的度数，利用直角三角形的性质求出OH的长，然后利用弧长公式求出弧HE的长；② 方法一：如图，过点 作 于点 ，易证△ODG∽△OBE，利用相似三角形的额对应边成比例，可得两三角形的相似比，可推出BE=2DG；再证明四边形NEGD是矩形，利用矩形的性质求出相关线段的长，设AD=AB=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值；方法二： 如图，过 作 于点 ，分别求出OD，OB，DN的长；再证明△DOG∽△DAN，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD的长.
5．【答案】（1）证明：如图①，连接．
∵为的直径，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴为的切线．
（2）证明：由（1）可得为等腰直角三角形．
∵，
∴，．
∴．
∴
即．
又，
∴．
（3）解：如图②，过点D作交的延长线于点G．
∴，．
又，
∴
∵，，
∴．
∴，．
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴设，则．
∴，．
即，．
∴．
【解析】【分析】（1）先证明，再结合可得，即可得到为的切线；
（2）先证明可得，即，再结合，即可得到；
（3）过点D作交的延长线于点G，先证明为等腰直角三角形，可得，再结合，设，则，列出方程，求出x的值，即可得到。
6．【答案】（1）
（2）解：如图：
；
延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【解析】【解答】（1）∵⊙的半径为：，
∴⊙的周长，
故答案为：
（2）如图：∵，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵过圆心， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求．
【分析】（1）先利用勾股定理求出OA的长，再利用圆的周长公式求解即可；
（2）根据要求作出图象即可。
7．【答案】（1）证明：如图，连接CD、OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB
又∵△ABC是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BO=CO，
∴DO是△ABC的中位线
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线
（2）解：连接OE、作OG⊥AC于点G，
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴四边形OGFD是矩形，
∴FG=OD=4，
∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，
∴△OBD和△OCE均为等边三角形，
∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，
∴EG= CE=2、DF=OG=OCsin60°=2 ，∠DOE=60°，
∴EF=FG﹣EG=2，
则阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE
= ×（2+4）×2 ﹣
=6 ﹣ .
【解析】【分析】（1）
如图，连接CD、OD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠CDB=90°，即CD⊥AB.根据等边三角形三线合一可得AD=BD，利用三角形中位线定理可得OD∥AC，由DF⊥AC， 可得
DF⊥OD，即证DF是⊙O的切线.
（2）
连接OE、作OG⊥AC于点G，可证四边形OGFD是矩形，利用矩形的性质可得FG=OD=4 .
根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△OBD和△OCE均为等边三角形，从而可得∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4 ，利用等边三角形的性质及解直角三角形可得EG=2，OF=
， ∠DOE=60° .由阴影部分面积=S梯形EFDO﹣S扇形DOE分别代入相应数据计算即可.
8．【答案】（1）证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）解： ，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，结合已知根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD，可证∠DCO=90°，根据圆的切线的判定可求解；
（2）由（1）的结论可得tanA==tan∠BCE=；根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ACD∽△CBD，于是可得比例式，则CD可求解.
9．【答案】（1）证明：连接 ．
，
．
与 相切于点 ，
，
．
，
，
．
，
，
．
（2）解：过点 作 于点 ．
，
．
，
∴四边形OCHB是正方形，
∴BH=CH，
∵BH2+CH2=BC2，BC= ，
∴BH=CH=3，
在 中， ，
∴PF=PC=3+4=7， ，
．
【解析】【分析】（1）连接 ，根据切线的性质及，可知，从而可知 ．由对顶角的性质得出 ，可得出；
（2） 过点 作 于点 ，由 ，得出四边形OCHB是正方形，在 中，可得出PH的值，得出PF=PC=3+4=7及BP的值，由此得出FB的值。
10．【答案】（1）证明：连结AC,延长PO交AC于H,
P是弧ABC的中点,
PH⊥AC,
AB是⊙O的直径,
∠ACB=90°
BC⊥AC,
OP||BC
（2）解： P是弧ABC的中点，
PA=PC,
∠PAC=∠PCA,
OA=OC
∠OAC=∠OCA,
∠PAO=∠PCO,
当DO=DC，设∠DCO=x,则∠DOC=x，∠PAO=x,
∠OPC=∠OCP=x， ∠PDO=2x,
∠OPA=∠PAO=x,
∠POD=2x,
在4POD中，x+2x+2x=180°, 解得x=36° ,
即∠PAO=36°,
当CO=CD，设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,
