资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题四 数轴上的动点问题探究
.数轴上动点问题解题策略：
数轴上两点的距离即为数轴上表示这两点的数的差的绝对值，也就是用右边的数减去左边的数的差。
数轴上表示运动中的数的方法：
点在数轴上运动时由于数轴向右的方向为正方向，所有向右的速度看作正速度，向左的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上运动的路程就得到了运动后表示的数。即一个数表示a，向左运动b个单位就是a-b,向右运动b个单位就是a+b.简单说成左减右加。
数轴上对于两个动点的距离：
数轴上两个动点P、Q的距离避免分类带来的复杂性，可以用两数P、Q差的绝对值表示PQ两点的距离。
数轴上两点的中点：
若数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则AB的中点为.
类型一、数轴上两点的距离的应用
【例1-1】同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

(1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为______；
(3)的最小值是______．
【例1-2】已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题：
(1)表示有理数的点是______，点B表示的有理数是______；A，C两点之间的距离为______个单位长度；
(2)在数轴上画出点，分别表示有理数和；这两个数之间所有的负整数是______；
(3)将，，，这四个数用“”连接的结果是：______．
针对练习1
1．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为4，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m．
（1）若以B为原点，则 ；
（2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为3，则 ．
2．阅读材料：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点间距离为= ；数轴上表示数3和的两点距离为= ；则
（1）等式的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；
（2）等式，这里x的值是 ；
（3）等式，这里x的值是 ；
（4）式子，这个式子的最小值是 ．
3．如图：
(1)在数轴上标出数、、、所对应的点、、、；
(2)、两点间距离=______；、两点间距离=______；、两点间距离______；
(3)设数轴上两点、，点对应的数为、点对应的数为，（点在点的左侧），那么、两点之间的距离______；
(4)若动点、分别从点、同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，则秒后、两点之间的距离是______．
(5)有理数，在数轴上对应的位置如图所示，试简化：．
类型二、两点距离用绝对值处理策略
【例2-1】如图A在数轴上所对应的数为．

A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之，间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题：
(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示3和的两点之间的距离是　　
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　
(3)B点距A点6个单位长度，求B点所对应的数；
(4)在(3)的条件下，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，点B停止运动，求此时A，B两点间距离．
【例2-2】知识准备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离就是线段的长，且，AB的中点C对应的数为：．问题探究：在数轴上，已知点A所对应的数是，点B对应的数是10．
(1)求线段的长为 ___________；线段的中点对应的数是 ___________．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离是 ___________；若该距离是8，则x=___________．
(3)若动点P从点A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．经过多少秒，P、Q两点相距6个单位长度？
针对练习2
1．在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题：
(1)若，则=_____；
(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示；
(3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值．
2．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：

(1)填空： ， ．
(2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）．
类型三、来回跑的问题
【例3-1】在数轴上，如果点A表示的数为，点B表示的数为1，一个小球从点A出发，沿着数轴先向左移动7个单位长度，再向右移动4个单位长度，此时小球到达点C处，则点A到点C的距离与点B到点C之间的距离之和为 ．
【例3-2】综合与探究：
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：

(1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来．
(2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示______的点重合；
②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．
(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．
①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；
②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．
针对练习3
1．如果数轴上有一点从原点出发，先向左移动2个单位长度，再向右移动1个单位长度；将这一过程共重复2023次后停下，最后点表示的数是 ．
2 .如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒．
(1)当时，求点到原点的距离；
(2)当时，求点到原点的距离；
(3)当点到点的距离为4时，求点到点的距离．
类型四、运动中的变与不变
【例4-1】点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点．
(1)点表示的数是_______；
(2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值；
(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由．
【例4-2】若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足．
(1) ； ；线段的长 ；
(2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得 若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；
(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化 若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
针对练习4
1 .如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；
当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？
若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
2 .如图，已知数轴上的点表示的数为6，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出点表示的数__________，点表示的数__________（用含的代数式表示）；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，点运动几秒时追上点，并求出此时表示的数；
(3)若为的中点，为的中点．点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，请求出线段的长．
类型五、中点问题
【例5-1】阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
(1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；
(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．
【例5-2】如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．

(1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合；
(2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．
若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值；
②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
针对练习5
1 .阅读下面的材料，回答问题：
材料一：在数轴上，我们把到两个点距离相等的点，叫做这两个点的“中点”，例如：
①表示1和5的点到表示3的点距离都为2，所以它们“中点”表示的数是3．
②表示和的点到表示的点距离都为1，所以它们的“中点”表示的数是．

