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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二 绝对值问题分类探究
一、绝对值的定义：一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
1.1 如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0
1.2 绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。
二、绝对值的非负性：
2.1 任何绝对值的考察，一定考虑0的特殊性，即a=0的情况
2.2 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式）
三、几何意义：|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离
3.1:式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离
3.2:式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。
利用绝对值比较大小：正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较绝对值大的反而小。
类型一、利用绝对值比较大小
【例1-1】探索研究：
(1)比较下列各式的大小(用“>”“<”或“=”连接).
①__________；
②_________；
③_________.
(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系(直接写出结论即可).
(3)根据(2)中得出的结论，当时，x的取值范围是_________.
【例1-2】回答下列问题：
（1）比较下列各式的大小.（用“<”“>”或“=”连接）
①____________，
②_________，
③__________.
（2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，与的大小关系.
（3）根据上述结论，求当时x的取值范围.
针对练习1
1、利用绝对值比较下列各组数的大小.
（1）和；
（2）和.
2、已知为有理数，且，比较的大小.
类型二、利用绝对值的性质求值
【例2-1】当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2
【例1-2】已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值．
针对练习2
1 .若|x|＝1，则x＝________．
2 .如果若|x－2|＝1，则x＝________．
3 .若，则a是（ ）
A．正数或0 B．0 C．负数或0 D．正数
4．若，则 ．
类型三、化简含绝对值的式子
【例3-1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【例3-2】如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b　 　0，abc 　 　0，　 　0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求＝　 　．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【例3-3】已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
针对练习3
1 .若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣c|﹣|b+c|可化简为　 　．
2 .若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．
(1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0；
(2)化简．
3 .有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．

类型四、绝对值的非负性的应用
【例4-1】若|a﹣1|+(b-3)2＝0，则b﹣a﹣的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【例4-2】，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
针对练习4
1 .若，则（　　）
A． B． C．5 D．3
2 .如果，那么a，b的值为（　　）
A． B．
C． D．
．
3 .已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝ ．
类型五、分类讨论化简含绝对值的式子
【例5-1】若，则_______．
【例5-2】已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
针对练习5
1 .若，则 ．
2 .（1）若，　　；若，　　；
（2）若，则＝　 　；
（3）若，则　 　．
3 .当a≠0时，请解答下列问题：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
类型六、利用绝对值的几何意义化简绝对值
【例6-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【例6-2】同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x=________；
（3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
针对练习6
1 .结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　．
（4）当a＝　 　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
2 .先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　和 　 ，B，C两点间的距离是 　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　；如果|AB|＝3，那么x为 　 ；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　．
3 .结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