∠POD=2x,
∠ODC=∠POD+∠OPC=3x,
CD=CO,
∠DOC=∠ODC=3x,
在 POC中，x+x+5x=180°， 解得x=
即∠PAO=
综上所述, ∠A的度数为36 或
【解析】【分析】（1）连结AC，延长PO交AC于H，利用垂径定理可证得PH⊥AC，再利用圆周角定理可得到∠ACB=90°，可推出BC⊥AC，由此可证得结论。
（2）由已知P是弧ABC的中点，可得到PA=PC，再利用等腰三角形的性质可证得∠PAO=∠PCO。再分情况讨论：当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，可表示出∠PDO，∠POD，再利用三角形的内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠PAO的度数；当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，分别表示出∠ODC，∠DOC，再利用三角形内角和定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到∠PAO的度数。
11．【答案】（1）解：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，即 ，
∴ ；
（2）解：连接 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：延长 、 交于点R，连接 ，如图所示：
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
过点R作RT⊥CD于T，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （AAS），
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴四边形ENOG是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ．
【解析】【分析】（1）连接 ，由题意易得 ， ， ，则有 ，由三角形内角和定理得 ，然后问题可求证；
（2）连接 ，由题意易得 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，进而可得 ， ，然后问题可证；
（3）延长 、 交于点R，连接 ，过点R作RT⊥CD于T，设 ，则有 ， ，进而可得 ，则 ，然后可设 ，则 ，连接 ，可证四边形ENOG是正方形， ，由相似三角形的性质及勾股定理可求解．
12．【答案】（1）证明∶连接OB，OC，
∵弧AB=弧AC，
∴∠AOB=∠AOC，
∴∠BOH=∠COH，
又 ∵OB=OC ，
∴BH=HC；
（2）证明：连接AC，
∵弧CE=弧CD．
∴∠CAD=∠CAE，
∵CK⊥AK，
∴CH=CK，
，
；
（3）解：作CN⊥AC交AE延长线于点N，设AC交BE于点T，
设∠CAK=∠CAH= ，
∵弧AB=弧AC ，
∴弧BD=弧CD，AH⊥BC，
∵弧 弧 ，
∴弧 弧 =弧BD，
∴∠BAD=∠CAD=∠CAK= ，
∴∠ABH=90°- ，
∵∠AEC+∠ABH=180°，
∴∠CEK=∠ABH=90°- ，
∴∠ACE=∠CEK-∠CAK=90°-2 ，
∵CK⊥AK，
∴∠ECK= ，
∵AC⊥CN，
∴∠NCK= ，
∴∠NCK=∠ECK，∠N=∠CEN=90°- ，
∴CE=CN，
∵ ，
∴tan∠CAN= ，即tan = ，
∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=90°- ，∠EBC=∠CAE= ，
∴CT⊥BT，
设CT=2a，则BT=4a，BC=2 a，CH= a，
∴AH=2 a，
∴AC=5a=AB，
∴AT=3a，
∴ ，
∵∠BAT=∠BAH+∠CAH=2 ，
∴tan2 = ，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA= =∠CAE
∴CW∥AE，
∴∠CWG=∠WGE=90°，
∴CW⊥WG，
又FC=CG，
∴WG=FW=33，
设PG=3m，则AG=6m，则RG=8m，
∴AR=10m，
过点R作FP⊥AF于点P，则AP=2RP，
∴ ，解得∶ ，
∴ ，
∵AG⊥FG，
∴∠FAG=∠FPR=90°，
∵∠AFG=∠RFP，
∴∠AGF∽△RPF，
∴ ，即 ，
解得：FR=25m或-5m（舍去），
∴FR=25m，
∴FG= FR+RG=33m=66，解得：m=2 ，
∴AG=12，RG=16，
∴WR=17，
∵∠WRO=∠ARG，
∴
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质定理推导垂径定理；
（2）角平分线的性质定理和垂径定理的综合应用；
（3）这一问的关键是求出线段WR的长，再解直角三角形即可求出OW的长；既要反复使用正切三角函数，还要应用勾股定理并构造相似三角形，难度很大，计算时一定要有耐心，更要细心。
13．【答案】（1）证明：连接OE；
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴ 是 的切线；
（2）证明：
；
（3）解：由（2）知，
∴ ，
∴HC=12
由勾股定理，
∴
由（2）知，
又∵
∴
∴
连接OC，设OC=x，则OH=x-4；
∴x=20，即OC=20
易证
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）连接OE，利用等边对等角得∠OEA=∠OAE，∠FEG=∠EFG=∠AFH，利用垂直的定义去证明∠OEA+∠GEF=90°；然后利用切线的判定定理可证得结论；
（2）利用EM∥AC可证得△ACF∽△EGF，利用相似三角形的性质可证得结论；
（3）利用（2）可知∠C=∠G，利用解直角三角形求出AH的长，利用勾股定理求出AC的长；再利用相似三角形的性质，去证明AC=CF，根据HF=CF-HC，代入计算求出HF的长；连接OC，设OC=x，可表示出OH的长；利用勾股定理可可建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OC的长；然后证明∠C=∠G=∠MOE，利用解直角三角形求出ME的长；然后求出FH与EM的比值.
