资源简介

5.4 三角函数的图象和性质
1.定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2.图象：如图所示．
3.正弦曲线和余弦曲线的关系
①列表：列出x,y的五组对应值表
②描点：在平面直角坐标系中描出五点
③用光滑的曲线顺次连接这五个点
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
性质
图象
定义域
值域
最值 当时，；当时，． 当时，；当时，． 既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性 ,奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数．
对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
【特别提醒】
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
考点01 “五点法”做函数的图象
【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
【答案】
【解析】[思路分析]　先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．
(1)列表
x 0 π π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
sinx－1 －1 0 －1 －2 －1
描点，连线，如图
(2)列表：
x 0 π π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
2＋cosx 3 2 1 2 3
描点连线，如图
【典例2】用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．
【答案】
【解析】(1)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
2－sinx 2 1 2 3 2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
cosx－1 0 －1 －2 －1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2))．
【总结提升】
用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π π 2π
sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
考点02 利用图象变换作三角函数的图象
【典例3】利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
【答案】
【解析】[思路分析]　先作出y＝cosx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象，再作对称和平移变换．
　(1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
【典例4】关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称；
其中正确说法的序号是 ．
【答案】②④
【解析】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．
考点03 利用图象解三角不等式
【典例5】画出正弦函数y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥时x的集合．
【答案】
【解析】[思路分析]　(1)作出y＝sinx，与y＝的图象．(2)确定sinx＝的x值．(3)确定sinx>的解集．
用“五点法”作出y＝sinx的简图．
过(0，)点作x轴的平行线，
从图象可看出它在[0,2π]区间与正弦曲线交于(，)，(，)点，
在[0,2π]区间内，y≥时x的集合为{x|≤x≤}，
当x∈R时，若y≥，则x的集合为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．
【典例6】观察正切曲线，解不等式tanx>1．
【答案】．
【解析】[思路分析]　先确定在一个周期内的x值的范围，再写出不等式的解集．
函数y＝tanx在区间内的图象如图所示．
作直线y＝1，则在内，当tanx>1时，有则tanx>1的解集是
．
【规律总结】
1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象．
(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．
(3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
3.解形如tanx>a的不等式的步骤
―→
↓
―→
↓
―→
↓
―→
考点04 三角函数的定义域
【典例7】（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，
则需，
由，
，
则，
所以函数定义域为.
故答案为：
【典例8】（2023上·全国·高一专题练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式列出不等式组，结合正切函数的性质求解即可.
【详解】要使函数有意义，
则，即.
在上满足上述不等式的的取值范围是.
又因为的周期为，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【总结提升】
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解．
考点05 三角函数的值域(最值)
【典例9】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
0
x
0 0
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由表中数据列出方程组即可得解.
（2）通过换元法结合正弦函数单调性即可得解.
【详解】（1）由表格可知，解得，
所以函数的解析式为.
（2）当时，有，
而在上单调递减，在上单调递增，
从而，当且仅当，
，当且仅当，
综上所述，在区间上的最大值和最小值分别为.
【典例10】（2023上·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)或
(2)答案见解析
【分析】（1）将条件代入运算可得解；
（2）换元，令，，化为，分类讨论求出的最大值.
【详解】（1）函数，
所以
整理得，解得或．
（2）因为，
设，则，化为，
则为二次函数，开口向下，对称轴为，
所以当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为；
所以当时，的最大值；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为．
【总结提升】
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y．
综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性．
考点06 三角函数的周期性
【典例11】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域、最小正周期：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)定义域为,最小正周期
(2)定义域为，最小正周期
(3)定义域为，最小正周期
【分析】利用正切函数的定义域及最小正周期公式即可得解.
【详解】（1）令可得，
所以函数的定义域为，最小正周期;
（2）令可得，
所以函数的定义域为，最小正周期;
（3）令可得，
所以函数的定义域为，最小正周期.
【典例12】（2023上·江苏·高一专题练习）求下列函数的周期：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），（2）中利用三角函数周期可求解，（3）根据周期函数定义结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意知：，所以：的周期为：，
故所求周期为：.
