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2023-2024学年度高一数学新人教A版必修第一册
期末模拟试题（六）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若函数的反函数是，，，则等于（ ）
A．a B． C． D．
2．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．满足为真的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
5．已知扇形的周长为12，半径为4，则该扇形的面积是（ ）
A． B． C．8 D．16
6．已知正数、满足，则有（ ）
A．最小值1 B．最小值2 C．最大值1 D．最大值2
7．角为2弧度角的终边在第______________象限．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
8．已知函数，其中，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知函数的最小正周期为4，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是（ ）
A．图象的一个对称中心为
B．的图象关于对称
C．若，则的最小值为2
D．将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的值域为
B．当且仅当时，函数取得最大值
C． 的最小正周期是
D．当且仅当时，
11．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
12．下面说法不正确的是（ ）
A．集合中最小的数是
B．若不属于，则属于
C．若，，则的最小值为
D．的解可表示为
E．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13．若，则a,b,c的大小关系是 ．
14．设全集.若集合，，则 .
15．设且，若函数的图象与直线恒有公共点，则应满足的条件是
16．定义运算法则如下：；若，则 ；
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算
（1）计算 （2）化简
18．求值：
(1).
(2).
19．化简求值：
（I）
（II）．
20．对下列式子化简求值
(1)求值：
(2)已知且，求的值.
21．化简
（1）
（2）
22．已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据互为反函数的两个函数图象关于对称，可得点在函数的图象上即可求解.
【详解】因为，所以点在的图象上，
因为互为反函数的两个函数图象关于对称，
所以点在函数的图象上，
所以，
故选：A.
2．A
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间上单调递增，且直线与为相邻的两条对称轴，
所以，即，且，，
又时取得最小值，即，所以，
解得，
.
故选：A.
3．B
【解析】化简解析式得，利用整体法结合减区间即可得到答案.
【详解】，
由，得，.
故选：B．
【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调区间的求法，涉及到二倍角公式的运用，是一道基础题.
4．D
【分析】求解，结合选项即可得到其必要不充分条件.
【详解】满足为真，即，
是其充分不必要条件，是其既不充分也不必要条件，是其充要条件，是其必要不充分条件.
故选：D
【点睛】此题考查求已知条件的必要不充分条件，关键在于准确求解不等式的解集，根据集合关系辨析必要不充分条件.
5．C
【分析】求出扇形的弧长，利用扇形面积公式求出答案.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得：，
所以扇形的面积为.
故选：C
6．D
【解析】根据题中条件，由基本不等式，求出，即可求出结果.
【详解】因为正数、满足，所以，当且仅当时等号成立，
所以，
因此，即有最大值，无最小值.
故选：D.
【点睛】易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7．B
【分析】根据题意得到2弧度，再判断象限即可.
【详解】2弧度，为第二象限角.
故选：B
8．C
【解析】根据函数每一段的定义域求解.
【详解】因为函数，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，属于基础题.
9．ACD
【解析】根据函数的周期，求出，再由函数的最高点求出和，得到；根据正弦函数的对称性，由选项代入验证，可判断A正确，B错；根据函数周期性，可判断C正确；根据三角函数图象变换的原则，可判断D正确.
【详解】由已知，，，，，，又，∴，∴.
对于A，令，则，，
当时，，故函数图象的一个对称中心为，故A正确.
对于B，在中，令，，，B错.
对于C，因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即2，故C正确.
对于D，将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，再将图象向右平移个单位长度，得图象的解析式为，D正确.
故选：ACD.
10．BD
【分析】先对化简，然后作出的图像如图所示，利用函数的图像逐个分析判断即可
【详解】因为，作出函数的图象，如图所示：
所以，的值域为，A错误；
函数的最小正周期是，C错误；
当且仅当时，函数取得最大值，B正确；
当且仅当时，，D正确.
故选：BD.
11．CD
【分析】先根据幂函数的定义及性质确定的值，得出解析式，然后确定的大小.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或．
又在上单调递增，所以．
因为，所以．
故选：CD.
12．ABCD
【分析】根据自然数集的定义可判断A、B、C选项的正误，利用集合元素的互异性判断D选项的正误，根据元素与集合的关系可判断E选项的正误.
【详解】因为集合中含，所以A说法不正确；
因为表示自然数集，，，所以B说法不正确；
当，时，，所以C说法不正确；
根据集合中元素的互异性知D说法不正确；
因为空集不含任何元素，所以E说法正确．故选ABCD．
【点睛】本题考查与集合相关命题正误的判断，考查自然数集的表示以及元素的基本性质，同时也考查了集合中元素的基本性质，以及空集概念的理解，属于基础题.
13．b>a>c
【详解】根据式子特点构造函数，
则分别看作函数图象上的点（2，f（2）），（3，f（3）），（5，f（5））与原点连线的斜率，
结合图象可知当5＞3＞2时，，∴b>a>c
考点：本题考查了对数函数图象与性质的综合应用．
点评：解决此类问题常常利用对数函数的图象与直线斜率的关系，体现了数形结合的数形思想在解题中的应用
14．
【详解】因为，所以或，又因为
所以.
15．或
【分析】考虑有解，从而可得满足的条件.
【详解】因为函数的图象与直线恒有公共点，
所以在上有解，故或有解，
显然时满足条件，
当时或，故或，
所以或，
当时，或，故时，；
当时，或，故时，.
综上，填，或，
【点睛】本题考查函数图像的交点问题，一般地，如果函数图像之间的关系较为繁琐，则可以转化为对应的方程有解来讨论.
16．5
【分析】按照新定义，结合有理数指数幂，对数运算法则，分别计算，再得出结果．
【详解】解：依定义，，.
所以.
故答案为5．
【点睛】本题考查有理数指数幂，对数运算法则．属于基础题．
17．（1）；（2）
【分析】（1）结合对数式的运算法则，计算即可；
（2）结合指数幂的运算法则，计算即可.
【详解】（1）；
（2）.
【点睛】本题考查指数幂与对数式的运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；
（2）利用对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
19．（Ⅰ） 5 （Ⅱ） 5
【分析】（Ⅰ）将根式转化为分数指数幂的形式进行计算即可.
（Ⅱ）根据换底公式以及对数的运算性质计算即可.
【详解】（I）
（II）．
20．(1)5
(2)
【分析】（1）利用指数幂的运算法则，化简求值.
（2）利用指数幂的运算法则，化简求值.
【详解】（1）原式
（2）
．
21．（1）；（2）-2.
【解析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
22．（1）（2）
【分析】（1）利用诱导公式化简求解即可；
（2）由可得,两边同时平方后可求得,进而求得,再由,代入求解即可.
【详解】解：（1）.
（2）,
两边平方得,
,
又,,
,
,
.
【点睛】本题考查利用诱导公式化简,考查同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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