资源简介

6.2.4　向量的数量积
第一课时
知识点归纳
一、两向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角.
2. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b .
如果a与b的夹角是，我们说a与b ，记作 .
提示：(1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.
(2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
二、两个向量的数量积
1. 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
2. 向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝ .
②a⊥b a·b＝ .
③当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ，特别地，a·a＝ 或|a|＝.
④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立).
⑤cos θ＝.
提示：(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
(4)|a|＝是求向量的长度的工具.
(5)沟通了向量运算与数量之间的关系.
三、投影向量
投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
　　
图(1)　　　　　　　图(2)
如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝ .
提示：(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
题型演练
题型一　两向量的夹角
例1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
小结　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
变式1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
题型二　两向量的数量积
例2 (1)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)
A.－2 B.2
C.－2 D.2
(2)已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________.
小结　定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
变式2 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
题型三　投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________.
小结　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).
变式3 (1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是(　　)
A.－4e B.4e
C.－2e D.2e
(2)已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________.
总结 1.重要思想与方法
(1)计算向量的数量积与投影向量要紧扣其定义进行.
(2)在求向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法.
2.易错易混点提醒
(1)向量夹角共起点.
(2)a·b>0 / 两向量的夹角为锐角，a·b<0 / 两向量的夹角为钝角.
分层作业
A基础能力提升
一、单选题
1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知向量，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（2023下·安徽池州·高一校联考期中）已知菱形的边长为1，，点E是边上的动点，则的最大值为（ ）．
A．1 B． C． D．
二、多选题
7．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．若，，且与共线，则
B．若，，且，则与不共线
C．在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形
D．若向量，，则是与夹角为钝角的充要条件
8．（2023下·四川南充·高一校考期中）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．在等边中，与的夹角为60°
三、填空题
9．（2023下·广东佛山·高一校考期中）已知向量满足，则 ．
10．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 .
11．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ．
12．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）设点、、、为四个互不相同的点，且在同一圆周上，若，且，则 .
四、问答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，当，满足下列条件时，分别求的值．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为．
14．（2023·全国·高一课堂例题）如图所示，求出以下向量的数量积．

(1)；
(2)；
(3)．
15．（2023下·福建南平·高一统考期末）已知向量，，，且.
(1)求在上的投影向量；
(2)求与的夹角.
B数学素养落实
一、单选题
1．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知，，且与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）已知为的外接圆圆心，且，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2023下·陕西西安·高一统考期中）已知，为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．，且与方向相反
C． D．，无论什么关系均可
4．（2023下·宁夏吴忠·高一统考期末）若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知平面向量，对任意实数都有，成立.若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·重庆·高一统考期末）已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023下·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期末）下列说法正确的是（ ）．
A．平行向量就是共线向量
B．两个非零向量，，若，则，夹角为锐角
C．向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得
D．向量在非零向量上投影向量的长度为
8．（2023下·河北承德·高一统考期末）如图，均为等腰直角三角形，在线段上，，在扇形中，为的中点，为上一动点，为线段上一动点，则（ ）

A．向量在向量上的投影向量为
B．向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量相等
C．当的位置固定，在线段上移动时，为定值
D．当的位置固定，在上移动时，为定值
9．（2023下·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考阶段练习）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
三、填空题
10．（2023下·江苏南京·高一校考期中）如图在直角梯形中，已知，，，，，则 .
11．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从，，，四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为 ．