（2）由题意知：，所以：的周期为：，
故所求周期为：.
（3）由题意可得：，
根据函数周期的定义可得：的周期为.
又的图象可以看成将在轴下方的图象翻折到轴上方得到的，
故其最小正周期为，故所求周期为：.
【总结提升】
求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝.
考点07 三角函数的单调性
【典例13】（2023上·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数单调递增区间；
(3)求在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)
(3)的最大值为，最小值为.
【分析】（1）根据周期确定，代入计算得到答案.
（2）取，解得答案.
（3）确定，根据正弦函数性质计算得到答案.
【详解】（1）的最小正周期为，则，，
，；
（2）取，解得，
故的单调递增区间为；
（3），则，
当，即时，；
当，即时，；
故的最大值为，最小值为.
【典例14】（2023·全国·高一随堂练习）求函数的定义域、最小正周期和单调区间．
【答案】定义域为，最小正周期为，单调递增区间为.
【分析】利用正切型函数的定义域可求得函数的定义域，利用正切型函数的周期性可求得函数的最小正周期，利用正切型函数的单调性可求得函数的单调递增区间.
【详解】解：对于函数，，可得，
所以，函数的定义域为，
函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递增区间为，无减区间.
【规律方法】
三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin x和y＝cos x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
考点08 比较三角函数值大小
【典例15】（2023上·江苏·高一专题练习）比较下列正切值的大小：
(1)与；
(2)tan与tan．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正切函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由，
因为时，函数为单调递增函数，且，
所以，所以.
（2）由，
因为函数在为单调递增函数，且，
所以，即
【典例16】（2023上·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用诱导公式得，，由函数在上的单调性，比较余弦值的大小；
（2）由诱导公式得，利用函数在上的单调性，比较正弦值的大小.
【详解】（1），，
因为，而在上单调递减，
所以，即.
（2）因为，而且在上单调递增，
所以，即.
【总结提升】
比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．
考点09 已知单调区间求参数范围
【典例17】（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出取值范围，再由在上单调递增得，最后结合题意求出的取值范围即可.
【详解】因为，，所以，
要使得在上单调递增，则，解得，
又由题意可知，所以，
故选：B
【典例18】（2023上·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围.
【详解】，
∵函数在区间内单调递增，
∴，∴，
∵，∴，
若在区间上单调递增，则，
解得，当时，，又因为，∴.
故选：A
【总结提升】
已知单调区间求参数范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
考点10 三角函数的奇偶性
【典例19】（2023上·全国·高一专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式化简函数解析式，再根据正弦、余弦、正切函数的奇偶性可得答案.
【详解】对于A，，所以为奇函数，故A不正确；
对于B，，所以为奇函数，故B不正确；
对于C， ，所以为奇函数，故C不正确；
对于D， ，所以为偶函数，故D正确.
故选：D.
【典例20】（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)偶函数
(2)奇函数
(3)非奇非偶函数
【分析】（1）（2）先求定义域，然后判断和的关系即可判断其奇偶性；
（3）求出函数定义域，然后根据定义域是否关于原点对称即可作出判断.
【详解】（1）的定义域为R，，
因为，
所以为偶函数.
（2）由得，
解得定义域为，关于原点对称，
又
，
所以为奇函数.
（3）由，即，解得，
所以，定义域不关于原点对称，
所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数.
【总结提升】
1.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
2．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
考点11 三角函数对称轴、对称中心
【典例21】（2022上·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数的图像关于（ ）
A．点对称 B．点对称 C．直线对称 D．直线对称
【答案】A
【分析】根据题意，分别将与代入检验，即可得到结果.
【详解】令，可得，所以图像关于点对称，故A正确，C错误；
令，可得，所以图像不关于点对称，
也不关于直线对称，故BD错误；
故选：A
【典例22】函数y＝3tan(2x＋)的对称中心的坐标为　　．
【答案】(－，0)(k∈Z)
【解析】令2x＋＝(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心的坐标为(－，0)(k∈Z)．
【总结提升】
求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.