材料二：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点．
(1)表示和6的点的“中点”表示的数是___________．
(2)若“中点”表示的数是2023，其中一点表示的数是2020，则另一个点表示的数是___________．
(3)点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段，其中，点A、B的对应点分别是、，线段AB的中点C与线段的中点对应．
①若点A表示的数是2，点B表示的数是6，请求出点表示的数．
②若点表示的数是2，请求出点C表示的数．
2．数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．

(1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数；
(2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数．
类型六、多状态分析
【例6-1】在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．

(1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”；
(2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒．
①点表示的数为__________（用含的式子表示）；
②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【例6-2】【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作．
【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置；
(2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．
①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______；
②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？
③为何值时，，两点之间的距离为4？
针对练习6
1 .如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点．

(1)请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ；
(2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒；
① 当时，求t的值；
② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
2．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示
如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．

(1) ， ， ；
(2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值．
(3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值．
3．如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，点的运动速度为3个单位长度/秒，运动到3秒时，两点相距15个单位长度．（速度单位：1个单位长度/秒）

(1)求点运动的速度；
(2)设、两点运动时间为，当时，求点表示的数和点表示的数并在数轴上表示出来；
(3)若、两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴运动，运动的速度不变，相向而行，问经过多少秒，、两点之间相距5个单位长度．
4．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．

(1)a的值为 ，的值为 ；
(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．
①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；
②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题四 数轴上的动点问题探究
.数轴上动点问题解题策略：
数轴上两点的距离即为数轴上表示这两点的数的差的绝对值，也就是用右边的数减去左边的数的差。
数轴上表示运动中的数的方法：
点在数轴上运动时由于数轴向右的方向为正方向，所有向右的速度看作正速度，向左的速度看作负速度，这样在起点的基础上加上运动的路程就得到了运动后表示的数。即一个数表示a，向左运动b个单位就是a-b,向右运动b个单位就是a+b.简单说成左减右加。
数轴上对于两个动点的距离：
数轴上两个动点P、Q的距离避免分类带来的复杂性，可以用两数P、Q差的绝对值表示PQ两点的距离。
数轴上两点的中点：
若数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则AB的中点为.
类型一、数轴上两点的距离的应用
【例1-1】同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：

