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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题三 有理数混合运算专题
有理数混合运算应注意：
运算顺序：（1）先乘方后乘除，最后加减;（2）同级运算从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。
运算律： 在进行运算时恰当运用运算律，使计算简便。进行分数的乘除运算时，带分数化为假分数，除法转化为乘法。
有理数混合运算的运算技巧
类型一 运用运算法则进行有理数的混合运算
在较复杂的混合运算中，要边做边观察，随时调整运算顺序，若无简便方法可用，则通常利用加减号将算式分成几部分，每个部分同时单独计算，最后进行加减运算。
【例1-1】计算（1）
（2）(-81)
针对练习1
1．计算下列各题：
（1）3.587-（-5）+（-5）+（+7）-（+3）-（+1.587）；
（2）（－1）5×{[－4÷（－2）2+（－1.25）×（－0.4）]÷（－）－32}.
2．计算（1）
（2）
类型二、利用运算律进行有理数的混合运算
有理数的运算律包括加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律，在混合运算中运算律可以局部运用也可以整体运用。
【例2-1】学习完有理数的运算律后，老师给同学们讲解了下面三道例题：
例1：；
例2：，
例3：，
请你参考老师例题的讲解方法，用运算律简便计算
(1)①； ②；
(2)经上面解法的启发，请用运算律简便计算：．
【例2-1】用运算律计算：
(1)
(2)
针对练习2
1．下列运算律使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．
利用运算律有时能进行简便计算例1 例2
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)
(2)
(3)
3 .有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律改变运算原序可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的矩形框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中．
（有理数除法法则）
______
______
______
______
______
．
4．（1）下面计算对吗？若不对，哪一步开始错，请说明理由，并改正．
……①
……②
……③
（2）用简便方法计算，在括号内填乘法运算律．
（ ）
_________（乘法结合律）
_________．
5．用运算律计算：
(1)20.96+（﹣1.4）+（﹣13.96）+1.4．
(2)．
(3)阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
＝
＝﹣8+9﹣2
＝﹣1
所以原式＝﹣1
根据材料提供的方法，尝试完成计算：．
6．芳芳同学考试中有一道题的解题过程如下：
计算：
解：原式
请判断芳芳解题过程是否正确，若正确，请说明解题过程中运用的运算律；若不正确，请说明理由，并写出正确的解题过程．
类型三、新定义运算
根据规定的新定义运算方式，先将式子转化为有理数的混合运算算式，然后利用有理数混合运算法则及运算律进行运算，若式子中有括号，则先计算括号内的。
【例3-1】定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．
计算：
(1)；
(2)
【例3-2】对任意有理数a，b定义新运算：，如，试计算：
(1)；
(2)
【例3-3】对于有理数a、b，定义新运算：“”，．
(1)计算：________；________；
________（填“>”或“=”或“<”）；
(2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
针对练习3
1 .定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求的值．
2．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)求的值．
3．【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：______，______；
（2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号）
①任何非零数的圈2次方都等于1；
②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
③圈次方等于它本身的数是1或；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______；
（4）计算：．
类型四、规定程序运算
根据规定的程序运算方式，按程序列式为有理数的混合运算算式，然后利用有理数混合运算法则及运算律进行运算，若式子中有括号，则先计算括号内的。
【例4-1】如图，按如下程序进行运算，当输入数据为15时，则输出结果为 ．

【例4-2】如图，是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为﹣3，则输出的数值为 ．
针对练习4
1．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2013次输出的结果为(　 　)
A．6 B．3 C． D．＋3×1003
2．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数，则输出的结果为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．
3．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
类型五、材料阅读题
根据材料提供的方法，或者概念、法则，转化为有理数的混合运算，按有理数的混合运算顺序法则进行运算。
【例5-1】阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务，
高斯计算的故事
高斯，德国著名数学家，几何学家，毕业于布伦瑞克工业大学，1796年，高斯证明了可以利用尺规作正十七边形，1807年高斯成为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长，1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图．高斯（8岁）在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和．
任务：（1）材料中运用了我们学过的运算律是________．
A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律
（2）计算：．
【例5-2】阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①；②；③；……
(1)观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：________．
(2)通过观察，计算的值________．（直接写出结果）
(3)探究上述的运算规律，试计算的值．
针对练习5
1．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，．
例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：；
(1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______．
(2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______．
(3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______．
2．阅读下列材料：
……
解答问题：
(1)…
(2)模仿上面的解法，计算
3．阅读下列材料：
计算：
解法一：原式
；
解法二：原式
；
解法三：原式的倒数
；
故原式．
(1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
(2)请你选择合适的解法计算：．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题三 有理数混合运算专题
有理数混合运算应注意：
运算顺序：（1）先乘方后乘除，最后加减;（2）同级运算从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。
运算律： 在进行运算时恰当运用运算律，使计算简便。进行分数的乘除运算时，带分数化为假分数，除法转化为乘法。
有理数混合运算的运算技巧
类型一 运用运算法则进行有理数的混合运算
在较复杂的混合运算中，要边做边观察，随时调整运算顺序，若无简便方法可用，则通常利用加减号将算式分成几部分，每个部分同时单独计算，最后进行加减运算。
【例1-1】计算（1）
（2）(-81)
【答案】（1）（2）18
【详解】试题分析：根据有理数的混合运算的法则和运算律计算即可，解题时注意运算符号，避免出错.
