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6.2.4　向量的数量积
第二课时
知识点归纳
向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
提示：(1)a·b＝b·c推不出a＝c；
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量.
题型演练
题型一　平面向量的数量积
例1 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，b方向的单位向量为e.
(1)求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值；
(2)求a在b上的投影向量.
解　(1)a·b＝|a||b|cos θ
＝5×4·cos 120°＝－10；
(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2
＝|a|2－|a||b|·cos 120°－2|b|2
＝25－(－10)－2×42＝3.
(2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝5×e＝－e.
小结　1.运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，求解时要灵活运用数量积的运算律.
2.若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.
变式1 (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.0
(2)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝(　　)
A. B.－
C. D.－
答案　(1)B　(2)D
解析　(1)由|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，
又a·b＝－1，
∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3.
(2)∵E，F是菱形ABCD中边BC，CD的中点，
∴＝＋，
＝＝(－)，
又||＝||＝2，且∠BAD＝60°，
∴·＝·(－)
＝·＋||2－||2
＝||·||·cos 60°＋×22－×22
＝－.
题型二　向量模的计算
例2 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
A.2 B.2
C.6 D.12
答案　B
解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2
＝22－8×2×1·cos 60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2.
小结　1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝|a|2是计算的依据.
2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化.
变式2 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　)
A.6 B.4
C. D.
答案　C
解析　∵a·(a－2b)＝0，∴a2－2a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝，
∴|a＋b|＝＝＝.
题型三　向量的夹角与垂直
类型1　求两向量的夹角
例3 已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，则向量a，b的夹角θ为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　(4a－b)·(a＋3b)＝4a2－3b2＋11a·b＝2，
由|a|＝2，|b|＝1，得a·b＝－1.
由a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ＝－1，
得cos θ＝－，所以θ＝.
小结　1.求向量夹角的基本步骤：
2.求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解.
类型2　利用数量积解决向量的垂直问题
例4 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直.
解　由已知得a·b＝2×1·cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)
＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
∴m＝.
故当m＝时，c与d垂直.
变式3 已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb).
证明　|a＋tb|＝
＝
＝，
∴当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值.
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2
＝a·b＋·|b|2＝a·b－a·b＝0.
∴b⊥(a＋tb).
总结 1.重要思想与方法
(1)求向量的数量积要灵活应用其运算律，求向量的夹角与模时，则要灵活应用夹角公式和模的计算公式.
(2)用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法.
2.易错易混点提醒
要注意数量积不满足结合律.
分层作业
A基础能力提升
一、单选题
1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）设非零向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的模及向量垂直的数量积表示可得结果.
【详解】由，平方得，
即，则.
故选：B.
2．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设向量的夹角为，结合，求得，即可求解.
【详解】设向量的夹角为，因为，可得，
又因为，，
可得
，解得，
因为，可得.
故选：B.
3．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，因此，即，
所以是等腰三角形.
故选：C
4．（2023下·天津和平·高一统考期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】C
【分析】根据数量积的定义可得，结合模长公式和数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：C.
5．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由，可得，所以，
因为，可得，
所以.
故选：A.
6．（2023下·全国·高一期末）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于选项A，C，D，可举反例判断其错误，选项B是分配律．
【详解】当时，，故A错误；
选项B是向量数量积的分配律，是正确的；
当时，，故C错误；
当时，，
不满足，故D错误．
故选：B．
二、多选题
7．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．，有恒成立 D．若，则
【答案】ABC
【分析】将化为可判断A；将化为可判断B；将平方，根据二次函数的最值可判断C；计算可判断D.
【详解】解：对于A,因为，所以，
即，故，故A正确；
对于B，可化为，
即.
若，则，即，故B正确；
对于C，，
故，故C正确；
对于D，若，
则，
该式子的值随着的变化而变化，故D错误.
故选：ABC.
8．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知，下述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用条件及数量积与模、夹角的关系得出夹角，一一计算判定即可.
【详解】∵，∴，
对于A项，，A正确；
对于B项，，B正确；
对于C项，，故C错误；
对于D项，，故D错误.
故选：AB
三、填空题
9．（2023·全国·高一随堂练习）若，，且，则与的夹角为 ；
【答案】//
【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得，然后即可求出，进而得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
又，所以.
故答案为：.
10．（2023下·上海宝山·高一校考期中）设向量、满足，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据，结合向量的数量积运算计算可得答案.
【详解】，
故.
故答案为：.
11．（2023下·贵州安顺·高一统考期末）已知平面非零向量与的夹角为，若，则 .
【答案】2
【分析】根据数量积的定义以及运算律运算求解.
【详解】因为，则，
整理得，解得或（舍去），
所以.
故答案为：2.
12．（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在中，，.若点D在边BC上，且满足，则 .
【答案】/
【分析】根据向量加减、数乘的几何意义得，再应用向量数量积的运算律求模长，即可得结果.
【详解】由，
所以，
故.
故答案为：
四、问答题
13．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
【答案】(1)
(2)
【分析】根据数量积的计算规则计算.
【详解】（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.则当k为时，；、
综上，（1），（2）.
14．（2023·全国·高一课堂例题）如图，是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点．求的最小值．