(1)数轴上表示5与的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为______；
(3)的最小值是______．
【答案】(1)7
(2)
(3)4
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离．
（1）根据题意求出表示5与的两点之间的距离即可；
（2）根据题意列出表示x与3的两点之间的距离的式子即可；
（3）根据题意可知表示x所对应的点到的距离和到2 的距离之和，结合数轴即可求解，理解数轴上所对应的两点之间的距离的意义，及的几何意义是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，数轴上表示5与的两点之间的距离为，
故答案为：7
（2）解：根据题意，数轴上表示x与3的两点之间的距离可以表示为，
故答案为：
（3）解：表示x所对应的点到的距离和到2 的距离之和，由数轴可知，当时，的值最小为．
故答案为：4
【例1-2】已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题：
(1)表示有理数的点是______，点B表示的有理数是______；A，C两点之间的距离为______个单位长度；
(2)在数轴上画出点，分别表示有理数和；这两个数之间所有的负整数是______；
(3)将，，，这四个数用“”连接的结果是：______．
【答案】(1)，，；
(2)画图见解析；，，
(3)
【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小
（1）根据数轴上点的位置和数轴上两点距离公式求解即可；
（2）根据数轴上表示有理数的方法求解即可；
（3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得表示有理数的点是A，点B表示的有理数是3.5；A，C两点之间的距离为个单位长度，
故答案为：，，；
（2）解：如图所示，即为所求；
和，这两个数之间所有的负整数是：，，；
故答案为：，，．
（3）解：由题意得，
故答案为：．
针对练习1
1．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为4，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m．
（1）若以B为原点，则 ；
（2）若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为3，则 ．
【答案】 4 或13
【分析】本题考查了数轴的应用，关键是注意分类讨论．
（1）为原点，点到点的距离为4，点到点的距离为8，可得、两点表示的数，可求得；
（2）点到原点的距离为可能为3，可能为，分类讨论．
【详解】（1）由题意得，A点表示的数是，C点表示的数是8，
，
故答案为：4；
（2），
，
①当点B表示的数是时，
点A表示的数为，点C表示的数为5，
，
②当点B表示的数是3时，
点A表示的数为，点C表示的数为11，
，
故答案为：或13．
2．阅读材料：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点间距离为= ；数轴上表示数3和的两点距离为= ；则
（1）等式的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离；
（2）等式，这里x的值是 ；
（3）等式，这里x的值是 ；
（4）式子，这个式子的最小值是 ．
【答案】3；4；（1）6；（2）或5；（3）（4）2
【分析】根据数轴上的点的特点即可求解；
（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据的几何意义求解可得；
（3）根据的几何意义求解可得；
（4）由题意知表示数x到1和3的距离之和，当数x在两数之间时式子取得最小值．
本题考查了数轴的点的距离，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
【详解】∵数轴上表示数2和5的两点间距离为3，
∴=3；
∵数轴上表示数3和的两点距离为4，
∴=4；
故答案为：3；4；
（1）∵数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，
∴等式的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；
故答案为：6；；
（2）∵等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点，
∴x的值为或5，
故答案为：或5；
（3）∵的几何意义是表示到数4和到数5的距离相等，
∴，
故答案为：；
（4）式子表示数x到1和3的距离之和，故当数x在1和3之间时式子取得最小值，即1和3之间的距离：2，
故答案为：2．
3．如图：
(1)在数轴上标出数、、、所对应的点、、、；
(2)、两点间距离=______；、两点间距离=______；、两点间距离______；
(3)设数轴上两点、，点对应的数为、点对应的数为，（点在点的左侧），那么、两点之间的距离______；
(4)若动点、分别从点、同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，则秒后、两点之间的距离是______．
(5)有理数，在数轴上对应的位置如图所示，试简化：．
【答案】(1)见解析
(2)；；
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）在数轴上找出、、、即可；
（2）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值；
（3）两点之间的距离等于两点所表示的数之差的绝对值；
（4）根据题意求出与在秒后所表示的数，即可求出、之间的距离；
（5）根据数轴比较、、、与的大小关系，然后化简即可．
【详解】（1）如图所示：
（2），
，
，
故答案为：，，；
（3）；
（4）由题意可知：秒后，点所走的路程为：，点所走的路程为：，
点、所表示的数分别为：，，
此时；
（5）由数轴可知：，
∴，，，，
∴
原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值、两点之间的距离公式．解题的关键是理解题意，数形结合．
类型二、两点距离用绝对值处理策略
【例2-1】如图A在数轴上所对应的数为．

A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之，间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题：
(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是　　，数轴上表示3和的两点之间的距离是　　
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　
(3)B点距A点6个单位长度，求B点所对应的数；
(4)在(3)的条件下，点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，点B停止运动，求此时A，B两点间距离．
【答案】(1)4；7
(2)
(3)4，
(4)6或18
【分析】（1）用数轴上右边的数减去左边的数即可得到对应两点的距离；
（2）由于x的位置不确定，所以应取两数差的绝对值；
（3）根据（2）中方法列方程求解即可；
（4）分两种情形分别进行求解即可．先确定A用的时间，计算B点到达的位置对应的数，再计算两点间距离即可．
【详解】（1），
故答案为：4，7．
（2）
故答案为：．
（3）设B点对应的数为x，则有
∴或．
（4）点A运动到所在的点时，所用的时间为4秒，
当B点原来表示的数为4时，运动4秒后表示的数是，
此时，
当B点原来表示的数为，运动4秒后表示的数是
此时．
【点睛】本题考查了数轴上动点问题，数轴上两点的距离，有理数的混合运算，解方程，正确理解数轴上的动点问题是解题的关键．
【例2-2】知识准备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离就是线段的长，且，AB的中点C对应的数为：．问题探究：在数轴上，已知点A所对应的数是，点B对应的数是10．
(1)求线段的长为 ___________；线段的中点对应的数是 ___________．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离是 ___________；若该距离是8，则x=___________．
(3)若动点P从点A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动．经过多少秒，P、Q两点相距6个单位长度？
【答案】(1)14 3
(2) 3或
(3)1秒或2.5秒
【分析】（1）直接代入题目中的公式即可求解；
（2）代入公式，解绝对值方程求解；
（3）分别用时间t表示P、Q点的数值，继而表示线段的长，解关于时间t的方程求解．
【详解】（1），
AB的中点C对应的数为：．
故答案为14，3
（2）
若
则
∴
答案为故 或
（3）设运动时间为t秒，则点P运动后所对应的点为，点Q运动后所对应的点为，
∴之间的距离为，
当P、Q两点相距6个单位长度时，，解得或，
∴经过1秒或2.5秒时，P、Q两点相距6个单位长度．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题时表示动点的数值是解题的关键．
针对练习2
1．在数轴上，若点、点表示的数分别是、，则、两点间的距离可以表示为，例如，在数轴上，表示数和数的两点间的距离是，表示数和数的两点间的距离是，利用上述结论，解决问题：
(1)若，则=_____；
(2)若有一个半径为的圆上有一点，与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴无滑动的滚动周，点到达点的位置，则点表示的数为______用含有的代数式表示；
(3)，为数轴上的两个动点，点表示的数为，点表示的数为，且，点C表示的数为，若点、、、三点中的某一点到另外两点的距离相等，求、的值．
【答案】(1)10或-4；
(2)或；
(3)，或，或，．
【分析】（1）根据距离公式进行求解即可；
（2）分向左和向右两种情况进行讨论，根据左减右加进行求解即可；
（3）分、、分别为线段的中点进行分类讨论进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴在数轴上，表示数的点与数的点之间的距离为，
或，
解得或．
故答案为：或；
（2）解：∵圆的半径为，
此圆的周长，
当圆向左滚动时点表示的数是；
当圆向右滚动时点表示的数是．
故答案为：或；
（3）解：∵，
∴在数轴上，点与点之间的距离为，且点在点的右侧．
①当点为线段的中点时，
．
点表示的数为，
，．
②当点为线段的中点时，
．
点表示的数为，
，．
③当点为线段的中点时，
．
点表示的数为，
，．
综上所述，，或，或，．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离问题．熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
2．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：