类型七、绝对值方程
【例7-1】如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，表示和3的两点之间的距离是______．
(2)设点在数轴上对应的数为，若，则______．
(3)当整数______时，代数式有最小值为______．
【例7-2】解下列绝对值方程：
(1) (2)
针对练习7
1．适合的整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．已知，则x的值是〔 〕
A． B．5 C．或5 D．以上答案都不对
3 .我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为______．
(2)数轴上点A用数a表示，
①若，那么a的值是______；
②当时，数a的取值范围是______，这样的整数a有______个；
③有最小值，最小值是______．
4 .阅读下列材料，完成后面任务：
我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以的值为或2．例2：已知，求的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以的值为3或．
任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．
(1)．
(2)．
类型八、利用绝对值解决实际问题
【例8-1】某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
【例8-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．
（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．
（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？
针对练习8
1 .小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
2 .时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）：
零件号数 1 2 3 4 5
数据
(1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？
(2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？
3．河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）：
，，，，，，．
(1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？
(2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题二 绝对值问题分类探究
一、绝对值的定义：一般地，数轴上表示a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
1.1 如果a>0时|a|=a;如果a<0时|a|=-a；如果a=0时|a|=0
1.2 绝对值相等的两个数，本身可以相等，也可以是相反数；即|a|=|b|，则得a=b或a=-b，特别注意a=b=0的情况。也要注意反推的情况，即：a=b或a=-b可以推出|a|=|b|或|a|=|-b|。
二、绝对值的非负性：
2.1 任何绝对值的考察，一定考虑0的特殊性，即a=0的情况
2.2 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；若|a|+b=0，则a=0且b=0；（其中a、b可以是单独的字母，也可以是表达式）
三、几何意义：|a|表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离
3.1:式子|x-y|表示的几何意义：表示数轴上的数x到数y的距离
3.2:式子|x+y|表示的意义：因为|x+y|=|x-(-y)|,所以可表示数轴上的数x到数-y的距离。
利用绝对值比较大小：正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较绝对值大的反而小。
类型一、利用绝对值比较大小
【例1-1】探索研究：
(1)比较下列各式的大小(用“>”“<”或“=”连接).
①__________；
②_________；
③_________.
(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系(直接写出结论即可).
(3)根据(2)中得出的结论，当时，x的取值范围是_________.
答案：(1)①>；②=；③=
(2)
(3)
解析：(1)①因为，，
所以.故答案为>.
②因为，，
所以.
故答案为=.
③因为，，
所以.故答案为=.
(2).
当a，b异号时，，当a，b同号时，.
当a，b中有一个为0时，，所以.
(3)因为，
由(2)中得出的结论可知，x与-2015同号或，
所以当时，x的取值范围是.
故答案为.
【例1-2】回答下列问题：
（1）比较下列各式的大小.（用“<”“>”或“=”连接）
①____________，
②_________，
③__________.
（2）通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，与的大小关系.
（3）根据上述结论，求当时x的取值范围.
答案：解：（1）①，，故；
②，，故；
③，，故.
（2）当a，b异号时，，
当a，b同号时，，
当或时，，
所以对于有理数a，b，.
（3）因为，
所以.
由（2）可知x与-2017同号或，
所以.
针对练习1
1、利用绝对值比较下列各组数的大小.
（1）和；
（2）和.
答案：（1）
（2）
解析：（1），，
又，
；
（2），，
又，
.
2、已知为有理数，且，比较的大小.
答案：解：根据题意，将有理数表示在数轴上，如图所示，
由图可知，.
类型二、利用绝对值的性质求值
【例2-1】当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣12 B．﹣2或﹣12 C．2 D．﹣2
解：∵|a|＝5，|b|＝7，
∴a＝±5，b＝±7
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b≥0，
∴a＝±5．b＝7，
当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；
当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；
故a﹣b的值为﹣2或﹣12．
答案：B．
【例2-2】已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值．
解：∵|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，
∴a＝﹣8或10，b＝﹣8或4，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣8，b＝﹣8或4，
当a＝﹣8，b＝﹣8时，a﹣b＝﹣8﹣（﹣8）＝0，
当a＝﹣8，b＝4时，a﹣b＝﹣8﹣4＝﹣12．
综上所述，a﹣b的值为0或﹣12．
针对练习2
1 .若|x|＝1，则x＝________．
【答案】±1
【分析】根据绝对值的性质可得x=±1．
【解析】解：∵|x|=1，
∴x=±1，
故答案为：±1．
【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．
2 .如果若|x－2|＝1，则x＝________．
【答案】3或1
【分析】根据绝对值的性质可得x-2=±1，再求出x即可．
【解析】解：∵|x-2|=1，
∴x-2=±1，
则x-2=1或x-2=-1，
解得：x=3或1，
故答案为：3或1．
【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．
3 .若，则a是（ ）
A．正数或0 B．0 C．负数或0 D．正数
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键．
根据绝对值的意义，一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是负数或者0．
【详解】，
是负数或者0，
故选：C．
4．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值；根据绝对值的意义，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故答案为：．
类型三、化简含绝对值的式子
【例3-1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　0，a+b 　 　0，c﹣a 　 　0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
答案：＜，＜，＞；
（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【例3-2】如图，已知a、b、c在数轴上的位置．
（1）a+b　 　0，abc 　 　0，　 　0．填（“＞”或“＜”）
（2）如果a、c互为相反数，求＝　 　．
（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|．
【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a．
【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解；
（2）根据相反数的定义即可求解；
（3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，，则
（1），，．
故答案为：，，；
（2）、互为相反数，
．
故答案为：；
（3）．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系．
【例3-3】已知a、b、c在数轴上对应的点如图所示，
(1)化简：；
(2)若与互为相反数，且，求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过数轴判断a、b、c的相对大小，从而确定绝对值里代数式的值的符号，再去掉绝对值，最后实现化简；
（2）两个非负数互为相反数，只能各自为零．求出a、b、c的值再计算代数式的值．
【详解】（1）由图可得且
∴，，，
∴
∴
（2）∵与互为相反数
∴
又∵，
∴
∴
∴
∴原式
【点睛】此题考查数轴，绝对值的性质，解题关键在于利用数轴比较各数的大小，再进行计算．
针对练习3
1 .若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a﹣c|﹣|b+c|可化简为　 　．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，c＞0，
∴|a﹣c|=c﹣a，|b+c|=b+c，
∴原式=c﹣a﹣b﹣c=﹣a﹣b．
2 .若数轴上的点A、B、C分别表示有理数a，b，c，O为原点，如图所示．
(1)用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0；
(2)化简．
【答案】(1)＜，＜，＞
(2)0
【分析】（1）根据数轴上点的位置得出，再根据有理数的加减法法则判断即可；
（2）利用绝对值的意义化简即可．
【详解】（1）解：由图可得：，且，
∴， ， ；
（2）解：，，，
．
【点睛】此题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理加减法，绝对值化简，关键是利用数轴得出，且．
3 .有理数、、在数轴上的位置如图所示，且，化简 ．