考点12 三角函数的零点问题
【典例23】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(　　)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
【答案】A
【解析】[思路分析]　求f(x)的零点，可转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．
要求f(x)＝0，可以将f(x)的零点转化为函数
g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．如图，g(x)和h(x)在同一坐标系中的图象．由此可知，本题选A．
【典例24】（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）若关于的方程在内有实数解，则的取值范围是
【答案】/
【分析】令，，则在有解，由二次函数性质求参数范围.
【详解】由题意可得，，
令，，则，
若，对称轴为，
所以在单调递增，
因为在有解，
由零点存在性定理可得，，
解得，所以实数的取值范围为：.
故答案为：.
【总结提升】
将三角函数图象与方程的知识相结合，把函数零点问题转化为函数图象的交点问题，从而通过数形结合巧妙解决．
考点13 根据三角函数性质求参数
【典例25】（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）若为奇函数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义可求得实数的值.
【详解】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为函数为奇函数，则，
即对任意的恒成立，
所以，，
所以，，解得，.
故选：D.
【典例26】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则 .
【答案】
【分析】根据三角函数值域的知识求得.
【详解】依题意，函数在区间上的值域为，
由于，
所以，
此时，当时取得最小值，符合题意，
所以.
故答案为：
考点14 三角函数图象和性质的综合问题
【典例27】（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数，最小正周期为
(1)求的值及的的取值集合；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围
【答案】(1)2，；
(2).
【分析】（1）利用给定的周期求出，再解正弦函数不等式即得.
（2）根据给定条件，求出的取值集合，再换元并借助二次函数列出不等式组求解即得.
【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，
于是，由，得，
因此，解得，
所以，的取值集合是.
（2）由（1）知，，
由，得， 于是，则，
令，，不等式恒成立，即恒成立，
设，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
【典例28】（2023上·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值．
【答案】(1);;
(2)或.
【分析】（1）根据函数解析式，结合函数周期、对称中心、单调区间的求法，直接计算即可；
（2）分类讨论的范围，列出方程组，解出即可.
【详解】（1）因为,
所以函数的最小正周期为，
令,
得,，
所以函数的对称中心为,
令，
得，
故函数的减区间为.
（2），
又当时，，
则，
若，
则有，解得，
当时，
，解得，
又明显不符合题意，
故或者.
1.（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
2.（2021年新高考I）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
3.（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是.
【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可.
（2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由表可知，则，
因为，，所以，解得，即，
因为函数图象过点，则，即，
所以，，解得，，
又因为，所以.
（2）由（1）可知.
因为，所以，
因此，当时，即时，，
当时，即时，.
所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是.
一、单选题
1.（2023上·北京朝阳·高三统考期中）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将各项对应自变量代入解析式求函数值，判断是否成立即可.
【详解】时，不是对称轴；
时，不是对称轴；
时，是对称轴；
时，不是对称轴；
故选：C
2.（2023·全国·高一专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
3．（2023上·广东深圳·高三校考阶段练习）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据的取值范围，明确三角函数的取值范围，利用指数函数和幂函数的单调性，可得答案.
【详解】解：已知，则，
因为在上是减函数，故；
因为幂函数在上是增函数，故，
故．
故选：A.
二、多选题
4．（2023上·湖南长沙·高二校考期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是偶函数
D．的单调递减区间为
【答案】AD
【分析】根据正弦型函数的周期公式可判断A；代入验证函数值可判断B；求出的表达式即可判断其奇偶性，判断C；结合正弦函数的单调区间求出的单调减区间即可判断D.
【详解】对于A，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；
对于B，当时，可得，
所以的图象不关于直线对称，所以B错误；
对于C，由，
此时函数为非奇非偶函数，所以C错误；
对于D，令，，解得，，
即函数的递减区间为，，所以D正确．
故选：AD
5．（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．是的一个单调递增区间
C．
D．当时，
【答案】ACD
【分析】根据正弦函数、正切函数奇偶性判断A，取特值判断B，根据诱导公式判断C，分类讨论判断D.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，故A正确；
因为，所以，
且，所以不是函数的递增区间，故B不正确；
，故C正确；
因为当时，，所以，
同理，当时，，即时，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
6．（2022上·湖北孝感·高一校考期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用正切函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
7．（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出值域即得结果.
