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5.4正切函数的图像与性质
正切函数的图象与性质
图象
定义域
值域 R
周期 最小正周期为
奇偶性 奇函数
单调性 在开区间内单调递增
注意：
（1）正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间上,都是从增大到,故正切函数在每一个开区间上是增函数,但不能说函数在定义域内是增函数.
（2）正切函数的对称性:由函数的奇偶性和周期性以及图象可知,正切函数的每支图象关于点对称,两支图象关于点对称,所以正切函数的对称中心为
（3）画正切函数 图象常用“三点两线法”，找三个关键点,两条平行线
重难点1 正切（型）函数的图象问题
1．函数在一个周期内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正切函数的图象与性质判断，
【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，
故选：A
2．函数在区间内的图象是 .（填相应序号）

【答案】④
【分析】分段取绝对值，然后由正弦函数和正切函数图象可得.
【详解】当时，，此时；
当时，，此时.
综上，，由正弦函数和正切函数图象可知④正确.
故答案为：④
3．作出函数的图象.
【答案】图见解析
【分析】依题意是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，即可得到的函数图象；
【详解】解：函数是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，所以的图象如下所示：
4．作函数的图象.
【答案】答案见解析.
【分析】根据奇偶性可得答案.
【详解】先作出的图象，
因为，所以是偶函数，
图象关于轴对称，可作出的图象，
所以的图象如下所示：

5．画出函数在上的简图．
【答案】答案见解析
【分析】根据五点作图法画图即可.
【详解】令，，可得，，
又，所以直线是该函数图象的一条渐近线．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．

重难点2 解正切不等式
6．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图像和周期性直接求解.
【详解】由题意得，，
得.
故选：C
7．若，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据正切函数的单调性及特殊角三角函数值直接求解即可.
【详解】当时，；
当时，且在上单调递增，；
综上所述：的解集为.
故答案为：.
8．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用正切函数的单调性列不等式即可得出.
【详解】不等式的解集为.
由可得，
解得，
不等式的解集为
故答案为：
9．若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正切函数的性质计算可得.
【详解】由，则，，
又，所以，即的取值范围是.
故答案为：
10．根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）根据给定条件，借助正切函数的图象性质解不等式得解.
【详解】（1）不等式，化为，
在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，
由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是，
所以使不等式成立的x的集合为.
（2）不等式，化为，
在同一平面直角坐标系中作出正切函数在上的图象和直线，如图：

显然在上，满足，
由图可知在上，使不等式成立的x的取值范围是.
所以使不等式成立的x的集合为.
11．解不等式.
【答案】.
【分析】解出正切不等式在一个周期内的解集，由周期性可得不等式的解集.
【详解】作出函数，的图像，如图所示．
观察图像可得：在内，满足条件的x为，
由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为.
重难点3 正切（型）函数的定义域问题
12．函数的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数式中真数大于零，列出不等式，从而求解.
【详解】由题意得，
即，
所以，，
所以，，故B项正确.
故选:B.
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用正切函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据正切函数的定义域求解即可.
【详解】由，，
即，，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】由正切函数的定义域，整体思想可求得函数的定义域.
【详解】由正切函数的定义域可得，，，得，，
故函数的定义域为.
故答案为：.
16．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可.
【详解】 由，得，且．

