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5.7三角函数的应用 导学案
【学习目标】
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)
2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
【自主学习】
一．简谐运动
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0
1. 就是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
2.简谐运动的周期是T＝ ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
3.简谐运动的频率由公式f＝＝ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
4. 称为相位；x＝0时的相位 称为初相．
【答案】A ωx＋φ φ
二.三角函数模型的应用
1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用________________准确地描述它们的运动变化规律．
2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
【答案】三角函数模型
【当堂达标基础练】
1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
（１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（２）写出这个简谐运动的函数解析式.
解：（1）从图像上可以看到，
这个简谐运动的振幅为A=3cm;
周期为（s）；
频率为Hz .
（2）设这个简谐运动的函数表达式为
２．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
（１）当l=25时，求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
（２）已知，要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度应当是多少(精确到0.1cm)？
解:(1)设最大偏角为θ.
的最大值为3.
最大偏角θ满足，根据计算器计算结果可得.
∴ 线的长度应是
3.一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．
【解析】周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V．电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，＋∞).
4.图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 周期 后，乙点的位置将移至何处？
【解析】乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处
5.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
【解析】（1）图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差，观察图形得出这段时间的最大温差为20℃．
（2）由图可知,
6.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需 0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？
【解析】（1）从散点图的形状可以判断，这个港口的水深y与时间x的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.
从数据和图形可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述.
（2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5 m．从函数的解析式来看，满足y≥5.5，即2.5sinx+5≥5.5，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y=2.5sinx+5的图象在直线y=5.5上方时，该船能够进入港口．
利用信息技术绘出两个函数的图象,如下图.
求得交点的横坐标分别为：
xA≈0.3975，xB≈5.8025，xC≈12.7975，xD≈18.2025．
xC，xD也可由函数的周期性得到：
xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025.
因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．
（3）设在x h时货船的安全水深为y m，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．
从函数的解析式来看，满足y≥5.5-0.3(x-2)，即2.5sinx+5≥5.5-0.3(x-2)时，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y=2.5sinx+5的图象在直线y=5.5-0.3(x-2)上方时，该船能够进入港口．
利用信息技术绘出两个函数的图象，如下图：
可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P，
借助计算工具，用二分法可以求得点 P 的坐标约为（7.016，3.995）.
因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)
A．2π s　　　　　 B．π s
C．0.5 s D．1 s
【答案】D　
【解析】依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.
2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝x
【答案】C　
【解析】观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝，f＝0，A项不合适，故选C.
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均温度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
则适合这组数据的函数模型是(　　)
A．y＝acos B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acos－3
【答案】C　
【解析】当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝＞0.故选C.
4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
【答案】A　
【解析】由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2 A＝3.
T＝15，则ω＝.故选A.
5．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)
【答案】A　
【解析】当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.
二、多选题
6．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷
【答案】BC
【分析】根据图象求得体力周期、情绪周期、智力周期，根据周期性求得正确答案.
【详解】由题图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为．
从同学甲出生到今日的天数为5860，
故对于体力，有5860＝23×254＋18，处于低潮期，疲倦乏力；
对于情绪，有5860＝28×209＋8，处于高潮期，心情愉快；
对于智力，有5860＝33×177＋19，处于低潮期，反应迟钝．
故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝．BC选项正确.
故选: BC
三、填空题
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【答案】20．5　
【解析】由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.
8．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
【答案】y＝2sin　
【解析】由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1,2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin.
9．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
【答案】7　
【解析】函数y＝－sinx的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.
四、解答题
10．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－.
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，而x∈[4,16]，
所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．
11．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
[解]　建立如图所示的平面直角坐标系
(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在t min内转过的角为t，即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.
(2)当50＋40cosπt≥70时，解之得，2k－≤t≤2k＋，持续时间为min.
即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过70 m.
【当堂达标素养练】
一、单选题
1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
【答案】C　
【解析】当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C.
2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
A　　　　 B　　 　 C　　　　 D
【答案】C
【解析】令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，
即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.