(1)填空： ， ．
(2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
(3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）．
【答案】(1)，；
(2)不变，理由见解析；
(3)或或．
【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可；
（）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可；
（）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边；
本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【详解】（1），，
故答案为：，；
（2）不变，理由：
因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，，
所以：，，
∵，
∴，，
∴，，
所以：，
所以的值不会随着时间的变化而改变；
（3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，，
当点追上点时，，
解得：，
当时，点在还点处，
所以：，
当时，点在点的右边，
所以：，
当时，点在点的右边，
所以：，
综上所述，、两点间的距离为或或．
类型三、来回跑的问题
【例3-1】在数轴上，如果点A表示的数为，点B表示的数为1，一个小球从点A出发，沿着数轴先向左移动7个单位长度，再向右移动4个单位长度，此时小球到达点C处，则点A到点C的距离与点B到点C之间的距离之和为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题，根据数轴上点移动的规律得点C表示的数是，再利用数轴上两点之间的距离公式即可求解，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及数轴上点移动的规律是解题的关键．
【详解】解：由题意得，点C表示的数是：，
因为点A表示的数为，点B表示的数为1，
所以点A到点C的距离为：，
点B到点C的距离为：，
所以点A到点C的距离与点B到点C之间的距离之和为：，
故答案为：10．
【例3-2】综合与探究：
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：

(1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来．
(2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：
①表示的点与表示______的点重合；
②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．
(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．
①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；
②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．
【答案】(1)在数轴上把数表示见解析，用“＜”将它们连接起来为
(2)①6；②
(3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为
【分析】（1）根据数轴的点的表示解答即可；
（2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可；
（3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可．
【详解】（1）如图所示．