由图可得，即．
所以函数的定义域为．
故答案为：.
17．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)且.
(2)且
(3)
(4)
【分析】利用具体函数定义域的求法，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以且，
故的定义域为且.
（2）因为，所以，即，
所以且，
故的定义域为且.
（3）因为，
令，得，
故的定义域为.
（4）因为，所以，即，
显然，
故的定义域为.
重难点4 正切（型）函数的周期问题
18．函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、周期性确定正确答案.
【详解】由解得,
的定义域是，的定义域关于原点对称.
，所以是偶函数，
由此排除BD选项.
，所以的一个周期为，A选项正确.
，
所以不是的周期，所以C选项错误.
故选：A
19．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据正切函数的周期性求解．
【详解】的最小正周期为.
故选：C.
20．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正切函数求最小正周期公式求解.
【详解】函数的最小正周期，
直接利用公式，可得．
故选：A
21．（多选）下列函数，最小正周期为的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用三角函数的周期性求出各个选项的周期，即可得出结论.
【详解】对于A，因为令，，令，，
所以的最小正周期不是；
对于B，的最小正周期为，所以的最小正周期为；
对于C，，则最小正周期为；
对于D，的最小正周期为，则小正周期为.
故选：BCD.
22．已知函数，则函数的最小正周期是 .
【答案】
【分析】利用正切函数最小正周期公式即可得解.
【详解】因为，
所以的最小正周期为.
故答案为：.
23．函数的周期为 ．
【答案】/
【分析】直接根据正切函数的周期公式计算可求解.
【详解】由题意得的周期为，
所以的周期为.
故答案为：.
重难点5 正切（型）函数的奇偶性问题
24．下列四个函数中，是偶函数的是（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性，从而得解.
【详解】由幂函数的性质可知为奇函数，故A错误 ；
由正弦函数的性质可知为奇函数，故B错误；
由余弦函数的性质可知为偶函数，故C正确；
由正切函数的性质可知为奇函数，故D错误；
故选：C.
25．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】依题意可得，令，，即可得到是奇函数，根据奇函数的性质计算可得；
【详解】解:，令，，于是
，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而.
故选：B
26．，若，则 ．
【答案】0
【分析】代入计算并运用函数的奇偶性求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：0.
27．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较
【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件
故选：B
重难点6 正切（型）函数的对称性问题
28．下列函数中，没有对称中心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合函数图像及性质分别判断各个选项即可.
【详解】的对称中心是,A不正确;
的对称中心是,B不正确;
的对称中心是,C不正确;
结合指数型函数的图像可知函数无对称中心,D选项正确.
故选：D.
29．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正切函数的对称中心得到，，再对各选项逐一检验分析即可.
【详解】根据题意得，，则，
又，则，，
对于A，若是的最小正周期，则，得，与矛盾，故A错误；
对于B，由得，满足条件，故B正确；
对于C，由得，与矛盾，故C错误；
对于D，由得，与矛盾，故D错误.
故选：B.
30．（多选）下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】令，求出对称中心横坐标，对四个选项一一进行判断.
【详解】令，解得，
A选项，当时，，故对称中心为，A正确；
B选项，当时，，故对称中心为，B正确；
C选项，令，解得，不合要求，舍去，C错误；
D选项，当时，，故对称中心为，D正确；
故选：ABD
31．已知函数，则的对称中心为 .
【答案】
【分析】根据正切函数的对称中心公式，结合整体法即可求解.
【详解】
，
所以的对称中心为,
所以的对称中心为.
故答案为：.
32．“函数的图象关于中心对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求出与的对称中心，比较两个中心关系.
【详解】的对称中心为，的对称中心为，的对称中心不一定为的对称中心；的对称中心一定为的对称中心.
故选：B．
重难点7 正切（型）函数的单调性问题
33．下列说法正确的是（ ）
A．正切函数在定义域上是增函数
B．正切函数在第一、四象限是增函数
C．正切函数在每一个区间上都是增函数
D．正切函数在某一区间上是减函数
【答案】C
【分析】由正切函数的单调性可得出结论.
【详解】由正切函数的单调性可知，正切函数在每一个区间上都是增函数，
正切函数在定义域上不单调，
正切函数在第一、四象限不单调，
正切函数不存在减区间，ABD错，C对.
故选：C.
34．（多选）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由的范围，求出的范围，由题意可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为，
函数，若在区间内单调递增，
所以，所以.
故选：BC.
35．已知函数在区间上是减函数，则的取值集合为 .（用列举法表示）
【答案】
【分析】由正切函数的单调性结合条件可得，由正切函数的单调区间与周期性可得，再对的值进行逐一验证即可得出答案.
【详解】由在区间上是减函数，则，且，解得
因为，所以或或或，
当时，，当时，，
当 ，即时，函数无意义，故不成立.
当时，,当时，，
由在上单调递增，所以在区间上是减函数，
故满足题意.
当时，,当时，，
由在上单调递增，所以在区间上是减函数，
故满足题意.
当时，,当时，，
当 ，即时，函数无意义，故不成立.
故答案为:
36．已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得到，，即可得到答案.
【详解】因为函数在上是严格减函数，
所以，，，
.
故答案为：
37．求函数的定义域和单调增区间.
【答案】；.
【分析】求正切型函数的定义域和递增区间，首先都要把角看成整体角，再利用正切函数的定义域和递增区间处理即可.
【详解】由函数有意义可得：，解得，
即函数的定义域为：
又由可得：，
即函数的单调增区间为：.
38．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围.
【详解】令，，解得，，
令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为，
故答案为：.
重难点8 比较正切值的大小
39．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由诱导公式得，再根据正弦函数，正切函数的单调性可得.
【详解】，
因为，
又因在上单调递增，
所以，
又，在上单调递增，
所以，
所以．
故选：A
40． .（用“”、“”或“”填空）
【答案】
【分析】利用诱导公式结合正切函数的单调性可得出结论.
【详解】因为，
当时，随着的增大而增大，
因为，故.
故答案为：.
41．比较下列正切值的大小：
(1)与；
(2)tan与tan．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正切函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由，
因为时，函数为单调递增函数，且，
所以，所以.
（2）由，
因为函数在为单调递增函数，且，
所以，即
42．比较下列各组中三角函数值的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】由正切函数的单调性即可判断大小.
【详解】（1）因为当时，函数单调递增，且，
所以；
（2）因为，
，且，
结合函数在上单调递增，
所以，即.
43．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
重难点9 正切（型）函数的值域问题
44．函数且的值域是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用正切函数的性质求得答案.
【详解】当时，，∴；
当时，，∴.
即当时，函数的值域是．
故选：B.
45．已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出，再根据解方程即可.
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
46．函数，的值域为 ．
【答案】
【分析】分析函数单调性求出值域即可.
【详解】∵函数在区间上单调递增，
∴函数在区间上的值域为．
故答案为：.
47．函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为 .
【答案】/
【分析】利用正切函数单调性求出最大值作答.
【详解】函数在上单调递增，则当时，，
因此，解得，
所以实数a为.
故答案为：
48．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 .
【答案】/
【分析】分析在的单调性，求出的范围，根据最值建立等式，解出即可.
【详解】解：取，解得，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，
因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3，
所以，且，，
即，解得，
因为，所以，故.
故答案为：
49．求函数的值域.
【答案】
【分析】结合复合函数的性质，令，函数变化成，的二次函数问题，从而求得函数的值域；
【详解】因为，所以
令则
当即时，
当即时，
故所求函数的值域为 .5.4正切函数的图像与性质
正切函数的图象与性质
图象
定义域
值域 R
周期 最小正周期为
奇偶性 奇函数
单调性 在开区间内单调递增
注意：
（1）正切函数的单调性:正切函数在每一个开区间上,都是从增大到,故正切函数在每一个开区间上是增函数,但不能说函数在定义域内是增函数.
（2）正切函数的对称性:由函数的奇偶性和周期性以及图象可知,正切函数的每支图象关于点对称,两支图象关于点对称,所以正切函数的对称中心为
（3）画正切函数 图象常用“三点两线法”，找三个关键点,两条平行线
重难点1 正切（型）函数的图象问题
1．函数在一个周期内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数在区间内的图象是 .（填相应序号）