12．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ．
13．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 ．
四、问答题
14．（2023下·江苏苏州·高一星海实验中学校考阶段练习）已知，，且与夹角为.
(1)求与的夹角；
(2)若向量与平行，求实数的值.
15．（2023下·高一课时练习）在中，已知，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量；
(3)在方向上的投影的数量．6.2.4　向量的数量积
第一课时
知识点归纳
一、两向量的夹角
1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
提示：(1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.
(2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角.
二、两个向量的数量积
1. 平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2. 向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e＝e·a＝|a|cos__θ.
②a⊥b a·b＝0.
③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立).
⑤cos θ＝.
提示：(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写.
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量.
(4)|a|＝是求向量的长度的工具.
(5)沟通了向量运算与数量之间的关系.
三、投影向量
投影向量
如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.
　　
图(1)　　　　　　　图(2)
如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos__θ__e.
提示：(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量.
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.
题型演练
题型一　两向量的夹角
例1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　)
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案　C
解析　如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.
小结　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
变式1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解　如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
题型二　两向量的数量积
例2 (1)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)
A.－2 B.2
C.－2 D.2
(2)已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________.
答案　(1)B　(2)
解析　(1)·＝||||cos ∠ABC
＝2×·cos 45°＝2.
(2)设a与b的夹角为θ，
由题意知|a|＝|b|＝1，
则cos θ＝＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
小结　定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
变式2 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
解　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
题型三　投影向量
例3 已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________.
答案　e
解析　∵cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)，
∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θe＝e.
小结　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).
变式3 (1)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是(　　)
A.－4e B.4e
C.－2e D.2e
(2)已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________.
答案　(1)A　(2)4
解析　(1)根据投影向量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影向量是|a|cos θe＝e＝－4e.
(2)设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，
∴|a|·|b|·cos θ＝16，
又∵a在b上的投影向量为4e，
∴|a|·cos θe＝4e，
∴|a|cos θ＝4，∴|b|＝4.
总结 1.重要思想与方法
(1)计算向量的数量积与投影向量要紧扣其定义进行.
(2)在求向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法.
2.易错易混点提醒
(1)向量夹角共起点.
(2)a·b>0 / 两向量的夹角为锐角，a·b<0 / 两向量的夹角为钝角.
分层作业
A基础能力提升
一、单选题
1．（2023下·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）在边长为2的等边中，的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.
【详解】∵，向量与的夹角为120°，
∴.
故选：D
2．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知向量，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据公式可求夹角的大小.
【详解】，而，故，
故选：B.
3．（2023下·湖北省直辖县级单位·高一湖北省仙桃中学校考阶段练习）已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用投影向量定义求解即可.
【详解】由已知，向量，的夹角为，
得，又已知为单位向量，
则在上的投影向量是.
故选：D.
4．（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考阶段练习）设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用投影向量的定义可求得的值.
【详解】因为向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，
则，故.
故选：C.
5．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，为外接圆的圆心，过作，，已知等式两边同乘以，结合数量积定义得，同理得，从而两式联立即可求得的值．
【详解】由题意可知，为的外心，设外接圆半径为，
在圆中，过作，，垂足分别为，，
则，分别为，的中点，
因为，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则，得①，
同理两边乘，即，，
则，得②，
①②联立解得，，
所以．
故选：C．
6．（2023下·安徽池州·高一校联考期中）已知菱形的边长为1，，点E是边上的动点，则的最大值为（ ）．
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，令,直接利用向量的数量积定义运算即可.
【详解】设，，
，
∴的最大值为．
故选:D．
二、多选题
7．（2023下·广东东莞·高一校考阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．若，，且与共线，则
B．若，，且，则与不共线
C．在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形
D．若向量，，则是与夹角为钝角的充要条件
【答案】BC
【分析】特殊向量法判断A，D选项，根据向量共线的坐标表示判断B选项，应用向量数量积判断钝角判断C选项.
【详解】当，，与共线，A选项错误；
若，，，则与共线，所以当，则与不共线，B选项正确；
在△ABC中，若，，则是钝角， 则△ABC是钝角三角形，C选项正确；
向量，，当时， ， 与夹角为，则是与夹角为钝角的不充条件，D选项错误.
故选：BC.
8．（2023下·四川南充·高一校考期中）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．在等边中，与的夹角为60°
【答案】ABCD
【分析】根据平面向量的定义即可判断A；根据数量积的定义即可判断B；根据平面向量共线的定义即可判断C；根据向量夹角的定义即可判断D.
【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误；
对于B，当时，，此时无法确定，故B错误；
对于C，当时，此时无法判断是否平行，故C错误；
对于D，在等边中，，
则与的夹角为，故D错误.
故选：ABCD.
三、填空题
9．（2023下·广东佛山·高一校考期中）已知向量满足，则 ．
【答案】/
【分析】先求，，利用向量夹角公式可得答案.
【详解】由题意，
，所以，
故答案为：
10．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 .
【答案】
【分析】根据投影向量的计算公式计算即可.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以在方向上的投影向量是.
故答案为：.
11．（2023下·浙江金华·高一校联考阶段练习）已知平面向量满足，且，则在上投影向量为，则 ．
【答案】
【分析】根据向量的投影的概念及公式直接计算.
【详解】在上投影向量为，即，
故.
故答案为: .
12．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）设点、、、为四个互不相同的点，且在同一圆周上，若，且，则 .
【答案】
【分析】依题意可得为圆的直径，设，则为圆的直径，连接，根据数量积的定义及锐角三角函数计算可得.
【详解】，
，
为圆的直径，如图所示：

