资源简介

2024河南中考数学备考重难专题：阅读理解题 导学案
考情分析
年份 题号 题型 分值 考查背景 设问形式 解题关键点
2023 23 解 答 题 10 尺规作图---角平分线 (1)全等三角形的判定依据HL(填序号)； (2)根据作图步骤证明角平分线 (3)求线段长 (1)从尺规作图步骤知道：等线段，垂直平分线及其性质，直角三角形的判定定理（HL）； (2)全等三角形的判定（对称性型全等，A字型全等）； (3)根据（1）（2）的经验，同理得到点P在∠AOB的角平分线上；分类讨论点C在线段OE上和OE延长线上（动点问题，常会考到分类讨论思想）
2022 20 解 答 题 9 "三分角器"的原理与使用方法 补充已知和求证，并写出证明过程 证明角平分线（垂直平分线的性质，等腰三角形判定及性质（三线合一）/（全等三角形的判定及性质），角平分线的逆定理
典例精讲
例 (2023山西黑白卷)阅读与思考
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
利用对称性补全图形 有些几何问题，采用原来的图形去解，显得十分繁琐，若利用对称的思想去思考，将整个或部分图形补画成对称图形，再利用对称性质去解，往往能使问题巧妙、迅速地得到解决．
如图①，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAD＋∠BCD＝180°. 求证：AD＝CD. 例题图
分析：图形中出现角平分线，此时应尝试补全以角平分线为对称轴的图形． 证明：如图②，在BC上截取BE＝BA，连接DE， ∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD， 在△ABD和△EBD中，， ∴△ABD≌△EBD(依据1)，∴AD＝ED，∠BAD＝∠BED， 又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BED＋∠DEC＝180°， ∴∠BCD＝∠DEC，∴ED＝CD(依据2)， 又∵AD＝ED， ∴AD＝CD. 受材料中方法的启发，勤奋小组认为出现角平分线时，常作的辅助线是过角平分线上一点，向角的两边引垂线，这样也能构成轴对称图形，然后证明题目中需证相等的线段所在的两个三角形全等即可解决问题．
任务：
例题图③
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：__________________________________________；
依据2：__________________________________________；
(2)请根据勤奋小组的思路，结合图①，加以证明；
(3)如图③，BD是△ABC的角平分线，CE⊥BD于点E，若DE＝1，BD＝2，AB＝3，则线段AC的长度为__________.
课堂练兵
练习 (2023河南逆袭卷)请阅读下列材料，并完成相应的任务．
在复习三角形中线的相关知识时，李老师提出了以下问题： 练习题图 如图，在△ABC中，BE为中线，已知AB＝3，BC＝5，求BE长的取值范围. 小颖和小组交流后，通过倍长中线，将分散的条件迁移到同一个三角形中，利用三角形的边角关系顺利的解决了问题，下面是小颖的解题思路： 延长BE至点D，使BE＝DE，连接AD，则易证△ADE≌△CBE，得到AD＝BC＝5，则可得，AD－AB＜2BE＜AD＋AB，从而可得BE长的取值范围是1＜BE＜4.
任务：
(1)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为AB边的中点，且CE平分∠BCD，则AD、BC、CD的数量关系是________________；
练习题
(2)如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AF与BC的延长线交于点F，点E是CD的中点，若AE是∠DAF的平分线，试探究AD，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论；
练习题
(3)如图④，CF∥AB，E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若∠ABE＝60°，DF＋CF＝BC＝6，直接写出△ABE的面积．
练习题图
模型总结
倍长中线
看到题干中有中点，要证明三条线段数量关系（和/差），通常考虑延长中线，构造全等三角形解决.
具体如下：
图示 直接倍长中线 间接倍长中线
条件 在△ABC中，AD是边BC边的中线 在△ABC中，AD是BC边的中线，点M是AB上一点
作法 延长AD到点E，使得DE=AD，连接CE 延长MD到点N，使得DN=MD，连接CN
结论 △ABD≌ECD △BDM≌△CDN
课后小练
练习 (2023河南黑白卷) 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法将一条线段截为三段，且三段的长恰好构成直角三角形的三条边的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应任务．
小明：如图①，(1)以线段AB为斜边作等腰直角△ABC； (2)在线段AB上取一点D，作射线CD； (3)将射线CD绕点C逆时针旋转45°至CE，交线段AB于点E.线段AD，DE，EB的长恰好是直角三角形的三条边． 小亮：我可以用轴对称的方法进行证明，如图②，将△CDA沿CD所在的直线对折得到△CDF，连接EF. 简述理由如下：通过证明△CEF≌△CEB，进而说明线段AD，DE，EB恰好构成直角三角形． 图① 图②　 　 图③ 练习题图 小强：我可以用旋转的方法进行证明，如图③，将△CDA绕点C逆时针旋转90°至△CGB，连接EG. …
任务：
(1)小亮得出△CEF≌△CEB的依据是________(填序号)；
①SSS　　　②SAS　　　③AAS　　　④ASA　　　⑤HL
(2)请完成小强的证明过程；