【详解】当时，，正弦函数在上递增，在上递减，
于是函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即函数的值域为，
所以.
故答案为：
8．（2023上·全国·高一专题练习）函数的最小正周期是，则 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案为：.
四、解答题
9.（2022上·吉林四平·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）利用三角函数周期公式即可得解；
（2）利用余弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为，
所以的最小正周期为.
（2）因为，所以，
所以，则，即，
当，即时，有最大值为1，
当，即时，有最小值为，
所以当时，的最大值为1，的最小值为.
10．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的对称轴方程和对称中心；
(3)求的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)对称轴方程为：，，对称中心为，
(3) ，.
【分析】（1）利用正弦函数的周期公式，计算可得答案；
（2）根据正弦函数对称轴方程和对称中心的公式，直接计算可得答案；
（3）根据复合函数的单调性，得到，计算可得函数的单调递减区间.
【详解】（1）由题意得函数的最小正周期为：，
（2）由，得，所以函数的对称轴方程为：，
由得，∴对称中心为，.
（3）由，得，，
∴函数的单调递减区间为： ，.
11．（2019下·广东清远·高一校考阶段练习）已知关于的函数（），图象的一条对称轴是.
(1)求的值；
(2)求使成立的的取值集合.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用给定的对称轴，列式计算即得.
（2）由（1）的结论，借助正弦曲线的性质解不等式即得.
【详解】（1）由图象的一条对称轴是，得，
而，则，
所以.
（2）由（1）知，，由，得，
于是，解得，
所以使成立的的取值集合为.
12．（2023上·广东广州·高一广州市海珠中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
【答案】(1)；
(2)最小值，；最大值1，
【分析】（1）将化为，根据最小正周期公式即可求得最小正周期，根据正弦函数的单调性即可求得单调递减区间；
（2）根据x的范围，确定的范围，根据正弦函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）由于，故的最小正周期为；
令，即，
故的单调递减区间为；
（2）因为，所以，
由于函数在上单调递增，在上单调递减，，
又，
故当，即时，取到最大值；
当，即时，取到最小值.5.4 三角函数的图象和性质
1.定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2.图象：如图所示．
3.正弦曲线和余弦曲线的关系
①列表：列出x,y的五组对应值表
②描点：在平面直角坐标系中描出五点
③用光滑的曲线顺次连接这五个点
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
性质
图象
定义域
值域
最值 当时，；当时，． 当时，；当时，． 既无最大值，也无最小值
周期性
奇偶性 ,奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数；在上是减函数． 在上是增函数．
对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心 无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.
【特别提醒】
(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tan x无单调递减区间，y＝tan x在整个定义域内不单调．
(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．函数具有奇、偶性的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
考点01 “五点法”做函数的图象
【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
【典例2】用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．
【总结提升】
用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤：
(1)列表：
x 0 π π 2π
sinx或cosx 0或1 1或0 0或－1 －1或0 0或1
y y1 y2 y3 y4 y5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，(，y2)，(π，y3)，(，y4)，(2π，y5)．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来．
考点02 利用图象变换作三角函数的图象
【典例3】利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
【典例4】关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称；
其中正确说法的序号是 ．
考点03 利用图象解三角不等式
【典例5】画出正弦函数y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥时x的集合．
【典例6】观察正切曲线，解不等式tanx>1．
【规律总结】
1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象．
(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．
(3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
3.解形如tanx>a的不等式的步骤
―→
↓
―→
↓
―→
↓
―→
考点04 三角函数的定义域
【典例7】（2022上·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）函数的定义域为 ．
【典例8】（2023上·全国·高一专题练习）函数的定义域为 ．
【总结提升】
三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．
(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．
(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z求解．
考点05 三角函数的值域(最值)
【典例9】（2023上·北京顺义·高三校考阶段练习）某同学用“五点法”作函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，见下表：
0
x
0 0
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【典例10】（2023上·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)求的最大值．
【总结提升】
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y．
综上可知，求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：(1)借助于正弦函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于sinx的二次函数求解．注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期性．
考点06 三角函数的周期性
【典例11】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域、最小正周期：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例12】（2023上·江苏·高一专题练习）求下列函数的周期：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【总结提升】
求三角函数周期的常用方法
(1)公式法求周期
①函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f (x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝；
②函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝.