二、多选题
3．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数；
B．的最小正周期为；
C．在区间上单调递增；
D．若方程在有四个不同的实根，则这四个实根之和为或．
【答案】BC
【分析】由题意，结合函数的图象以及函数的单调性和奇偶性分别判断即可得出答案.
【详解】函数
所以
由，可知A错误；
画出函数在的图象，如图所示：
显然有，结合图象的最小正周期为，所以B正确；
在区间上，为增函数，C正确.
当时，四个实根之和为，当时，四个实根之和为，
当时，四个实根之和为，所以D错误.
故选：BC.
4．已知函数（a为常数，）的图像关于直线对称，函数，则下面说法正确的是（ ）
A．将的图像向左平移个单位可以得到的图像
B．的图像关于点对称
C．在上单调递减
D．的最大值为1
【答案】ABC
【分析】由正弦函数的性质，为的最大值，由此求得值，然后由两角和的正弦公式化简函数式，再根据三角函数的图象变换，正弦函数的对称性、单调性与最值判断各选项．
【详解】由题意，，
，
，
将的图像向左平移个单位所得图像的解析式为，A正确；
，B正确；
时，，此时是减函数，C正确；
的最大值为，D错误．
故选：ABC．
三、填空题
5．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
【答案】　
【解析】因为Asin＋60＝80，
sin≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.
6．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________.
【答案】－　
【解析】由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为
，则由T＝＝，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f(x)＝sin，于是f＝sin＝－.
四、解答题
7．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
[解]　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.
(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．
(3)列表：
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.
8．一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设，再求解析式即可；
（2）令，解得，，进而当时，P第一次到达最高点，求得对应值即可.
【详解】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，，
∵，∴，
∴，
∵时，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴当时，P第一次到达最高点，
∴点P第一次到达最高点大约要.
9．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【答案】(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
10．如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.
(1)求y关于θ的函数关系式.
(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.
【答案】(1)，其中
(2)
【分析】（1）结合三角函数分别表示出，即可求解y关于θ的函数关系式；
（2）由（1）得令，结合辅助角公式求出，进而得解.
【详解】（1）由题可知，，其中
（2）由（1）可得
因为，所以，设，则，即，因为，所以，解得，，此时，，满足，故当时，总施工费用y达到最小，
所以
11.如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
【答案】(1)；
(2)10分钟．
【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式；
（2）解不等式后可得．
【详解】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，，
最低点到地面距离为10 m，
所以，，又，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，，．
所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m．
12．某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场，如图，已知扇形圆心角，半径米，关于轴对称.欲在该地截出内接矩形建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦，设，记.
(1)写出、两点的坐标，并以为自变量，写出关于的函数关系式；
(2)当为何值时，矩形田径场的面积最大？并求出最大面积.
【答案】(1)，，
，，，
(2)当时，最大面积为平方米
【分析】（1）由题意得到，从而得到点坐标，且两点的纵坐标相同，求出直线的解析式，从而确定点的横坐标，得到点的坐标，从而得到关于的函数关系式；
（2）在第一问的基础上，利用三角恒等变换得到，结合，求出最值.
【详解】（1）由题意得：米，，
所以，，
因为轴，
所以两点的纵坐标相同，
其中直线，
将代入，解得：，
故，，
∴
，；
（2）
，
因为，所以，
∴当，即时，平方米.
13．如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上 点在上 点和在上 点在上，记.
(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
【答案】(1)时，最大值为百米
(2)百米，
【分析】对于小问1，分别用变量来表达，，代入，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值；
对于小问2，分别用变量来表达矩形和平行四边形面积相加，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成型函数求最大值.
（1）
在矩形OEFG中，，，所以.
因为MN∥PQ，，所以，
在△OQP中，，，由正弦定理可知：
，即，
得.
所以
因为，所以，当，时，最大值为百米.
（2）
设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有，
所以平行四边形MNPQ的面积为，
在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面积为，
所以
.
其中，，，因为，所以，
当，时，百米2，
此时.