3．作出函数的图象.
4．作函数的图象.
5．画出函数在上的简图．
重难点2 解正切不等式
6．不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若，则不等式的解集为 .
8．不等式的解集为 ．
9．若，且，则的取值范围是 ．
10．根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x值的集合：
(1)；
(2)．
11．解不等式.
重难点3 正切（型）函数的定义域问题
12．函数的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
13．函数的定义域为 .
14．函数的定义域为 .
15．函数的定义域是 .
16．函数的定义域为 ．
17．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
重难点4 正切（型）函数的周期问题
18．函数是（ ）
A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数
19．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．4
20．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
21．（多选）下列函数，最小正周期为的有（ ）
A． B． C． D．
22．已知函数，则函数的最小正周期是 .
23．函数的周期为 ．
重难点5 正切（型）函数的奇偶性问题
24．下列四个函数中，是偶函数的是（　 ）
A． B．
C． D．
25．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
26．，若，则 ．
27．已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
重难点6 正切（型）函数的对称性问题
28．下列函数中，没有对称中心的是（ ）
A． B．
C． D．
29．设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
30．（多选）下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
31．已知函数，则的对称中心为 .
32．“函数的图象关于中心对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
重难点7 正切（型）函数的单调性问题
33．下列说法正确的是（ ）
A．正切函数在定义域上是增函数
B．正切函数在第一、四象限是增函数
C．正切函数在每一个区间上都是增函数
D．正切函数在某一区间上是减函数
34．（多选）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
35．已知函数在区间上是减函数，则的取值集合为 .（用列举法表示）
36．已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ．
37．求函数的定义域和单调增区间.
38．若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 .
重难点8 比较正切值的大小
39．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
40． .（用“”、“”或“”填空）
41．比较下列正切值的大小：
(1)与；
(2)tan与tan．
42．比较下列各组中三角函数值的大小：
(1)与；
(2)与．
43．已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
重难点9 正切（型）函数的值域问题
44．函数且的值域是(　　)
A． B．
C． D．
45．已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
46．函数，的值域为 ．
47．函数在x∈[]上的最大值为4，则实数a为 .
48．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 .
49．求函数的值域.

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