试题解析：（1）
=
=-3-
=-5
（2）(-81)
=-81××（）×+2×4×2
=2+16
=18
针对练习1
1．计算下列各题：
（1）3.587-（-5）+（-5）+（+7）-（+3）-（+1.587）；
（2）（－1）5×{[－4÷（－2）2+（－1.25）×（－0.4）]÷（－）－32}.
【答案】（1）原式=5；（2）原式＝3.
【分析】（1）运用加法的运算律，把小数与小数相加，整数与整数相加，分数与分数相加；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，再按有理数的混合运算法则计算.
【详解】（1）原式=3.587+5-5+7-3-1.587
=（3.587-1.587）+（5+7）+（-5-3）
=2+12-8
=5.
（2）原式＝-1×{[-÷4+0.5]÷（-）-9}
＝-1×[（-）÷（-）-9]
＝-1×（6-9）
＝-1×（-3）
＝3.
2．计算（1）
（2）
【答案】（1）-15（2）
【详解】试题分析：根据有理数的混合运算的法则和运算律计算即可，解题时注意运算符号，避免出错.
试题解析：（1）
=-33--+
=-33+12+20-14
=-15
（2）
=
=--
=-3
类型二、利用运算律进行有理数的混合运算
有理数的运算律包括加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律以及分配律，在混合运算中运算律可以局部运用也可以整体运用。
【例2-1】学习完有理数的运算律后，老师给同学们讲解了下面三道例题：
例1：；
例2：，
例3：，
请你参考老师例题的讲解方法，用运算律简便计算
(1)①； ②；
(2)经上面解法的启发，请用运算律简便计算：．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算．
（1）①先变形为，然后根据乘法分配律计算即可；
②先变形，然后根据乘法分配律计算即可；
（2）先根据乘法分配律的逆用计算，然后再变形，再根据乘法分配律计算．
熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用
【详解】（1）①
；
②
；
（2）
．
【例2-1】用运算律计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据有理数的乘法法则计算即可；
（2）先算乘除再算加减即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】此题考查了有理数的混合运算以及有理数的乘法，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
针对练习2
1．下列运算律使用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数混合运算的运算法则和运算顺序即可得．
【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法错误，不符合题意；
C、，选项说法正确，符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数混合运算的运算法则和运算顺序，解题的关键是掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
2．
利用运算律有时能进行简便计算例1 例2
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)99900
(3)
【分析】本题考查有理数的混合运算、乘法运算律，解答的关键是熟知运算法则和运算顺序．
（1）将化为，然后利用乘法分配律求解即可；
（2）利用乘法分配律求解即可；
（3）利用有理数的乘方运算和乘法分配律求解即可．
【详解】（1）解：．
；
（2）解：
；
（3）解：
．
3 .有理数的混合运算，按照运算等级确定运算顺序，适当选用运算律改变运算原序可以使得运算更加简单．下面是计算主要过程，请在如表的矩形框中选择与计算步骤对应的依据，并将它前面的序号填入相应的横线中．
（有理数除法法则）
______
______
______
______
______
．
【答案】④，①，②，③，⑤
【分析】先把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律，最后把负数、正数分别相加．
【详解】解：
（有理数除法法则）
（乘法对加法的分配律）
（乘法法则）
（加法的交换律）
（加法的结合律）
（有理数的加法法则）
．
故答案为：④，①，②，③，⑤．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算律是解决本题的关键．
4．（1）下面计算对吗？若不对，哪一步开始错，请说明理由，并改正．
……①
……②
……③
（2）用简便方法计算，在括号内填乘法运算律．
（ ）
_________（乘法结合律）
_________．
【答案】（1）不对，从第②步开始错．理由及改正见解析
（2）乘法交换律，，
【详解】解：（1）不对，从第②步开始错，理由是：有理数减法和除法混合运算时，应该先算除法，再算减法．改正如下：
．
（2）
（乘法交换律）
（乘法结合律）
．
故答案为：乘法交换律，，410．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则，利用乘法交换律、乘法结合律等进行简便计算．
5．用运算律计算：
(1)20.96+（﹣1.4）+（﹣13.96）+1.4．
(2)．
(3)阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
＝
＝﹣8+9﹣2
＝﹣1
所以原式＝﹣1
根据材料提供的方法，尝试完成计算：．
【答案】(1)7；
(2)16；
(3)．
【分析】（1）利用加法交换律，根据有理数加减法法则计算即可得答案；
（2）利用乘法分配律，根据有理数混合运算法则计算即可得答案；
（3）利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值即可得答案．
【详解】（1）20.96+（﹣1.4）+（﹣13.96）+1.4
=20.96﹣13.96+1.4﹣1.4
=7．
（2）
=
=
=
=
=16．
（3）
=
=
=
=
∴原式=．
【点睛】本题考查有理数的混合运算及运算律，熟练掌握加法交换律和乘法分配律是解题关键．
6．芳芳同学考试中有一道题的解题过程如下：
计算：
解：原式
请判断芳芳解题过程是否正确，若正确，请说明解题过程中运用的运算律；若不正确，请说明理由，并写出正确的解题过程．
【答案】详见解析