【答案】0
【分析】先由数轴得出a，b，c的大小，再按照绝对值的化简法则化简即可；
【详解】∵由数轴可得：，且

当 时
原式
故答案为0
【点睛】本题考查了数轴上的数的绝对值化简问题，属于基础知识的考查，比较简单．
类型四、绝对值的非负性的应用
【例4-1】若|a﹣1|+(b-3)2＝0，则b﹣a﹣的值是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】D
【思路导析】由绝对值得非负性可得：|a﹣1|=0且|b﹣3|＝0进而算出式子的值即可
【详解】解：根据题意，得
a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝3，
∴b﹣a﹣＝3﹣1﹣＝1，
∴b﹣a﹣的值是1．
故选：D．
【例4-2】，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键．
针对练习4
1 .若，则（　　）
A． B． C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据可知，可得，从而可得答案．
【详解】解：由得：
得：
故选：B
【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非负数均等于零是解题关键．
2 .如果，那么a，b的值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
3 .已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝ ．
【答案】2或4．
【详解】解：根据平方数是非负数，绝对值是非负数的性质可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣2，∴当a=－1，b=－2时，ab=2；
当a=－1，b=－4时，ab=4．
故答案为2或4．
点睛：本题主要考查了绝对值是非负数，偶次方是非负数的性质，根据题意列出等式是解题的关键．
类型五、分类讨论化简含绝对值的式子
【例5-1】若，则_______．
【答案】
【思路导析】
讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，或，，
若，，则；
若，，则；
综上所述，的值为，
故答案为：．
【考察要点】
本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．
【例5-2】已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ．
【答案】3，-3，1， 1．
【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．
【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；
(2)当a<0，b<0，c<0时，== 1 1 1= 3；
(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1 1=1；
同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．
(4)当a<0，b<0，c>0时，== 1 1+1= 1；
同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为 1．
故答案为：3，-3，1， 1．
【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论．
针对练习5
1 .若，则 ．
【答案】
【分析】讨论a和b的符号，逐一求解即可．
【详解】解：∵，
∴，或，，
若，，则；
若，，则；
综上所述，的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的性质，分情况讨论是解题的关键．
2 .（1）若，　　；若，　　；
（2）若，则＝　 　；
（3）若，则　 　．
【答案】（1）1，；（2）1；（3）1或．
【分析】（1）根据的取值，去绝对值符号，然后化简即可；
（2）由（1）可知，结合可知即，化简即可；
（3）结合可知a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，分情况结合（1），化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：1，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1；
（3）∵，
∴a、b、c中有一个负数、两个正数或三个负数两种情况，
当a、b、c中有一个负数、两个正数时，
，
当a、b、c中有三个负数时，
，
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了绝对值的化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质．
3 .当a≠0时，请解答下列问题：
（1）求的值；
（2）若b≠0，且，求的值．
【解答】解：（1）当a＞0时，=1；
当a＜0时，=﹣1；
（2）∵，
∴a，b异号，
当a＞0，b＜0时，=﹣1；
当a＜0，b＞0时，=﹣1；
类型六、利用绝对值的几何意义化简绝对值
【例6-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【答案】(1)；
(2)或
(3)；
(4)
(5)，
【分析】（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；
（2）根据数轴上两点间的距离，分两种情况即可解答；
（3）根据数轴上两点间的距离分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；
（4）根据表示数a的点到与5两点的距离的和即可求解；
（5）分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：由数轴得
数轴上表示和的两点之间的距离是：；
表示和两点之间的距离是：；
故答案：；．
（2）解：由得，
，
所以表示与距离为，
因为与距离为的是或，
所以或．
故答案：或．
（3）解：由，得，
，，
所以表示与的距离为，与的距离为，，
所以或，或，
当，时，则A、B两点间的最大距离是，
当，时，则A、B两点间的最小距离是，
故答案：，．
（4）解：
所以表示与的距离加上与的距离的和，
因为表示数a的点位于与之间，
所以，
故答案：．
（5）解：
，
所以表示与、、的距离之和，
①如图，当表示的点在的右侧时，即，