14．【答案】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，即 ，
∴四边形ABEC为菱形；
（3）解：延长 交 于 ，连接 ，过 作 于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABEC为菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【解析】【分析】（1）连接 ，由 ，得出 ，由此证出 ；
（2）由 ，得出 ，得出 ，由平行四边形的性质得出四边形 为平行四边形，由 ，即 ，即可得出四边形ABEC为菱形；
（3）延长 交 于 ，连接 ，过 作 于点 ，设 ，利用勾股定理得出GO的值，由此得出 ，由四边形ABEC为菱形， ， ，由 ，得出x的值，由 ，得出 ．
15．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵OD是的半径，
∴DE是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，的半径为2，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
中，
，，
∴60°
∴
（3）解：如图，过点E作于点M，连接BE
∵
∴60°
在中，
，
，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）先证明，再结合OD是的半径，可得DE是的切线；
（2）利用割补法列出算式求解即可；
（3）过点E作于点M，连接BE，利用锐角三角函数求出，，再利用勾股定理求出即可。
16．【答案】（1）证明：如图，连接OB，
∵是的外接圆，圆心O在AC上
∴AC是的直径
∴
∵＝AC＝2
∴
∵，
∴
∴
∵OB是的半径
∴BD是的切线，
（2）
【解析】【解答】解：(2)AE的长为，理由如下：
如图，连接CF交OB于点H，
∵AC是直径，
∴∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠AFC＝∠AED，
∴CFDE，
∴∠D＝∠ACF，
在Rt△ACF中，
∴sin∠ACF＝，
∵AC＝4，
∴AF＝，
由勾股定理可得：
CF＝，
∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，
∴四边形EFHB是矩形，
∴BH＝FE，∠OHC＝90°，
∴ CH＝
在Rt△OCH中，
∴
∴ BH＝OB－OH＝2－＝
∴FE＝BH＝
∴AE＝AF＋FE＝＋＝
故答案为：
【分析】（1）借助AC为直径，则，再证出即可得出结论；
（2）由勾股定理可得CF的值，证出四边形EFHB是矩形，在Rt△OCH中， ，得出OH、BH的值，再代入计算即可。
17．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在中，
∵C为的中点，
∴
∴，
∵由，，
∴，，
∴.
（2）证明：连接，如图所示：
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
∴，
∴.
（3）解：作于M，于K，如图所示：
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，作于N，
在中，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过G作于Q，
在中，，设，，，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接AC，由圆周角定理得∠CBA=∠CAB，∠DCB=∠DAB，∠CBD=∠CAD，从而推出∠DCB+∠CBD=∠CAD+∠DAB=∠CAB=∠CBA；
（2）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠ACF=∠DCB，由等弧所对的弦相等得AC=BC，用ASA判断出△ACF≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得AF=BD；
（3） 过点B作BM⊥CH于M，过点A作AK⊥CH于K， 由同角的余角相等得∠CAK=∠KCB，用AAS证△ACK≌△CBM，得AK=CM，由等腰三角形的三线合一得CM=FM=AK，由△ACF≌△BCD得CF=CD，则△AFK是等腰直角三角形，得AK=FK=FM=CM，在Rt△AKC中，由正切函数得tan∠CAK=3，作EN⊥CH于N，由等角的同名三角函数值相等得tan∠NCE=3，设CN=m，EN=3m=NF，由三角形面积公式结合△CEF的面积建立方程求出m的值，推出AF=2，由圆周角定理得∠DCB=∠DAB=∠ACK， 过G作GQ⊥AF于Q， 在Rt△AQG中，由正切函数得tan∠FAB=，设QG=x，AQ=3x，FQ=x，由AF=2建立方程，求解得出x的值，从而即可求出FG的长.
