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2023-2024年人教版八年级上册数学期末专题：全等三角形证明
1．如图：已知和相交于点O，，．求证：．
2．如图，的外角，的平分线交于点D，过点D作，，垂足分别为E，F．
(1)若，，求及的度数；
(2)连接，判断是否平分？并说明理由．
3．如图，点E、F在线段上，，，，求证：．
4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
5．如图，中，为边上的一点，，以线段为边作，使得．求证∶．
6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，与相交于点O，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
7．已知：如图，和是等腰直角三角形，，点、、三点在同一直线上，连接．
(1)求证：；
(2)试猜想、有何位置关系，并证明．
8．如图，点在同一条直线上，
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
9．已知：中，，，点为内一点，连接，，，过点作，交的延长线于点．
(1)如图，求证：；
(2)如图，点为的中点，分别连接，，求的度数．
10．如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
11．如图，已知的三个内角的平分线交于点，点在的延长线上，且，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长度．
12．已知：如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13．如图，中，，点、分别是和延长线上的点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
14．如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接．
(1)与全等吗？为什么？
(2)试猜想，有何特殊位置关系，并说明理由．
15．如图，在中，为边上一点，为中点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证；
(2)若，，求的长．
16．在和中，，，，，连接，交于点
(1)求证．
(2)连接，判断是否平分，并证明你的结论．
17．在中，平分，于点，点在上，．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
18．如图，在中，，、是的角平分线，与相交于点F，交的延长线于G，交于H．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若则 ．
19．如图，平分，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长度．
20．如图， 和的角平分线，相交点P，．
(1)求；
(2)求证：；
(3)若，求证：．
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参考答案：
1．
【详解】解：在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
2．(1)，
(2)平分，
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形的外角可以得到和的度数，然后根据角平分线的定义得到，然后计算解题；
（2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，再根据角平分线的判定即可得到结论．
【详解】（1）∵，，
∴，.
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（2）平分；
理由：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴.
∵平分，，，
∴，
∴，
∴平分.
3．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．利用证明，即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴.
4．(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定．
（1）直接利用证明，可得，进而可得，再利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，则根据即可求解．
熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【详解】（1）证明：在和中
，
．
．
．
在和中
，
．
（2）由（1）知，
，
，
，
故的长为4．
5．详见解析．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明线段相等，通常转化证明三角形全等．
先由角的和差性质证得再证明，最后根据全等三角形的性质得出．
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的证明三角形全等是解本题的关键．
（1）先证明，，再证明即可得到答案；
（2）结合全等三角形的性质与三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
，
∴．
7．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；
（1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得．
（2）由（1）知，要证，需证，需证可由等腰直角三角形得出．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
．
（2），
理由如下：由（1）知，
，，
，
．
．即．
，
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用．
（1）先证明，，然后根据证明即可；
（2）根据根据三角形内角和定理可求出，由即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，，且，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）∵，且，，
∴
∵，
∴．
9．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质得出即可；
（）根据全等三角形的判定得出，进而利用全等三角形的性质解答即可；
本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在与中，
∴，
∴，，
∴即，
∴．
10．(1)证明见解析；
(2)3．
【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，利用已知条件找出全等的条件即可求证．
（2）本题主要考查全等三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等以及已知条件表示出边长即可求解．
【详解】（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
又∵,
∴（两直线平行内错角相等），
在和中，
∴（）．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴（全等三角形的对应边相等），
∴．
11．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；
（1）由“”可证，可得，即可得结论；
（2）根据，得，由角平分线可得，从而得出，根据，可得出，即可得出，则，最后算出．
【详解】（1）解：证明：三个内角的平分线交于点，
，
在和中，
，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；
（1）连接、，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论；
（2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接，
在的垂直平分线上
，
，，平分
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，
，
，
．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；
（1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论；
（2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案．
【详解】（1）证明：是边上的中线，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．
14．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据手拉手模型证明是解题的关键．
（1）先证明，再利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，利用三角形内角和定理证明，即，则．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，
，
，
∴，
∴即．
∴．
15．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）利用证明；
（）根据，得到，求出，即可得到；
此题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．(1)见解析
(2)不平分，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识；
（1）证明，即可得证；
（2）作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，则不平分，据此即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴；
（2）不平分，理由如下，
作于，于，如图2所示：

则，
在和中，
，
，
，
∴平分，
∵，
∴当时，才平分，
假设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴假设不成立，即不平分．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，
（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明．
（2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：设，则，，
∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，即，
解得，即．
18．(1)见详解
(2)见详解
(3)3
【分析】（1）运用三角形的内角和进行列式，即可作答；
（2）先根据直角三角形的两个锐角互余及角平分线的定义证，进而得，再证，据此可依据“”判定和全等，由全等三角形的性质得出结论：；
（3）延长交与T，先证和全等得，再证和全等得，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）证明：∵，
∴，
∵、是的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：延长交与T，如图：

是的角平分线，
∴，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
∵
∴
即
∵
∴
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的对应边相等、对应角相等是解答此题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）过点D作于点F，根据平分，，，可得，，从而证明，得到，由即可得证；
（2）设，易证，则，因此，，由得到，代入求解即可解答．
【详解】（1）证明：过点D作于点F，
∵平分，，，
∴，，
∴在和中，，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）设，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得，
即．
20．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
（2）过P作，，，根据角平分线的性质可得，再证，，根据ASA证明即可得．
（3）作的平分线交于点N，由平分，和平分，平分，可得．易证，由等边对等角可得，，由此得，根据可证，因此可得．
【详解】（1），分别平分和，
，，
．
（2）
如图，过P作，，，
，分别平分和，
∴，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）
如图，作的平分线交于点N，则，
，BD平分，
．
∵平分，
．
∵中，，，
．
∵平分，
，
∴，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角定理，以及等腰三角形的性质．综合性强，难度较大．正确的作出辅助线，灵活运用转化的思想方法是解题的关键．
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