【答案】
【分析】根据三角形中心的性质，结合平面向量数量积的运算性质、正弦定理进行求解即可.
【详解】取等边的中心O．
记，，，，则．
又，
，
所以．
当时，上式取最小值．
因为等边的边长为2，所以．
所以．
因此，当点P满足时，取最小，其最小值为．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形中心性质、正弦定理.
15．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件结合数量积的运算得到，再利用线性运算得到，即可求解；
（2）根据（1）和条件得到，，由垂直关系得到，从而得到关于的方程，即可求解.
【详解】（1）在平行四边形中，，，，
所以，
因为点是线段的中点，
所以，
则，
故的值为.
（2）由（1）知：，，
则，，
又因为，
则，
即，
即，解得：，
故的值为.
16．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义求出，再以、为基底表示、，最后根据数量积的运算律计算可得；
（2）求出、，再根据计算可得.
【详解】（1）因为，
因为，即为的中点，所以，
又，所以，
所以
；
（2）由题意知等于向量和的夹角，
因为，所以；
因为，所以；
所以．
B数学素养落实
一、单选题
1．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】由，，然后由数量积的运算计算，结合正六边形性质可得．
【详解】如图，连接，显然，
，
点在正六边形的边上运动，是其中心，因此的最大值等于其边长4，
所以的最大值为．
故选：D．

2．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，再两边平方求解即可.
【详解】
由，则①，
又②，
由①+②可得，即，
故，设与夹角为，
则，解得.
故选：C．
3．（2023下·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将两边平方，根据数量积的运算律可求得的值，根据向量夹角公式即可求得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，所以，
又因为，所以，
故选：B
4．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量垂直得数量积为0，求得数量积与向量模的关系，根据向量夹角公式求解即可.
【详解】因为向量与向量垂直，所以，所以，
因为向量与向量垂直，所以，所以，
所以，即，所以，又，
所以，即与的夹角为.
故选：C
5．（2023下·四川自贡·高一校考期中）若四边形满足，，则该四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
【答案】C
【分析】根据可判断四边形为平行四边形，由可得，可判断四边形为菱形.
【详解】
因，所以，故，且，
故四边形为平行四边形，
由得，即，
所以平行四边形对角线互相垂直，故四边形为菱形.
故选：C
6．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知中，，，，O为的外心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知，O为外接圆的圆心，过O作，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值．
【详解】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为,
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，
所以，
故选：D.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将两边分别乘以，结合数量积定义化简得到关于的方程，求得答案.
二、多选题
7．（2023下·河北石家庄·高一校考阶段练习）设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别是，，，则正确的是（ ）
A．为的外心
B．为的重心
C．为的垂心
D．为的内心
【答案】BCD
【分析】由三角形四心的定义，利用向量共线定理、向量垂直的几何意义和平面几何的知识，即可得出结果.
【详解】对于A：当为三角形的外心，取的中点，，则，，即，
反之，若，取的中点，则，即，
即，只能得到在的垂直平分线上，不能得到为三角形的外心，故A错误；
对于B：当为三角形的重心，为中线的交点，延长交于点，
可得，所以，.
反之，取的中点，若，则，
则可得，，三点共线且，即为三角形的重心，故B正确；
对于C：当为三角形的垂心，，
同理可证，即，反之也成立，故C正确；
对于D：当为三角形的内心，为三角形的角平分线，则，，
如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，
则四边形为平行四边形，
，
所以，反之也成立，故D正确；
故选：BCD
8．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】通过平方的方法化简已知条件，根据向量夹角、基本不等式等知识确定正确答案.
【详解】由两边平方得①，
由两边平方得②，
①+②得，
①-②得.
，
而，所以，
所以ABD选项符合，C选项不符合.
故选：ABD
三、填空题
9．（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知向量，满足，， 则 ．
【答案】
【分析】由关系式中知三求一可得.
【详解】由，
得，
又，
两式相加得，
则，则.
故答案为：.
10．（2023下·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 .