18．【答案】（1）证明：直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，连接，
是直径，
，
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）证明：如图，连接、，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
过M作于点K，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先求出AC=AD，再求出∠ACF=∠ADF，最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出∠BAC=∠ABM，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出∠AGH=90°，再求出∠EDH=∠BDE，最后利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AE平分∠BAD，即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
如图，过点B作于点H，
∴，即，
解得：，
∴在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：；
（3）解：，理由如下：
∵G是AB的中点，O是AE的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点F作于点P，
∵AF平分∠BAD，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质得出，即可得出结论；
（2）由，，得出，推出，在中，利用勾股定理得出AE的值，过点B作于点H，利用三角形面积公式得出BH的值，在中，利用勾股定理得出EH的值，再证出，即可得解；
（3）由G是AB的中点，O是AE的中点，得出，，推出是等腰直角三角形，过点F作于点P，由角平分线的性质得出，即可得解。
20．【答案】（1）；
（2）解：①过点D作⊙O的两条切线、，切点分别为E、F，
在中，，，
，
，
同理可得，
，
点D是的“直角点”；
②直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，
时，；时，，
、，
，，
，
由①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点，
如图，设半径为r的圆的圆心为M，
线段上所有点都是的“直角点”，
在以为圆心，为半径的圆上及圆内，
若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，，
，最小半径.
【解析】【解答】解：（1）解：连接，和相交于点Q，
为的切线，且切点为E，
，
是直角三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，
，
是等边三角形，
，
故答案为：30，；
【分析】（1）连接OE，EF和OP相交于点Q，由圆的切线的性质可得OE⊥PE，在直角三角形OEP中，用勾股定理可求得PE的值；根据锐角三角函数并结合特殊角的三角函数值可得∠EPO=30°，于是∠PEF=60°；同理可得∠FPO=30°，则∠EPF=60°，根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形可得三角形PEF是等边三角形；然后根据等边三角形的性质得EF=PE可求解；
（2）①过点D作⊙O的两条切线DE、DF，切点分别为E、F，在直角三角形DEO中，根据锐角三角函数并结合特殊角的三角函数值可得∠EPO=45°，同理可得∠FDO=45°，根据三角形内角和定理可得∠FDE=90°；由 圆的“直角点” 的定义可得 点D是的“直角点”；
②由直线y=x-2分别与x轴、y轴相交于点A、B，分别令y=0，x=0可求得A、B两点的坐标，用勾股定理求得AB的值；由①可知，的“直角点”是以O为圆心，为半径的圆上及圆内的所有点，
如图，设半径为r的圆的圆心为M，由线段上所有点都是的“直角点”可知AB在以为圆心，为半径的圆上及圆内， 若半径r最小，则为直径，圆心M为中点，由线段中点定义和勾股定理可得AM=r，以及点M的坐标，则r=可求解.
21．【答案】（1）A1，A3
（2）解：如图2，以（0， ）为圆心，1为半径作圆，
以（0， ）为圆心， 为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线 分别交于点E，F．
过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，
∵FH⊥x轴，
∴FH∥y轴，
∴∠EFH＝∠MEG＝45°，
∵∠EHF＝90°，EF＝ ，
∴EH＝FH＝1，
∴E（0， ），F（1， ）．
只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．
∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．
（3） 或﹣ ＜b≤-
【解析】【解答】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，
∵MN是⊙G的直径，
∴∠MA1N＝90°，
∵M（﹣1，﹣ ），N（1，﹣ ）
∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2
∴EM＝EF＝ ，
∴∠MFN＝ ∠MEN＝45°，
∵45°≤∠MPN≤90°，
∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部
∴线段MN的可视点为A1，A3；
故答案为A1，A3；（3）如图3，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG＝ ，GH＝1，
∴OH＝ ＝ ＝ ，
∴H（ ，0），E（0， ），
当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，
①直线y＝x+b与y轴交点在y负半轴上
将H（ ，0）代入y＝x+b得 +b＝0，解得b1＝- ，
当直线y＝x+b与⊙R相切于T′时交y轴于Q′，连接RT′，
则RT′⊥T′Q′，
∵∠RQ′T′＝45°，
∴T′Q′＝RT′＝RN＝ ，
RQ′＝ RT′＝2
∴OQ′＝OR+RQ′＝ +2＝
∴﹣ ＜b≤- ，
②直线y＝x+b与y轴交点在y正半轴上
将 E（0， ）代入得b＝ ，
当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，
∵∠EQT＝45°，
∴TQ＝ET＝EM＝ ，
∴EQ＝ ＝ ＝2
∴OQ＝OE+EQ＝ +2＝
∴ ，
综上所述： 或﹣ ＜b≤- ．
【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．（2）点B既要在直线y＝x+ 上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x+ 与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可．（3）分b＜0，b＞0两种情况进行讨论．
22．【答案】（1）证明：∵D是BC的中点，点A、D、O在同一条直线上，
∴OD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC，
∵E、D分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∴DE＝AC．
（2）①证明 ：∵E、D分别为AC、BC的中点，
∴AB＝2DE，AC＝2AE，
∵AB＋AC＝2AG，
∴2DE＋2AE＝2AG，
∴DE＋AE＝AG，
∵AE＋EG＝AG，
∴DE＝EG，
∴△DEG是等腰三角形．
②解：延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，
∵DE＝EG，
∴∠EDG＝∠EGD，
∴∠AED＝∠EDG＋∠EGD＝2∠EGD，
∴∠EGD＝∠AED，
∵DE∥AB，
∴∠BAC＋∠AED＝180°，
∵∠BAC＋∠BNC＝180°，
∴∠AED＝∠BNC，
∵HO⊥BC，
∴∠BOC＝2∠COH，
∵∠BOC＝2∠BNC，
∴∠COH＝∠BNC，
∵∠CAH＝∠COH＝∠BNC，
∴∠CAH＝∠EGD，
∴AH∥FG
【解析】【分析】（1）利用垂径定理可证得OD⊥BC，弧AB=弧AC，可推出AB=AC，再利用垂径定理和直角三角形的性质，可证得结论.
