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2023-2024年人教版九年级上册数学期末专题：圆的切线证明题
1．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长．
2．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
(1)求证：是的切线：
(2)若，，求的半径．
3．如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且
(1)求证：是的切线；
(2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．
4．如图，是的直径，点C，E在上，平分，交的延长线于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
5．如图，为的外接圆，的角平分线交于点，连接，作交延长线于点，使得．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
6．如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求点到弦的距离．
7．如图，内接于⊙O，是⊙O的直径，，于点，交点，交于点，，连接．
(1)求证：是切线；
(2)当时，求的长．
8．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
9．如图，，点在上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
10．已知：如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径等于5，求线段的长．
11．如图，是的直径，C是圆上一点，，垂足为E，交于点D，点P在延长线上，连接、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求点B到的距离．
12．如图，是的直径，点在的延长线上，点在上，且，．
(1)求证：是的切线；
(2)点在上，且和点位于的两侧，如果，求四边形面积的最大值．
13．如图，是的直径，点C为圆上一点，平分，与相交于E点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
14．如图，已知等边，以为直径的圆与边交于点D，过点D作，垂足为F，过点F作，垂足为G，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
15．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
16．如图，内接于，为的直径，，，是等边三角形．
(1)求证：为的切线；
(2)连接交于点E，求线段的长．
17．如图，以线段上一点为圆心，长为半径画圆，交于点，是上异于点，的一点．，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，平分，求线段的长．
18．如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
19．如图，为的直径，四边形是矩形，连接，延长交于E，连接．
(1)若，，求的长；
(2)求证：为的切线．
20．如图，为的直径，射线交于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
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参考答案：
1．
【详解】（1）证明：连接、，如图，
是的直径，
，，
∵，
平分弦，平分，
，，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2），，
∴在（1）的结论中有，，
在中，，
同理利用勾股定理，可求得，，
，，
即，
在中，，
是的切线，
，
∴在中，，
，
解得：，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
2．(1)见解析
(2)的半径为5
【分析】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，切线的判定：
（1）连接、，由为的下半圆弧的中点，得，根据等边对等角，即，，进行角的等量代换，得，结合为半径，即可作答．
（2）由已知得点位于之间，则设，．，，根据勾股定理列式，得，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接、．
为弧的中点，
，
，，
，，
，，，，
，
．
为半径，
是的切线
（2）解：∵为的下半圆弧的中点，连接交于
∴点位于之间，
则设，．
，，
∴，，
即，
解得或
当时，点不在之间，不合题意，舍去．
故的半径为5．
3．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，是的中点，
∴，
∵的半径为，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为：
，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，．交于点P．证明，可得，从而可得结论；
（2）先根据四边形是矩形．可得，，再证明，可得，，求解，可得．再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：连接，．连接交于点P．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴半径．
∴是的切线；
（2）∵是的直径，
∴，
∴．
∴四边形是矩形．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，，
在中，．
∴．
在中，．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，垂径定理的应用，切线的判定，掌握以上基础知识是解本题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接、，由，得，而，所以，即可证明为的切线；
（2）设交于点，由，得，由垂径定理得垂直平分，则，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为．
【详解】（1）解：证明：连接、，则，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
（2）设交于点，
的角平分线交于点，，，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
解得，
的半径长为．
【点睛】本题考查了考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定、垂径定理、勾股定理，添加辅助线．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，，由题意可证得，进而可得，即：，即可证明结论；
（2）设与交于点，易知垂直平分，得，，由题意得，可知为等腰三角形，得，则，根据含的直角三角形的性质得，即可求得点到弦的距离．
【详解】（1）证明：如图，连接，，则，
∵相切于，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
又∵点是圆上一点，
∴是的切线；
（2）设与交于点，
∵，，
∴垂直平分，
则，，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
∴，则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
即：点到弦的距离为．
【点睛】此题考查了切线的性质及判定，勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，解决问题的关键在于要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
7．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质证出，由切线的判定可得出结论；
（2）由垂径定理得出，，证出，由直角三角形的性质得出， 进而得出，，故可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直径，
是的切线；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，
，