(3)如图④，已知AB＝6，小娟认为以线段AB为底边作等腰△ABC，使∠ACB＝120°，在线段AB上取一点D，作射线CD，再将射线CD绕点C逆时针旋转60°至CE，交线段AB于点E，也能得到线段AD，DE，EB顺次相连构成直角三角形，请直接写出线段AD的长．
　练习题图④
答案
典例精讲
例 解：(1)有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)；
在同一个三角形中，相等的两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)证明：如解图①，分别过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N，
则∠M＝∠DNC＝90°，∵BD平分∠ABC，
∴DM＝DN，
∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠DAM＝180°，
∴∠BCD＝∠DAM，
在△ADM和△CDN中，
，
∴△ADM≌△CDN(AAS)，
∴AD＝CD；
例题解图①
(3)3.
【解法提示】如解图②，分别延长BA，CE交于点F，过点E作EG∥AC交BF于点G，
例题解图②
∵BD是△ABC的角平分线，CE⊥BD，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝BF，CE＝FE，
∵DE＝1，BD＝2，
∴BE＝BD＋DE＝2＋1＝3，
∵EG∥AC，
∴∠BAD＝∠BGE，∠BDA＝∠BEG，∠FGE＝∠FAC，∠FEG＝∠FCA，
∴△BAD∽△BGE，△FGE∽△FAC，
又∵DE＝1，BD＝2，BE＝AB＝3，BC＝BF，CE＝FE，
∴＝＝＝，＝＝＝，
∴AC＝2EG，AD＝EG，BG＝，AG＝FG，
∴AC＝CD，AG＝FG＝BG－AB＝－3＝，
BC＝BF＝BG＋FG＝＋＝6，
∴CE＝＝＝3，
∴CD＝＝＝2，
∴AC＝CD＝3.
课堂练兵
练习 解：(1)AD＋BC＝CD；
【解法提示】如解图①，延长CE与DA的延长线交于点P.∵AD∥BC，∴∠BCE＝∠P.∵点E为AB边的中点，∴AE＝BE.又∵∠AEP＝∠BEC，∴△AEP≌△BEC(AAS)，∴AP＝BC.∵CE平分∠BCD，∴∠BCP＝∠DCP，∴∠DCP＝∠P，∴CD＝DP，∴AD＋BC＝AD＋AP＝DP＝CD.
图① 　图②
练习题解图
(2)CF＋AF＝AD；
证明：如解图②，延长AE交BC的延长线于点P，
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠P，
∵点E为CD边的中点，∴DE＝CE，
又∵∠AED＝∠PEC，∴△ADE≌△PCE(AAS)，
∴AD＝CP，
∵AE平分∠DAF，∴∠DAE＝∠FAP，
∴∠FAP＝∠P，∴AF＝FP，
∴CF＋AF＝CF＋FP＝CP＝AD；
(3)△ABE的面积为.
【解法提示】如解图③，延长AE交CF的延长线于点P.∵点E为BC的中点，∴CE＝BE.∵CF∥AB，∴∠BAE＝∠P.又∵∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE(AAS)，∴CP＝AB.∵∠EDF＝∠BAE, ∴∠FDP＝∠P，∴DF＝FP，∴CF＋DF＝CF＋FP＝CP＝AB.∵DF＋CF＝BC＝6，∴AB＝6，BE＝3.过点E作EQ⊥AB于点Q，在Rt△BEQ中， ∠QBE＝60°，∴EQ＝BE·sinB＝3×＝，∴S△ABE＝AB·EQ＝×6×＝.
练习题解图③
课后小练
练习 解：(1)②；
【解法提示】∵△ACB是等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠A＝∠B，∠ACB＝90°. 将△CDA沿CD所在的直线对折得到△CDF，∴CF＝CA＝CB，∠ACD＝∠FCD.∵∠DCE＝45°，∴∠ACD＋∠BCE＝45°，∠DCF＋∠FCE＝45°，∴∠ECF＝∠ECB.在△CEF与△CEB中，，∴△CEF≌△CEB(SAS).
(2)完成证明过程如下：∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，∠A＝∠CBA＝45°，CA＝CB,
∵△CGB是由△CDA绕点C逆时针旋转90°得到的，
∴∠GCB＝∠DCA，∠GBC＝∠A＝45°，CG＝CD，AD＝BG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCA＋∠ECB＝∠ACB－∠DCE＝45°，
∴∠GCB＋∠ECB＝45°，即∠GCE＝45°，
∴∠DCE＝∠GCE.
在△DCE与△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE(SAS)，
∴DE＝GE，
∵∠GBC＝∠CBA＝45°，
∴∠GBE＝∠GBC＋∠CBA＝90°，
∴线段BG，GE，EB恰好构成直角三角形，
则线段AD，DE，EB顺次相连能构成直角三角形；
(3)【解法提示】∵△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，∴∠A＝∠ABC＝30°.如解图①，②，将△ACD绕点C逆时针旋转120°得到△BCD′，连接D′E，∴∠ACD＝∠BCD′，∠A＝∠CBD′＝30°，AD＝BD′，CD＝CD′.∵∠DCE＝60°，∴∠ACD＋∠BCE＝60°，∴∠BCD′＋∠BCE＝60°，∴∠DCE＝∠D′CE＝60°，在△EDC与△ED′C中，，∴△EDC≌△ED′C(SAS)，∴DE＝D′E，∵∠CBD′＝∠ABC＝30°，∴∠ABD′＝60°.设AD＝BD′＝x.如解图①，当∠BD′E＝90°时，BE＝，DE＝D′E＝x·tan 60°.∵AB＝6，∴x＋x·tan 60°＋＝6，解得x＝3－.如解图②，当∠BED′＝90°时，DE＝D′E＝x·sin 60°，BE＝x·cos 60°，∴x＋x·sin 60°＋x·cos 60°＝6，解得x＝6－2.综上所述，线段AD的长为3－或6－2.
练习题解图

展开更多......

收起↑