【分析】先判断芳芳解题过程是错误的，再利用有理数的混合运算法则正确计算原式即可．
【详解】解：芳芳解题过程是错误的，原因是有理数的除法不具有分配率，正确的解题过程如下：
原式
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
类型三、新定义运算
根据规定的新定义运算方式，先将式子转化为有理数的混合运算算式，然后利用有理数混合运算法则及运算律进行运算，若式子中有括号，则先计算括号内的。
【例3-1】定义新运算：对于任意有理数、，都有．等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．
计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，
（1）原式利用新定义运算进行计算即可得到结果；
（2）先根据新定义运算计算小括号里面的式子，再把所得的结果与小括号外面的数根据新定义运算进行计算即可；
熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴
．
【例3-2】对任意有理数a，b定义新运算：，如，试计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)37
【分析】本题考查了有理数的混合运算：有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
（1）利用新定义得到，再进行乘法运算，然后进行加法运算；
（2）先利用新定义计算得到，然后计算即可．
【详解】（1）解：；
（2），
．
【例3-3】对于有理数a、b，定义新运算：“”，．
(1)计算：________；________；
________（填“>”或“=”或“<”）；
(2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
【答案】(1)，，
(2)满足交换律，理由见解析
【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键．
（1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断；
（2）就一般情况根据新定义进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，；
∴；
∵，，
∴；
∵，；
∴；
故答案：，，
（2）解：运算：“”满足交换律
理由如下：
由新定义知：，，
∴，
表明运算“”满足交换律．
针对练习3
1 .定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题：
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键．
（1）按照规定的新运算进行计算即可；
（2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
2．在学习完《有理数》后，小明对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算；
（1）根据题意列出算式进行计算即可；
（2）根据题干信息列出算式，利用有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：由新运算规则得：
；
（2）解：由新运算规则得：
．
3．【概念学习】
定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：______，______；
（2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号）
①任何非零数的圈2次方都等于1；
②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数；
③圈次方等于它本身的数是1或；
④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______；
（4）计算：．
【答案】（1）1；（2）①②④；（3）；（4）12
【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义．
（1）根据题意，计算出所求式子的值即可；
（2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题；
（3）根据题意，可以计算出所求式子的值．
（4）根据题意，可以计算出所求式子的值．
【详解】解：（1），
；
（2）①因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；
②因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；
③圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，；
④根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确；
故答案为：①②④；
（3），
故答案为：；
（4）
．
类型四、规定程序运算
根据规定的程序运算方式，按程序列式为有理数的混合运算算式，然后利用有理数混合运算法则及运算律进行运算，若式子中有括号，则先计算括号内的。
【例4-1】如图，按如下程序进行运算，当输入数据为15时，则输出结果为 ．

【答案】
【分析】将15代入程序，利用程序图中的程序进行运算即可．
【详解】解：当输入数据为15时，
，
∴输出结果为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握程序图的程序是解决问题的关键．
【例4-2】如图，是一个简单的数值运算程序．当输入x的值为﹣3，则输出的数值为 ．
【答案】10
【分析】把x=﹣3代入数值运算程序中计算即可确定出输出数值．
【详解】根据题意，得：（﹣3）×（﹣4）﹣2=12﹣2=10．
故答案为10．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
针对练习4
1．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2013次输出的结果为(　 　)
A．6 B．3 C． D．＋3×1003
【答案】A
【分析】先分别计算出当x=48时，x=×48=24；当x=24时，x=×24=12；当x=12时，x=×12=6；当x=6时，x=×6=3；当x=3时，x+3=3+3=6，……，以后输出的结果循环出现3和6，由于，所以第2013次输出结果为6.