设，则为圆的直径，连接，，
，
．
故答案为：．
四、问答题
13．（2023·全国·高一随堂练习）已知，，当，满足下列条件时，分别求的值．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】根据数量积的定义计算可得.
【详解】（1）因为，所以与的夹角为或，又，，
当与的夹角为时，
当与的夹角为时.
（2）因为，所以与的夹角为，
所以.
（3）因为与的夹角为，
所以.
14．（2023·全国·高一课堂例题）如图所示，求出以下向量的数量积．

(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)1
(2)0
(3)
【分析】（1）（2）根据图得到向量夹角及向量的模，利用数量积公式计算；
（3）根据向量在向量上投影的数量计算.
【详解】（1）图可知，
因此
（2）由图可知，，因此0．
（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知．
15．（2023下·福建南平·高一统考期末）已知向量，，，且.
(1)求在上的投影向量；
(2)求与的夹角.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用投影向量的概念求解即可；
（2）先利用向量的数量积运算求得，再利用求解即可.
【详解】（1）因为向量，，，且，
所以在上的投影向量为.
（2）因为向量，，，且，
所以
，
所以，
记与的夹角为，
则，
又，所以与的夹角为.
B数学素养落实
一、单选题
1．（2023下·福建龙岩·高一校联考期中）已知，，且与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出数量积，再根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为，，且与的夹角为，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：A
2．（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）已知为的外接圆圆心，且，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由已知条件可得是为直角的等腰三角形，然后数量积的定义求解即可
【详解】由可知为中点，则为直径，
所以；
在等腰中，由，得，
所以，
所以是为直角的等腰三角形，
所以
故选：A.
3．（2023下·陕西西安·高一统考期中）已知，为非零向量，且，则（ ）
A．，且与方向相同 B．，且与方向相反
C． D．，无论什么关系均可
【答案】A
【分析】对两边平方得到，结合平面向量数量积公式得到，从而，且与方向相同.
【详解】，两边平方得，
化简得，即，
又，其中为，的夹角，
因为，为非零向量，所以，则.
故，且与方向相同.
故选：A
4．（2023下·宁夏吴忠·高一统考期末）若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积和模，代入向量的夹角公式，即可求解.
【详解】，
，
，
所以，且，
所以.
故选：C
5．（2023下·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知平面向量，对任意实数都有，成立.若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，根据题意得到在以为直径的圆周上，过点作，得到，设，求得，进而得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设，则，
若对任意的实数都有且成立，
即对任意的实数都有且成立，
即成立，所以在以为直径的圆周上，
设圆心为，过点作，交于点，交圆于点，
可得向量在上的射影长最大值为，
所以，
设，其中，且，
则，
所以，
所以，
，，
当时，取得最大值，最大值为.
故选：B.