为等腰三角形；
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，连接交于，根据，可得，则，进而可得，，由，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理可得，进而根据中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，连接交于，

，
，
，
，
，，
，
半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
．

【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质．
（1）根据平行线的性质及，推出，根据直角三角形的性质得出，等量代换推出，则，根据切线的判定定理即可得解；
（2）利用勾股定理求出，连接，由等腰三角形三线合一可得，即可求解．
熟记切线的判定定理与性质定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
是圆的切线；
（2），
，
连接，则，
由（1）知，则，
∴．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定、等腰三角形三线合一、含30度角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是作出恰当的辅助线．
（1）连接．由直径可知，再由可知，再结合可知是的中位线，则，又，因此，故可证是切线．
（2）由已知条件可知，由等腰三角形三线合一可知，解可得，最后解含的可得．
【详解】（1）解：如下图所示，连接．
∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）∵半径是5，
∴，
∵是等腰三角形，且，，
∴，，
∴在中，，，
∵在中，，
∴．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，则，，根据垂径定理得出，则，最后根据，得出，即可求证；
（2）过点B作于点H，通过证明，得出，易得，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）解：过点B作于点H，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关定理是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用等边对等角可得，，，进而得出，利用圆周角定理和等量代换可得，然后利用切线的判定即可得证；
（2）设圆的半径为，，在和中利用勾股定理可得，，求出、的值，当点E为的中点时，的面积最大，即四边形面积的最大，然后分别求和的面积即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设圆的半径为，，
由题意知，
在中，，即①，
在中，，即②，
由①、②解得，，
∴，
当点E为的中点时，的面积最大，即四边形面积的最大，
∴，
∴，
又，即，
∴，
∴，的最大面积为，
∴四边形面积的最大值为．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等知识，利用勾股定理构造方程求出圆的半径是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等边对等角和对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理得到，再由直径所对的圆周角是直角即可证明，则是的切线；
（2）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是的直径，，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，求弧长，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】(1) 如图所示，连接．由题意可知,则,可以证明为等边三角形,易得,再运用平行线的性质和判定以及等量代换即可完成解答.
(2)先说明为的中位线，得到.在中，由，得，根据含30度的直角三角形三边的关系得,则,最后在中，根据正弦的定义即可解答；
【详解】（1）如图所示，连接.
∵是等边三角形，
∴
∵
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线
（2）∵点O是的中点，
∴是的中位线．
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，同理可得，
∴
∴．
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质以及角的直角三角形性质，连接圆心与切点的半径是解决问题的常用方法．
15．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）在中，根据，，可以求出的度数为，而，可以得到，从而证明是切线．
（2）先求出的长度，得到的长度，根据勾股定理可求出的长度，在中，根据面积公式，可以求出的长度．
【详解】（1）证明：连接 ，
为的直径
，
∵，,
∵是等边三角形
∴
∴
∴是的切线；
（2）解：∵，，,
∴，
∵是等边三角形
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了切线的证明，根据三角函数值判断角度等知识点，掌握基本定理是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】对于（1），连接，．先根据“等边对等角”得，根据直径所对的圆周角是直角得，然后根据平行线的性质得，
进而得出，即可得出答案；
对于（2），根据角平分线定义和已知条件得， 根据含直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，最后在中，根据含直角三角形的性质得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，．
∵，
∴．
∵是的直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴.
∴在中，，
根据勾股定理，得，
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，角平分线定义等，构造辅助线是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，由切线的性质得到，再由角平分线的性质得到，由此即可证明是的切线；
（2）先由勾股定理求出，由切线长定理得到，则，设半径为，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点作于点，
∵为的切线，
∴，
又∵平分，，
∴．
∵是的半径，
∴是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
由切线长定理可得，
∴，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
19．(1)
(2)见解析
【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，根据弧长公式即可求解；
（2）连接、，根据矩形性质和圆半径相等，推出，进而得到，然后根据，可以推出，最后通过证明即可求解．
【详解】（1）如图：连接，
，且
半径
的长
．
（2）如图：连接、，交于点P，
四边形是矩形
，，
在中，
在和中
又为的半径
为的切线．
【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质、弧长公式等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，先根据对边等对角和角平分线的定义证明，推出，再由，得到，由此即可证明直线是的切线；
（2）由平行线的性质和三角形内角和定理得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得到，进而求出，则，由此可得．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解： 由（1）可知：，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，平行线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
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