14．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：，其中表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而表示正弦信号的幅度，是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为，，，（单位：Ω）．
和是两个输入信号，表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，与和的关系为：．
例如当，输入信号，时，输出信号：．
(1)若，输入信号，，则的最大值为___________；
(2)已知，，，输入信号，．若（其中），则___________；
(3)已知，，，且，．若的最大值为，则满足条件的一组电阻值，分别是_____________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)（答案不唯一）
【分析】（1）由辅助角公式得，即可求出最大值；
（2）由正弦余弦的和角公式化简得，解方程组即可求解；
（3）先由余弦的倍角公式化简得，再由二次函数的性质求得最大值为，进而得到，即可求解.
（1）
由题意得，，则的最大值为；
（2）
由题意知，，
整理得，
即，则，解得；
（3）
由题意得，
，
又，则，当时，取得最大值，
则，整理得，即，解得，
又，则，取即满足题意，则（答案不唯一）.5.7三角函数的应用 导学案
【学习目标】
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点)
2.实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
【自主学习】
一．简谐运动
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0
1. 就是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
2.简谐运动的周期是T＝ ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
3.简谐运动的频率由公式f＝＝ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
4. 称为相位；x＝0时的相位 称为初相．
二.三角函数模型的应用
1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用________________准确地描述它们的运动变化规律．
2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
【当堂达标基础练】
1.某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
（１）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（２）写出这个简谐运动的函数解析式.
２．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
（１）当l=25时，求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
（２）已知，要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度应当是多少(精确到0.1cm)？
3.一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．
4.图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 周期 后，乙点的位置将移至何处？
5.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
6.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
(3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需 0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？
【当堂达标提升练】
一、单选题
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)
A．2π s　　　　　 B．π s
C．0.5 s D．1 s
2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝x
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均温度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
则适合这组数据的函数模型是(　　)
A．y＝acos B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acos－3
4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
5．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)
二、多选题
6．从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）：
体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期），它们在一个周期内的表现如下表所示：
高潮期 低潮期
体力 体力充沛 疲倦乏力
情绪 心情愉快 心情烦躁
智力 思维敏捷 反应迟钝
如果从同学甲出生到今日的天数为5860，那么今日同学甲（ ）
A．体力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思维敏捷
三、填空题
7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
8．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
9．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
四、解答题
10．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
11．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
【当堂达标素养练】
一、单选题
1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
2．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
A　　　　 B　　 　 C　　　　 D
二、多选题
3．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数；
B．的最小正周期为；
C．在区间上单调递增；
D．若方程在有四个不同的实根，则这四个实根之和为或．
4．已知函数（a为常数，）的图像关于直线对称，函数，则下面说法正确的是（ ）
A．将的图像向左平移个单位可以得到的图像
B．的图像关于点对称
C．在上单调递减
D．的最大值为1
三、填空题
5．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
6．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________.
四、解答题
7．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数p(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数．
8．一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
9．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
10．如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.
(1)求y关于θ的函数关系式.
(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.
11.如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.
(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；
(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？
12．某中学在荣获省级多样化发展示范学校后，征得一块形状为扇形的土地用于建设新的田径场，如图，已知扇形圆心角，半径米，关于轴对称.欲在该地截出内接矩形建田径场，并保证矩形的一边平行于扇形弦，设，记.
(1)写出、两点的坐标，并以为自变量，写出关于的函数关系式；
(2)当为何值时，矩形田径场的面积最大？并求出最大面积.
13．如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上 点在上 点和在上 点在上，记.
(1)经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
(2)设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
14．正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度不等的正弦型信号的叠加．正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：，其中表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间t（单位：s）的函数，而表示正弦信号的幅度，是正弦信号的频率，相应的为正弦信号的周期，为正弦信号的初相．由于正弦信号是一种最简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源（输入信号）去研究整个电路的工作机理．如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四个电阻，电阻值分别为，，，（单位：Ω）．
和是两个输入信号，表示的是输出信号，根据加法器的工作原理，与和的关系为：．
例如当，输入信号，时，输出信号：．
(1)若，输入信号，，则的最大值为___________；
(2)已知，，，输入信号，．若（其中），则___________；
(3)已知，，，且，．若的最大值为，则满足条件的一组电阻值，分别是_____________．

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