6．（2023下·重庆·高一统考期末）已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，求出，再根据向量在向量上的投影向量的定义列式求出，最后利用平面向量的夹角公式可求得结果.
【详解】因为是与向量方向相同的单位向量，设，
则，所以，得，所以，
因为向量在向量上的投影为，且向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，所以，所以，
设与的夹角为，则，
又，所以.
故选：B．
二、多选题
7．（2023下·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期末）下列说法正确的是（ ）．
A．平行向量就是共线向量
B．两个非零向量，，若，则，夹角为锐角
C．向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得
D．向量在非零向量上投影向量的长度为
【答案】AD
【分析】根据平行向量与共线向量的定义判断A；根据数量积的定义判断B；根据特例法判断C错；求出向量在非零向量上投影向量为，可判断D.
【详解】根据平行向量与共线向量的定义，平行向量就是共线向量，A正确；
若两个非零向量夹角则，B错；
若，满足向量与共线，但不存在实数使得，C错；
两个非零向量夹角，则，
则向量在非零向量上投影向量为，
其长度为，D正确.
故选：AD.
8．（2023下·河北承德·高一统考期末）如图，均为等腰直角三角形，在线段上，，在扇形中，为的中点，为上一动点，为线段上一动点，则（ ）

A．向量在向量上的投影向量为
B．向量在向量上的投影向量与向量在向量上的投影向量相等
C．当的位置固定，在线段上移动时，为定值
D．当的位置固定，在上移动时，为定值
【答案】ABC
【分析】根据数量积的定义、投影向量的定义及几何图形一一判断即可.
【详解】由题意得，则，
所以与同向，又在上的投影向量为，所以在上的投影向量为，故A正确.
如图，过作，垂足为，与同向，在上的投影向量均为，故B正确.
因为，
当的位置固定，在线段上移动时，是定值，
所以是定值，故C正确.
当的位置固定，在上移动时，不是定值，所以不是定值，故D错误.

故选：ABC
9．（2023下·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考阶段练习）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形，下列说法正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】CD
【分析】对于A，可得与为相反向量；对于B，证明即得解；对于C，求出即得解；对于D，证明即得解.
【详解】对于A，，由图可得与为相反向量，故A错误；
对于B，由图易得，直线平分，且为正三角形，

根据平行四边形法则有与共线且同方向，
易知均为直角三角形，，
故，
则，而，故，
故，故B错误；
对于C，，
，则，又，
， ，，故C正确；

对于D，由C知，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：CD.
三、填空题
10．（2023下·江苏南京·高一校考期中）如图在直角梯形中，已知，，，，，则 .
【答案】22
【分析】根据向量的加法原理和数量积求解即可；
【详解】解：因为，
所以
，
因为，，，
所以，
因为直角梯形，
所以，故，
所以原等式
.
故答案为：22.
11．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从，，，四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为 ．

【答案】4
【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．
【详解】由题意可知：则，
所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，

由图形可知：当向量时，向量在向量上的投影最大，
,在中应用余弦定理，
即.
即的最大值为．
故答案为： ．
12．（2023下·上海虹口·高一上外附中校考期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决.
【详解】正六边形中，过点作于，

则，，，
，
由图可知，在方向上的投影的取值范围是，
所以，，
即，故的取值范围为.
故答案为：.
13．（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 ．
【答案】
【分析】设，根据勾股定理求出，然后求出，，，，根据两角和的余弦公式求出，最后利用平面向量数量积的定义可求出结果.
【详解】设，则，，
在直角三角形中，，即，即，
解得或（舍），
在直角三角形中，，，，
在直角三角形中，，，
所以
，
所以.
故答案为：.
四、问答题
14．（2023下·江苏苏州·高一星海实验中学校考阶段练习）已知，，且与夹角为.
(1)求与的夹角；
(2)若向量与平行，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的数量积求模长与夹角；
（2）根据平面向量的共线定理列方程组求出实数的值.
【详解】（1）解：因为，，且与夹角为，
所以，
，
所以，
所以
又因为，所以向量与的夹角为；
（2）因为向量与平行，
所以存在，使得，
即，解得，所以实数的值为.
15．（2023下·高一课时练习）在中，已知，求：
(1)；
(2)在方向上的投影向量；
(3)在方向上的投影的数量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由条件可得，进而得到，然后根据向量数量积的定义求解即可；
（2）根据投影向量的定义求解即可.
（3）根据投影向量的定义求解即可.
【详解】（1）因为，，，
所以，即，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
所以在方向上的投影为.
（3）由（1）知，，
所以在方向上的投影的数量为.

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