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2024河南中考数学备考重难专题
二次函数图象与性质综合题 交点问题
考情分析
年份 题号 题型 分值 解题关键点 设问形式
2023 22 解答题 10 (1)一次函数、二次函数图象上点的性质 (2)一次函数与抛物线解析式联立方程组求解（交点问题），抛物线位于直线上方部分对应的x的取值范围（数形结合思想） (3)线段与抛物线交点问题，数形结合思想，分类讨论思想 (1)求二次函数解析式的一次项系数和一次函数解析式中的常数项 (2)求交点坐标，根据图象确定不等式解集 (3)直线与抛物线只有一个交点时，求点横坐标的范围
典例精讲
例 (2023河南平顶山模拟卷)已知，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1. 点A，B为坐标平面内两点，其坐标分别为A(，－5)，B(4，－5).
例题题图
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当－1≤x≤2时，求y的取值范围；
(3)连接AB，若抛物线y＝x2＋bx＋c向下平移k(k＞0)个单位时，与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围．
课堂练兵
练习题 已知：抛物线y＝x2－2x＋3a＋1(a为常数)．
(1)当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上有两点M(－1，yM)，N(2，yN)，请比较yM与yN的大小；
(3)当x≤3时，该抛物线与直线y＝2x－3有两个交点，求a的取值范围．
课后小练
练习1 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c分别交x轴、y轴于点A(－1，0)，C(0，－3)，连接AC.
练习题图
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是抛物线上两点，当x1≤－2，m≤x2≤m＋1时，均有y1≥y2，求m的取值范围；
(3)将该抛物线向左平移n(n＞0)个单位长度后，得到一条新抛物线，若新抛物线与线段AC只有一个交点，请直接写出n的取值范围．
练习2 (2023河南预测卷)在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过(－2，0)，(4，0)两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当－1≤x≤5时，求函数值的取值范围；
(3)一次函数y＝(3＋m)x＋6＋2m的图象与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜5＜x2，求m的取值范围．
答案
典例精讲
例 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于C，D两点，点C的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)；
(2)∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－4)，－1≤x≤2，
∴函数最小值为y＝－4，对称轴为直线x＝1，
∵|－1－1|＞|2－1|，
∴当x＝－1时，y＝1＋2－3＝0为函数最大值，
∴当－1≤x≤2时，y的取值范围是－4≤y≤0；
(3)k＝1或＜k≤10.
【解法提示】抛物线y＝x2－2x－3向下平移k(k＞0)个单位后的解析式为y＝x2－2x－3－k，抛物线顶点坐标为(1，－4－k)，当顶点落在线段AB上时，－4－k＝－5，解得k＝1；当抛物线向下移动，经过B(4，－5)时，16－8－3－k＝－5，解得k＝10；当抛物线经过A(，－5)时，
－1－3－k＝－5，解得k＝，综上所述，当k＝1或＜k≤10时，函数图象与线段AB只有一个公共点．
课堂练兵
练习 解：(1)当a＝1时，抛物线的顶点坐标为(1，3)；
(2)由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线开口向上，且1－(－1)＝2，2－1＝1，2＞1，
∴yM＞yN；
(3)∵二次函数的图象在x≤3的部分与一次函数y＝2x－3的图象有两个交点，
令x2－2x＋3a＋1＝2x－3，
整理得x2－4x＋3a＋4＝0，
由根的判别式得16－4(3a＋4)＞0，解得a＜0，
把x＝3代入y＝2x－3，得y＝3×2－3＝3，
把(3，3)代入y＝x2－2x＋3a＋1得3＝9－6＋3a＋1，
解得a＝－，
∴a的取值范围为－≤a＜0.
课后小练
练习1 解：(1)将A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c中得，
解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
将x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝5，∴抛物线经过(－2，5)，
∵点(－2，5)关于对称轴的对称点为(4，5)，y1≥y2，∴－2≤m＜m＋1≤4，
解得－2≤m≤3；
2≤n≤4.
【解法提示】由题意得新抛物线的解析式为y＝(x－1＋n)2－4，当新抛物线过点C(0，－3)时，将其代入得(0－1＋n)2－4＝－3，解得n＝2或n＝0(舍去)；当新抛物线过点A(－1，0)时，将其代入得(－1－1＋n)2－4＝0，解得n＝4或n＝0(舍去)，∴当新抛物线与线段AC只有一个交点时，n的取值范围为2≤n≤4.
练习2 解：(1)将(－2，0)，(4，0)两点代入y＝x2＋bx＋c中，得，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－8；
(2)∵y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
当x＝1时，y有最小值－9.
∵5－1＞1－(－1)，
∴当x＝5时，y有最大值，y最大＝(5－1)2－9＝7.
∴当－1≤x≤5时，函数值的取值范围为－9≤y≤7；
(3)∵y＝(3＋m)x＋6＋2m＝(3＋m)(x＋2)，
∴一次函数y＝(3＋m)x＋6＋2m的图象过定点(－2，0).
又∵y＝x2－2x－8过(－2，0)，
∴x1＝－2.
∵x2＞5，
∴当x＝5时，一次函数的图象在二次函数图象的上方，
即当x＝5时，一次函数的函数值比二次函数的函数值大．
∵x＝5时，y＝x2－2x－8＝52－2×5－8＝7，
∴5(3＋m)＋6＋2m＞7，解得m＞－2，
∴m的取值范围是m＞－2.

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