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2023年广东省汕尾市陆河县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利90元记作+90元，那么亏本60元记作（　　）
A．﹣60元 B．﹣70元 C．+60元 D．+70元
2．（3分）卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．0.17×105 B．1.7×105 C．17×104 D．1.7×106
3．（3分）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：80，90，75，75，80，80．下列表述错误的是（　　）
A．极差是15 B．平均数是80
C．众数是80 D．中位数是75
5．（3分）已知a3＝3，b5＝4，则a和b的大小关系为（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法判断
6．（3分）不等式x＜1﹣的解集为（　　）
A．x＜2 B．x＜1 C．x＜ D．x＜﹣
7．（3分）将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上，若AE∥BC，则∠DAC的度数是（　　）
A．12° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（　　）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
9．（3分）如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AE＝8，则AB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
10．（3分）如图1，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4cm，AC+BC＜2AB，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以acm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，y关于x的函数图象由两段曲线C1，C2组成（如图2所示），则C2段对应的函数解析式为（　　）
A．y＝﹣x2+x﹣1 B．y＝﹣x2+x
C．y＝﹣x2+x+ D．y＝﹣x2+x+1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在式子中，x的取值范围是　 　．
12．（3分）如果一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是 　 　边形．
13．（3分）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知CF＝4，sin∠EFC＝，则BF＝　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为　 　．
15．（3分）若三个边长为1的正方形按如图的方式放在Rt△ABC内，其中∠C为Rt△，D，E两点都是正方形的顶点，点D在AB边上，点E在线段CD上，则斜边AB的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：﹣|﹣3|+4cos45°﹣（﹣1）2023﹣．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x＝4．
18．（8分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB＝10cm．
（1）作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，求△BCE的周长．
19．（9分）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A．足球 B．乒乓球C．羽毛球 D．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有　 　人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为　 　；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
y2＝（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集．
21．（9分）某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC＝DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE＝BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若EF＝6，cos∠ABC＝，
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：如果盈利90元记作+90元，那么亏本60元记作﹣60元．
故选：A．
2． 解：170000＝1.7×105．
故选：B．
3． 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
4． 解：A、极差是：90﹣75＝15，故本选项不符合题意；
B、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6＝80，故本选项不符合题意；
C、因为80出现了3次，出现的次数最多，所以众数是80，故本选项不符合题意；
D、把这些从小到大排列为75，75，80，80，80，90，中位数是＝80，故本选项符合题意；
故选：D．
5． 解：∵a3＝3，
∴（a3）5＝a15＝35＝243
∵b5＝4，
∴（b5）3＝b15＝43＝64，
则243＞64，
∴a＞b．
故选：A．
6． 解：去分母，得：3x＜6﹣（x﹣2），
去括号，得：3x＜6﹣x+2，
移项，得：3x+x＜6+2，
合并同类项，得：4x＜8，
系数化为1，得：x＜2，
故选：A．
7． 解：∵AE∥BC，∠C＝30°，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝15°，
故选：B．
8． 解：左图，涂色部分的面积为a2﹣b2，拼成右图的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
9． 解：连接EF，设AE交BF于点O．
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AEB，
∴AB＝BE，
由作图可知：AB＝AF，
∴BE＝AF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AO＝OE＝4，OB＝OF＝3，AE⊥BF，
∴AB＝＝＝5，
故选：A．
10． 解：如图1，作PD⊥AB于D，
∵∠A＝30°，
∴PD＝AP＝x，
∴y＝AQ PD＝ax2，
由图象可知，当x＝1时，y＝，
∴×a×12＝，
解得，a＝1；
如答图2，由（1）知，a＝1，
∴点P的运动速度是点Q的运动速度的2倍，
∵AC+BC＜2AB，
∴点P先到达点B的位置，
由图2知，当x＝6时，点P到达点B的位置，
∴AC+BC＝2×6＝12（cm），
∴BP＝12﹣2x，BC＝8，
过点P作PD⊥AB于D，
∴DP＝BPsinB＝（12﹣2x）sinB，
∴y＝S△APQ＝AQ PD＝×x （12﹣2x）sinB＝x（6﹣x）sinB，
∵AC＝4，BC＝8，sin∠BAC＝，
∴sinB＝，
∴y＝x（6﹣x）×＝﹣x2+x，
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12． 解：正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得＝45，
解得n＝8．
故答案为：八．
13． 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
根据折叠的性质可得，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，
∴AF＝BC＝BF+CF＝BF+4，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，
∴∠EFC＝∠BAF，
∴sin∠EFC＝sin∠BAF＝，
在Rt△ABF中，sin∠BAF＝＝，即，
解得：BF＝6．
故答案为：6．
14． 解：∵y＝，即y＝，
∴k＝，
∴S△OAC＝|k|＝，
故答案为：．
15． 解：∵∠AGF＝∠GFP＝∠FHP＝90°，
∴∠A+∠AFG＝∠AFG+∠HFP＝90°，
∴∠A＝∠HFP，
在△AFG与△FPH中，
，
∴△AFG≌△FPH（AAS），
∴AF＝FP＝2，AG＝FH，
∴AG＝FH＝＝＝，AF＝FG，
∴∠A＝30°，
∴∠FPH＝∠B＝60°，
∴∠DPE＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∵PD＝PE，
∴∠PDE＝∠PED＝30°，
∵PE∥AC，
∴∠ACD＝∠PED＝30°，
∴CI＝，
∴AC＝AF+FH+HI+CI＝3+2，
∴AB＝4+2
故答案为：4+2．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：﹣|﹣3|+4cos45°﹣（﹣1）2023﹣
＝﹣3+4×+1﹣2
＝﹣3+2+1﹣2
＝﹣2．
17． 解：原式＝（+）
＝
＝
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
18． 解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵ED垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BE+BC+CE＝BE+EA+BC＝AB+BC＝10+8＝18（cm）．
19． 解：（1）20÷＝200，
所以这次被调查的学生共有200人，
在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数＝×360°＝72°；
故答案为200，72°；
（2）C类人数为200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
完整条形统计图为：
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）＝＝．
20． 解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
过B点向x轴作垂线，由勾股定理可得：
BC＝＝3；
（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
21． 解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
22． （1）证明：∵BC＝DC，
∴，
∴∠A＝∠CBD，
∵BE＝BF，
∴∠BEC＝∠F．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BEC+∠CBE＝90°，
∴∠F+∠A＝90°．
∴∠ABF＝90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是圆的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）得：BE＝BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴BC⊥EF，
∴CF＝CE＝EF＝3，
∵∠ABC+∠CBF＝90°，∠CBF+∠F＝90°，
∴∠F＝∠ABC，
在Rt△BCF中，
∵cos∠F＝，
∴BF＝CF÷＝5；
②在Rt△BCF中，
BC＝＝4，
在Rt△ABC中，
∵cos∠ABC＝，
∴AB＝．
∴⊙O的半径为．
23． 解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝x﹣6；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴y＝a（x﹣1）2+k，
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣；
（3）∵A（6，0），B（0，﹣6），
∴OA＝OB＝6，
在△AOB中，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PC⊥x轴，PM⊥l，
∴∠PCA＝∠PND＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠PDM＝∠ADC＝45°，
在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°，
∴sin45°＝，
∴PM＝PD，
∵y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣6，
∴设点P（t，t2﹣t﹣6），
∴D（t，t﹣6），
∴PD＝t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝3时，PD有最大值是，此时PM最大，
PM＝PD＝×＝，
当t＝3时，t2﹣t﹣6＝×9﹣×3﹣6＝﹣，
∴P（3，﹣），
∴PM的最大值是，此时点P（3，﹣）．
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