考点07 三角函数的单调性
【典例13】（2023上·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)求函数单调递增区间；
(3)求在区间上的最值.
【典例14】（2023·全国·高一随堂练习）求函数的定义域、最小正周期和单调区间．
【规律方法】
三角函数单调区间的求法
(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．
(2)根据y＝sin x和y＝cos x的单调区间及A的正负，列不等式求解．
考点08 比较三角函数值大小
【典例15】（2023上·江苏·高一专题练习）比较下列正切值的大小：
(1)与；
(2)tan与tan．
【典例16】（2023上·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：
(1)，；
(2)，.
【总结提升】
比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．
考点09 已知单调区间求参数范围
【典例17】（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例18】（2023上·湖北黄冈·高一校考期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【总结提升】
已知单调区间求参数范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解.
考点10 三角函数的奇偶性
【典例19】（2023上·全国·高一专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【典例20】（2023·全国·高一专题练习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3).
【总结提升】
1.三角函数是奇、偶函数的充要条件
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
2．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：
(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；
(3)若为奇函数则有.
考点11 三角函数对称轴、对称中心
【典例21】（2022上·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数的图像关于（ ）
A．点对称 B．点对称 C．直线对称 D．直线对称
【典例22】函数y＝3tan(2x＋)的对称中心的坐标为　　．
【总结提升】
求对称轴方程(对称中心坐标)的方法
(1)求f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.
(2)求f (x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可．
(3)求f (x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝(k∈Z)，求x.
考点12 三角函数的零点问题
【典例23】设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是(　　)
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
【答案】A
【解析】[思路分析]　求f(x)的零点，可转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．
要求f(x)＝0，可以将f(x)的零点转化为函数
g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．如图，g(x)和h(x)在同一坐标系中的图象．由此可知，本题选A．
【典例24】（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）若关于的方程在内有实数解，则的取值范围是
【总结提升】
将三角函数图象与方程的知识相结合，把函数零点问题转化为函数图象的交点问题，从而通过数形结合巧妙解决．
考点13 根据三角函数性质求参数
【典例25】（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）若为奇函数，则实数（ ）
A． B． C． D．
【典例26】（2023上·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的值域为，则 .
考点14 三角函数图象和性质的综合问题
【典例27】（2022上·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数，最小正周期为
(1)求的值及的的取值集合；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围
【典例28】（2023上·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值．
1.（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2021年新高考I）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
3.（2020·山东·统考高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下：
0
0 3 0 -3 0
根据表中数据，求：
（1）实数，，的值；
（2）该函数在区间上的最大值和最小值.
一、单选题
1.（2023上·北京朝阳·高三统考期中）函数的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·全国·高一专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·广东深圳·高三校考阶段练习）已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023上·湖南长沙·高二校考期中）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．是偶函数
D．的单调递减区间为
5．（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．是的一个单调递增区间
C．
D．当时，
三、填空题
6．（2022上·湖北孝感·高一校考期末）函数的定义域为 .
7．（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则 ．
8．（2023上·全国·高一专题练习）函数的最小正周期是，则 ．
四、解答题
9.（2022上·吉林四平·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求的最大值和最小值.
10．（2022上·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的对称轴方程和对称中心；
(3)求的单调递减区间.
11．（2019下·广东清远·高一校考阶段练习）已知关于的函数（），图象的一条对称轴是.
(1)求的值；
(2)求使成立的的取值集合.
12．（2023上·广东广州·高一广州市海珠中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．

展开更多......

收起↑