（2）①利用三角形的中位线定理和线段中点的定义去证明AB＝2DE，AC＝2AE，再根据AB＋AC＝2AG，可推出DE＋AE＝AG，根据AE＋EG＝AG，可得到DE=EG，由此可证得结论；②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可证得∠EGD＝∠AED，再利用平行线的性质和圆内接四边形的性质可证：∠AED＝∠BNC，由此可推出∠CAH＝∠EGD；然后利用平行线判定定理即可证得结论．
23．【答案】（1）
（2）解： 是直径，
，
旋转得到 ，
，
， ，
，
四边形 的面积
[问题解决]
（3）解：①如图，将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，
， ，
四边形 是圆内接四边形，
， ，
点 ， ， 三点共线，
，
，
是等腰三角形，
四边形 的面积 ，
，
②如图4，作点 关于直线 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，
点 、 关于直线 对称，
，同理， ，
的周长 ，
当点 、 、 、 四点共线时， 的周长不最小值，则连接 交 于点 ，交 于 ，连接 ， ， ， ，作 于 ，
的周长最小值为 ，
点 、 关于直线 对称，
， ，
点 、 关于直线 对称，
， ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
，
当 有最大值时， 有最大值，即 有最大值，
为 的弦，
为直径时， 有最大值4，
的最大值为 ，
此时，
【解析】【解答】解：（1）如图：
当
，
，
三点共线，且
时，
最小，最小值为
，
故答案为： ；
【分析】（1）当点C，E，F三点共线时，且当CF⊥AB时，CE+EF的值最小，利用勾股定理求出其最小值；
（2）①将△ADC绕点C顺时针旋转60°，可得△BHC，利用旋转的性质可得CD=CH，∠DAC=∠HBC，利用圆内接四边形的性质，可证得∠DAC+∠DBC=180°，可推出∠DBC+∠HBC=180°，可证得点D，B，H三点在同一条直线上，再证明△DCH是等腰三角形，再利用三角形的面积公式可求出四边形ADBC的面积与x之间的函数解析式；②作点D关于直线AC对称点E，作点D关于BC的对称点F，可证得EM=DM，DN=NF，由此可得到△DMN的周长等于FN+EM+MN；当点E，M，N，F四点共线时，△DMN的周长不是最小值，连接EF交AC于点M，交BC于点N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于点P，利用轴对称的性质去证明CO=CE=CF，同时可求出∠ECF的度数；利用解直角三角形求出EF的长；当CD有最大值时，EF有最大值，可知当CD为直径时CD的最大值为4，由此可求出t的最大值，可求出此时s的值.
24．【答案】（1）证明：如图1，连接，，
∵点A为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，连接，，，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，又，
∴；
（3）解：如图3，连接，，，，过G作于M，过O作于K，则，
设，则，， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴，则；
∵，
∴
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，即，
∴，则，
∴，则，
∴，，则，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再求出四边形是平行四边形， 最后证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理计算求解即可。
25．【答案】（1）2；；；
（2）
（3）解：∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了 周． 又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙O自转了 （周）．
∴⊙O共自转了（ +1）周
（4）解： +1
【解析】【分析】（1）根据题意，由圆滚动的距离，可以得到其周长和弧长，根据旋转角，即可得到其自转的周数；
（2）由AB=BC=，可知圆在AB和AC上旋转的周数，根据旋转角，即可得到答案；
（3）根据三角形ABC的周长，即可得到圆的旋转周数，计算得到答案；
（4）根据（3）的拓展结果，直接写出圆的自转周数即可。

展开更多......

收起↑