【答案】
【分析】运用平面向量基本定理和数量积的定义，将表示为某变量的函数，进而求出取值范围即可.
【详解】因为，
所以，，
设，
则
，
，
则
，
对于，其开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
所以的取值范围是.
故答案为：
11．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知向量、满足，，则 .
【答案】
【分析】由得，经平方后转化为数量积求解.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
12．（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是 ．

【答案】
【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.
【详解】由题可得，，，
，
所以
，
，
，
所以，
则.
故答案为：.
四、证明题
13．（2023·全国·高一随堂练习）已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，把用表示，代入已知向量等式计算，即可证明,
【详解】因为，，，
由可得，
，
所以，
则，
，
。
所以点O是三条高线的交点.
五、问答题
14．（2023下·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)k不存在
(3)
【分析】（1）利用，结合向量模长公式即可求出，则结论可求；
（2）根据两向量垂直的充要条件列出k的方程求解；
（3）由可求出x，y的值，根据向量数量积的运算律则问题可解．
【详解】（1）由已知，，且与的夹角为60°，
可得
因为，故；
又，所以可得；
（2）因为，且，
所以
化简得，显然不成立，
故k不存在；
（3）因为，故，
所以，
.
所以的值为.
15．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)当为何值时，与垂直？
(3)求向量与的夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得，然后通过平方的方法求得.
（2）根据向量垂直列方程，化简求得的值.
（3）根据向量的夹角公式求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，
则，
解得.
（3），
设向量与的夹角为，
则.
16．（2023下·江苏常州·高一统考期末）如图所示，在中，，，，．

(1)用表示；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）由向量的线性运算求解即可；
（2）分别由，向量表示，由向量的数量积运算求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
因为，所以，
所以；
（2）
，
即的值为13．6.2.4　向量的数量积
第二课时
知识点归纳
向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝ (结合律).
(3)(a＋b)·c＝ (分配律).
提示：(1)a·b＝b·c推不出a＝c；
(2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量.
题型演练
题型一　平面向量的数量积
例1 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，b方向的单位向量为e.
(1)求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值；
(2)求a在b上的投影向量.
小结　1.运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，求解时要灵活运用数量积的运算律.
2.若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.
变式1 (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A.4 B.3
C.2 D.0
(2)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD的中点，则·＝(　　)
A. B.－
C. D.－
题型二　向量模的计算
例2 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
A.2 B.2
C.6 D.12
小结　1.利用向量的数量积求模是数量积的重要应用，a2＝|a|2是计算的依据.
2.根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或者夹角等进行转化.
变式2 已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　)
A.6 B.4
C. D.
题型三　向量的夹角与垂直
类型1　求两向量的夹角
例3 已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(4a－b)·(a＋3b)＝2，则向量a，b的夹角θ为(　　)
A. B.
C. D.
小结　1.求向量夹角的基本步骤：
2.求向量的夹角，还可以结合向量线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解.
类型2　利用数量积解决向量的垂直问题
例4 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直.
变式3 已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb).
总结 1.重要思想与方法
(1)求向量的数量积要灵活应用其运算律，求向量的夹角与模时，则要灵活应用夹角公式和模的计算公式.
(2)用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的思想方法.
2.易错易混点提醒
要注意数量积不满足结合律.
分层作业
A基础能力提升
一、单选题
1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）设非零向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．（2023下·天津和平·高一统考期末）已知平面向量，且与的夹角为，则（ ）
A．12 B．16 C． D．
5．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．4
6．（2023下·全国·高一期末）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知向量满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．，有恒成立 D．若，则
8．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知，下述结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高一随堂练习）若，，且，则与的夹角为 ；
10．（2023下·上海宝山·高一校考期中）设向量、满足，，且，则 ．
11．（2023下·贵州安顺·高一统考期末）已知平面非零向量与的夹角为，若，则 .
12．（2023下·福建·高一福建师大附中校考期末）在中，，.若点D在边BC上，且满足，则 .
四、问答题
13．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，？
14．（2023·全国·高一课堂例题）如图，是等边三角形，边长为2，P是平面上任意一点．求的最小值．

15．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．

(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
16．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点．
(1)求；
(2)求．
B数学素养落实
一、单选题
1．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径∥，点在正六边形的边上运动，则的最大值为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·辽宁锦州·高一渤海大学附属高级中学校考阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·山东青岛·高一统考期中）已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·四川自贡·高一校考期中）若四边形满足，，则该四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形
6．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知中，，，，O为的外心，若，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023下·河北石家庄·高一校考阶段练习）设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别是，，，则正确的是（ ）
A．为的外心
B．为的重心
C．为的垂心
D．为的内心
8．（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023下·山东菏泽·高一校考阶段练习）已知向量，满足，， 则 ．
10．（2023下·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且，，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是 .

11．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知向量、满足，，则 .
12．（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值是 ．

四、证明题
13．（2023·全国·高一随堂练习）已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
五、问答题
14．（2023下·全国·高一期末）如图，在中，已知P为线段上的一点，，，且与的夹角为60°．

(1)若，求；
(2)若，且，求实数k的值；
(3)若，且，求的值．
15．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)当为何值时，与垂直？
(3)求向量与的夹角的余弦值．
16．（2023下·江苏常州·高一统考期末）如图所示，在中，，，，．

(1)用表示；
(2)求的值．

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