由数轴得：
，
所以，
所以；
②如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：
因为，
所以，
所以；
③如图，当表示的点在和的之间时，即，

由数轴得：
因为，
所以，
所以；
④当表示的点在或或的点上时，
即或或，
如图，当时，

；
如图，当时，

；
如图，当时，

；
因为，
所以当表示的点在或或的点上时，仅当时，的最小值为；
综上所述：当，的最小值为．
故答案： ，．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，数轴上用绝对值表示两点之间的距离，理解绝对值表示距离的意义，掌握距离的求法是解题的关键．
【例6-2】同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x=________；
（3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．
（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）7；（2）；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值为3．
【详解】（1）|5-（-2）|==7，故答案为：7
（2）∵|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，
∴x所对点为-1008和1005所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0，
∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得：，答案为：
（3）当x+5=0时，x=-5，当x-2=0时，x=2，
当x＜-5时，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范围内不成立，舍去）
当-5≤x＜2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7，
∵x为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1
当x≥2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2，
综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，
故答案为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2
（4）∵|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，
∴由（2）得3≤x≤6时|x-3|+|x-6|的值最小，
∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3
针对练习6
1 .结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　．
（4）当a＝　 　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　．
解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故这些点表示的数的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
答案：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
2 .先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　和 　 ，B，C两点间的距离是 　 　；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　；如果|AB|＝3，那么x为 　 ；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　．
解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；
（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；
（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，
答案：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．
3.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
③当a何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)①或；②7；③当时，的值最小，最小值是7
【分析】（1）根据两点之间的距离较大的数较小的数可得结论；
（2）因为不确定和的大小关系，所以数轴上表示数和数的两点之间的距离等于；
（3）①根据绝对值的意义可得：，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出表示一点到，1，2三点的距离的和，据此可解．
【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是；
②数轴上表示和的两点之间的距离是；
③数轴上表示和5的两点之间的距离是；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；
（3）①，
∴或，
解得：或；
②∵数轴上表示数a的点位于与2之间，
∴，
∴；
③表示一点到，1，2三点的距离的和，
∴当时，该式的值最小，最小值为．
∴当时，的值最小，最小值是7．
【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键．
类型七、绝对值方程
【例7-1】如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，表示和3的两点之间的距离是______．
(2)设点在数轴上对应的数为，若，则______．
(3)当整数______时，代数式有最小值为______．
【答案】(1)3，4
(2)8或
(3)，，，0，1；4．
【分析】本题考查两点间的距离公式，绝对值方程．
（1）根据两点间的距离公式，进行求解即可；
（2）根据两点间的距离公式，化简绝对值，进行求解即可；
（3）根据表示的意义，得到当在到1之间时，有最小值，进行求解即可．
掌握两点之间的距离的公式，是解题的关键．
【详解】（1）解：，；
故答案为：3，4；
（2）∵，
∴或，
∴或；
故答案为：8或
（3）表示数轴上表示的点到表示的点的距离与表示的点到表示的点的距离之和，
∴当时，有最小值为，
∵为整数，
∴，，，0，1．
故答案为：，，，0，1；4．
【例7-2】解下列绝对值方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据绝对值的性质求解即可；
（2）根据绝对值的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：
，
或，
解得：或．
【点睛】本题考查解绝对值方程，掌握绝对值的性质是解题的关键．
针对练习7
1．适合的整数的值有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查解绝对值方程，可理解为到和5的距离的和，由此可得出的值，进而可得出答案．
【详解】解：，
该方程表示到和5的距离的和为12，
，
，
整数的值有，，0，1，共4个，
故选C．
2．已知，则x的值是〔 〕
A． B．5 C．或5 D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的意义作答即可．
【详解】，
，
，
∴或者，
故选：C．
3 .我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
