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第四章　三角形
1　认识三角形
第三课时　三角形的中线、角平分线和高线
基础过关全练
知识点7　三角形的中线和重心
23.如图,AD是△ABC的一条中线,若BD=3,则BC的值是(　　)
A.6　　　　　　B.3　　　　
C.9　　　　　　D.不能确定
　
24.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是(　　)
A.点G　　　　　　B.点D　　　　
C.点E　　　　　　D.点F
25.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,则△ABD和△BCD的周长差是(　　)
A.2　　　　　　B.3　　　　
C.6　　　　　　D.不能确定
知识点8　三角形的角平分线
26.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这个交点一定在(　　)
A.三角形内部
B.三角形的一边上
C.三角形外部
D.三角形的某个顶点上
27.如图,D是△ABC中BC边上的一点,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且∠ADE=∠ADF,AD是△ABC的角平分线吗 说明理由.
知识点9　三角形的高
28.(2023黑龙江哈尔滨香坊期中)如图,四个图形中,线段BE是△ABC的高的是(　　)
　　　　　　　　　　
　　　　　　
29.如图,若∠CBD=∠E=∠F=90°,则线段　　　　是△ABC中BC边上的高.
30.在△ABC中,∠ACB是钝角,AD是BC边上的高,若AD=2,BD=3,CD=1,则△ABC的面积等于　　　　.
31.【新独家原创】如图,AD、AE分别是△ABC的角平分线和高,∠C=71°,∠DAE=10°.
(1)求∠BAD的度数;
(2)求∠B的度数.
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32.【新考法】(2023福建中考,3,★☆☆)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是(　　)
A.1　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.9
33.【分类讨论思想】(2023重庆沙坪坝期中,8,★★☆)等腰三角形的两条边长分别为15和7,则它的周长等于(　　)
A.22　　　　B.29　　　　C.37　　　　D.29或37
34.(2023湖北宜昌中考,8,★★☆)如图,小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺,依次画出了直线a,b,c.如果∠1=70°,则∠2的度数为(　　)
A.110°　　　　B.70°　　　　C.40°　　　　D.30°
　
35.(2023河北石家庄八中阶段测试,15,★★★)若a,b,c是△ABC的三边长,化简:|a+b-c|-|a-c-b|=　　　　.
36.【中线等分面积法】(2023广东深圳期中,16,★★★)如图所示,把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍,得到的点为A'、B'、C',连接A'B',B'C',A'C'.若△ABC的面积是5,则△A'B'C'的面积是　　　　.
37.【一题多解】(2023河北保定一中分校阶段测试,15,★★★)如图,△ABC中,点D、E、F分别在三边上,E是AC的中点,AD、BE、CF交于点G,BD=2DC,S△GEC=3,S△GDC=4,则△ABC的面积是　　　　.
38.(2022江苏泰州二中月考,24,★★☆)如图,在△BCD中,BC=4,BD=5.
(1)求CD的取值范围;
(2)若AE∥BD,∠A=55°,∠BDE=125°,求∠C的度数.
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39.【新考向·规律探究题】【几何直观】
(1)如图1,图中共有　　　　个三角形;如图2,若增加一条线,则图中共有　　　　个三角形;
(2)如图3,若增加到10条线,请你求出图中三角形的个数.
　
答案全解全析
基础过关全练
23.A　∵AD是△ABC的一条中线,BD=3,
∴BC=2BD=2×3=6.
24.B　取BC的中点N,取AC的中点M,连接AN,BM,如图所示,
则AN与BM的交点为D,
故点D是△ABC的重心,
故选B.
25.A　∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD,
∴△ABD和△BCD的周长差是(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=5-3=2.
故选A.
26.A　
27.　解析　AD是△ABC的角平分线.
理由:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴∠ADE=∠DAF,∠ADF=∠EAD,
又∵∠ADE=∠ADF,∴∠DAF=∠EAD,
又∵∠DAF+∠EAD=∠BAC,
∴AD是△ABC的角平分线.
28.C　A.线段BE不是△ABC的高,不符合题意;
B.线段BE不是△ABC的高,不符合题意;
C.线段BE是△ABC的高,符合题意;
D.线段BE不是△ABC的高,不符合题意.
故选C.
29.　答案　AE
30.　答案　2
解析　如图.∵BD=3,CD=1,∴BC=BD-CD=2,
又∵AD是BC边上的高,AD=2,
∴△ABC的面积=BC·AD=×2×2=2.
31.　解析　(1)∵AE是△ABC的高,∴∠AEC=90°,
∴∠CAE=90°-∠C=90°-71°=19°,
∵∠DAE=10°,∴∠DAC=10°+19°=29°.
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠DAC=29°.
(2)∵∠BAD=∠DAC=29°,
∴∠BAC=29°+29°=58°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-58°-71°=51°.
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32.B　由题意,得4-3故m的值可以是5,故选B.
33.C　当7是腰长时,7+7<15,不能组成三角形,舍去;
当15是腰长时,15+7>15,能组成三角形,此时三角形的周长是7+15×2=37.故选C.
34.C　如图,
由题意得∠4=30°,b∥c,∴∠3=∠1=70°,
∵∠3=180°-(180°-∠4-∠5),∴∠3=∠4+∠5=70°,
∴∠5=40°,∴∠2=∠5=40°,
故选C.
35.　答案　2a-2c
解析　本题把绝对值和三角形三边关系结合在一起考查,体现了代数和几何知识的综合运用.
∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b>c,b+c>a,
∴a+b-c>0,a-c-b<0,
∴|a+b-c|-|a-c-b|
=a+b-c-(c+b-a)
=a+b-c-c-b+a
=2a-2c.
36.　答案　35
解析　如图,连接AB'、BC'、CA',
由题意得AB=AA',BC=BB',AC=CC',
∴△AA'B'的面积=△ABB'的面积=△ABC的面积=△BCC'的面积=△AA'C的面积=△BB'C'的面积=△A'C'C的面积=5,
∴△A'B'C'的面积=5×7=35.
方法解读　中线等分面积法:根据等底同高,可知三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分,本题先作出三条辅助线,即中线AB'、BC'、CA',等分对应三角形的面积,再求总面积即可.
37.　答案　30
解析　解法一:∵BD=2DC,∴S△GDB=2S△GDC.
∵S△GEC=3,S△GDC=4,
∴S△BCE=S△GDB+S△GDC+S△GEC=8+4+3=15.
∵E是AC的中点,∴S△BAE=S△BCE,
∴S△ABC=2S△BCE=2×15=30.故答案为30.
解法二:∵BD=2DC,∴S△ABD=2S△ACD,∴S△ABC=3S△ACD,
∵E是AC的中点,∴S△AGE=S△CGE,
又∵S△GEC=3,S△GDC=4,
∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10,
∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30.
38.　解析　(1)在△BCD中,BD-BC∵BC=4,BD=5,∴5-4(2)∵AE∥BD,∠BDE=125°,
∴∠AEC=180°-∠BDE=55°,
又∵∠A+∠C+∠AEC=180°,∠A=55°,∴∠C=70°.
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39.　解析　(1)10;24.
(2)增加1条线,三角形的个数为10+10×1+4×1;
增加2条线,三角形的个数为10+10×2+4×(2+1);
增加3条线,三角形的个数为10+10×3+4×(3+2+1);
增加n条线,三角形的个数为10+10n+4×(n+n-1+n-2+…+1),所以增加10条线,三角形的个数为10+10×10+4×(10+9+8+…+1)=330.

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