【详解】当x=48时，x=×48=24，
当x=24时，x=×24=12，
当x=12时，x=×12=6，
当x=6时，x=×6=3，
当x=3时，x+3=3+3=6，
当x=6时，x=×6=3，
…
从第三次输出开始6，3循环，
由于
所以第2013次输出的结果为6.
故选A.
【点睛】本题主要考查了代数式求值，掌握代数式求值是解题的关键.
2．如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数，则输出的结果为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．
【答案】C
【分析】把x=1代入数值转换机中计算即可求出所求．
【详解】解：当x=1时，（1）×（2）+1=2+1=3＜10，
当x=3时，3×（2）+1=6+1=5＜10，
当x=5时，（5）×（2）+1=10+1=11＞10，输出11，
故选：C．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则，根据数值转换机列出对应算式．
3．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（ ）
A．6个 B．5个
C．4个 D．3个
【答案】C
【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
【详解】定义新运算
故答案为C
【点睛】本题考查逆推法，熟练掌握计算法则是解题关键.
类型五、材料阅读题
根据材料提供的方法，或者概念、法则，转化为有理数的混合运算，按有理数的混合运算顺序法则进行运算。
【例5-1】阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务，
高斯计算的故事
高斯，德国著名数学家，几何学家，毕业于布伦瑞克工业大学，1796年，高斯证明了可以利用尺规作正十七边形，1807年高斯成为哥廷根大学教授和哥廷根天文台台长，1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图．高斯（8岁）在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和．
任务：（1）材料中运用了我们学过的运算律是________．
A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律
（2）计算：．
【答案】（1）C；（2）10000．
【分析】（1）根据材料中的计算过程进行回答即可；
（2）进行适当变形后再运用高斯公式求解即可．
【详解】（1）材料中运用了我们学过的运算律是加法交换律和结合律，
故选：C；
（2）．
．
【点睛】本题考查了有理数的运算律及有理数的混合运算，解决本题的关键是理解材料内容并能运用解决问题．
【例5-2】阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①；②；③；……
(1)观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：________．
(2)通过观察，计算的值________．（直接写出结果）
(3)探究上述的运算规律，试计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；
（2）根据上述规律得原式，计算即可得出答案；
（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以，则可以用裂项法进行计算．
【详解】（1），
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）
【点睛】本题考查了裂项法在有理数的混合运算中的应用，明确裂项法的形式是解题的关键．
针对练习5
1．“24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表，，．
例如，抽到一组牌：，要使运算结果为24，则可列式为：；
(1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______．
(2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______．
(3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为，则可以列式为：______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键
（1）根据即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴
故答案为：
（2）解：∵
∴
故答案为：
（3）解：∵
∴
故答案为：
2．阅读下列材料：
……
解答问题：
(1)…
(2)模仿上面的解法，计算
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算．
（1）根据题干中的方法，裂项相加即可；
（2）转化为：，再按照题干的方法进行计算即可．
掌握题干中的裂项相加法，是解题的关键．
【详解】（1）
；
（2）
．
3．阅读下列材料：
计算：
解法一：原式
；
解法二：原式
；
解法三：原式的倒数
；
故原式．
(1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的；
(2)请你选择合适的解法计算：．
【答案】(1)一
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
（1）根据一个数除以几个数的和（或差）不等于这个数除以这几个数所得的和（或差），可得上述解法一是错误的；
（2）根据乘法分配律求出的倒数是多少，即可求出原来算式的值是多少．
【详解】（1）解：上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的，
故答案为：一；
（2）解：
，
．
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