(1)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为______．
(2)数轴上点A用数a表示，
①若，那么a的值是______；
②当时，数a的取值范围是______，这样的整数a有______个；
③有最小值，最小值是______．
【答案】(1)
(2)①或8；②，6；③
【分析】（1）根据绝对值的意义可得；
（2）①利用绝对值定义知或，分别求解可得；②根据绝对值的几何意义可知时，，再由是整数，求出符合条件的的值即可；③根据题意分类讨论后可知当时，的最小值是2026．
本题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离；熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键．
【详解】（1）解：若，那么的值为5或，
故答案为：；
（2）①数轴上点用数表示，若，则或，
或，
故答案为：或8；
②表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和，
时，，
是整数，
的值有，，0，1，2，3，共6个，
故答案为：，6；
③表示数轴上表示的点与表示、3的点的距离之和，
当时，，
当时，，
当时，，
故当时，有最小值，最小值是，
故答案为：．
4 .阅读下列材料，完成后面任务：
我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以的值为或2．例2：已知，求的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以的值为3或．
任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．
(1)．
(2)．
【答案】(1)或8
(2)8或
【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程；
（1）根据可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得；
（2）可表示数轴上x表示的点与2对应的点的距离，据此求解可得．
理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键．
【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为8的点表示的数为和8，
∴x的值为或8．
（2）解：在数轴上与2对应的点的距离为6的点表示的数为8和，
∴x的值为8或．
类型八、利用绝对值解决实际问题
【例8-1】某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5km 2km ﹣4km ﹣3km 10km
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
解：（1）5+2+（﹣4）+（﹣3）+10＝10（km）
答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处．
（2）（5+2+|﹣4|+|﹣3|+10）×0.2＝24×0.2＝4.8（升）
答：在这个过程中共耗油4.8升．
（3）[10+（5﹣3）×1.8]+10+[10+（4﹣3）×1.8]+10+[10+（10﹣3）×1.8]＝68（元）
答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．
【例8-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．
（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．
（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？
解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10）
＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10
＝28﹣28
＝0，
∴王先生最后能回到出发点1楼；
（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|）
＝3×（6+3+10+8+12+7+10）
＝3×56
＝168（m），
∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．
针对练习8
1 .小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米）+5，﹣3，+10，﹣8，﹣6，+12，﹣10．
（1）小虫最后是否回到出发点A？
（2）小虫离开原点最远是多少厘米？
（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？
解：（1）+5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10
＝27﹣27
＝0，
所以小虫最后回到出发点A；
（2）第一次爬行距离原点是5cm，第二次爬行距离原点是5﹣3＝2（cm），
第三次爬行距离原点是2+10＝12（cm），第四次爬行距离原点是12﹣8＝4（cm），
第五次爬行距离原点是|4﹣6|＝2（cm），第六次爬行距离原点是﹣2+12＝10（cm），
第七次爬行距离原点是10﹣10＝0（cm），
从上面可以看出小虫离开原点最远是12cm；
（3）小虫爬行的总路程为：
|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|
＝5+3+10+8+6+12+10
＝54（cm）．
54×1＝54（粒）
所以小虫一共得到54粒芝麻
2 .时风工厂生产一批零件，根据零件质量要求，零件的长度可以有的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如下表（超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数，单位：）：
零件号数 1 2 3 4 5
数据
(1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？
(2)这5个零件中，质量最好的是第几个？用学过的绝对值的知识来说明为什么质量最好？
【答案】(1)1，3，4，5符合要求
(2)第3个，说明见解析
【分析】（1）根据绝对值的意义，找到绝对值小于零件即为所求答案；
（2）根据绝对值的意义，找到绝对值最小的零件即可.
【详解】（1）解：零件的长度可以有的误差，
，，，
，，
1，3，4，5符合要求；
（2）解：的绝对值最小，
第3个零件质量最好．
【点睛】此题考查了正数和负数的概念以及绝对值的意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据，绝对值也能反映一组数据的离散程度；我们必须熟记并能灵活应用这些基本性质.
3．河北某交警每天都开车在南北走向的鼓楼大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下（单位：）：
，，，，，，．
(1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？
(2)若汽车耗油量为，这天下午汽车共耗油多少升？
【答案】(1)最后一个路段，
(2)升
【分析】（1）先利用绝对值求出每段路的行车里程，再比较大小，即可求解；
（2）计算出每段路的行车里程和每千米的耗油量，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，，，，，，，
，
最后一个路段行车里程最远为．
（2）解：由题意得
（）；
答：这天下午汽车共耗油升.
【点睛】本题考查了绝对值的实际应用，理解绝对值的定义是解题的关键．
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