用“＜”将它们连接起来为．
（2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为，
，
所以表示的点与表示6的点重合，
故答案为：6，
设点A表示的数为x，则点B表示的数为，
可得，
解得：
故答案为：；
（3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2，
所以甲、乙两个小球之间的距离为．
②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为．
当时，甲、乙两个小球之间的距离为；
当时，甲、乙两个小球之间的距离为．
所以甲、乙两个小球之间的距离为．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键．
针对练习3
1．如果数轴上有一点从原点出发，先向左移动2个单位长度，再向右移动1个单位长度；将这一过程共重复2023次后停下，最后点表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出规律：重复一次点M向左移动1个单位长度．
【详解】解：点M从原点出发，先向左移动2个单位长度，再向右移动1个单位长度，则这样重复一次点M向左移动1个单位长度，
∴将这一过程共重复2023次后停下，最后点表示的数是：
．
故答案为：．
2 .如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为秒．
(1)当时，求点到原点的距离；
(2)当时，求点到原点的距离；
(3)当点到点的距离为4时，求点到点的距离．
【答案】(1)当时，点到原点的距离为6
(2)点到原点的距离为2
(3)点到点的距离为6或10或22
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键．
（1）先计算出点Q运动的路程，即可解答；
（2）先计算出点Q的运动路程，即可解答；
（3）①点向左运动4个单位长度，②点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，③点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度．
【详解】（1）解：当时，，
，
当时，点到原点的距离为6．
（2）解：当时，点运动的距离为，
，
∴点到原点的距离为2；
（3）解：点到原点的距离为4时，分三种情况讨论：
①点向左运动4个单位长度，此时运动时间：（秒），
点表示的数是，点表示的数是4；
此时点到点之间的距离是6．
②点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，
则点运动的距离为：，运动时间：（秒）
点表示的数是，点表示的数是4；
此时点到点之间的距离是10．
③点向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度，
则点运动的距离为：，运动时间：（秒）
点表示的数是，点表示的数是12；
此时点到点之间的距离是22．
综上，点到点的距离为6或10或22．
类型四、运动中的变与不变
【例4-1】点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点．
(1)点表示的数是_______；
(2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值；
(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)线段的长度不变，且为3，见解析
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，数轴上的平移，熟练掌握两点间的距离是解题的关键，
（1）根据点表示的数是4，平移左减2两个单位得到的数是2，其相反数即为点B表示的数．
（2）根据点表示的数是4，，确定点C表示的数，再计算平移单位数即可．
（3）分，，三种情况计算即可．
【详解】（1）∵点表示的数是4，
∴平移左减2两个单位得到的数是2，
其相反数即为点B表示的数．
∴点B表示的是，
故答案为：．
（2）∵点表示的数是4，，
∴，
∴或，
解得或，
∵点B表示的是，
∴向右平移或
故或．
（3）设点P表示的数是，点D表示的数是，点E表示的数是，
∵点B表示的是，点表示的数是4，
当时，，，
∴；
当时，，，
∴；
当时，，，
∴；
故线段的长度不变，且为3．
【例4-2】若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足．
(1) ； ；线段的长 ；
(2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得 若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；
(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化 若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【答案】(1)，，；
(2)或；
(3)的值不随着时间的变化而变化，值为．
【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长；
（）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数；
（）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值．
【详解】（1）∵，
∴， ，
解得：，，
∴线段的长为：，
故答案为：，，；
（2）由（）得：，
∴，
设对应的数为，
由图知：
在右侧时，不可能存在点；
在左侧时，，
解得: ，
当在、中间时，，
解得: ，
故点对应的数是或；
（3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下：
秒钟后，点位置为：，
∴点的位置为: ，点的位置为: ，
∴，
∴，
∴的值不随着时间的变化而变化，值为．
【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键．
针对练习4
1 .如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．

(1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）；
(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；
当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？
若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度；存在，或．
【分析】（）利用两点间的距离为即可求出点表示的数，根据动点则可求出表示的数；
（）利用数轴上两点间的距离即可求解；
利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为零即可求解；
此题考查了数轴和绝对值，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值化简及其应用．
【详解】（1）设点表示的数为，
∵是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，
∴，解得：，
∴点表示的数是，
∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点表示的数是，
故答案为：，；
（2）同理，点表示的数是，
依题意，得，整理得：，
解得或，
∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度；
②存在，理由：
由题意得：点表示的数是：，
∴，，
当时，即，
∴，
若的值与无关，则，解得；
当时，，
若的值与无关，则，解得；
当时，，
若的值与无关，则，解得
∴综上可知：当或时，的值与无关．
2 .如图，已知数轴上的点表示的数为6，是数轴上一点，且．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)写出点表示的数__________，点表示的数__________（用含的代数式表示）；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，点运动几秒时追上点，并求出此时表示的数；
(3)若为的中点，为的中点．点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，请求出线段的长．
【答案】(1)；
(2)
(3)运动时，长度不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）根据点A的坐标减去点B的坐标等于的长度，可求得点B的坐标；同理根据点A的坐标减去点P的坐标等于运动距离，可求得点P的坐标．
（2）与（1）类似，先求出点R的坐标为，然后令与点P的坐标相等，可列出等式：，求解t值；然后将t值代入．
（3）分点P运动到AB之间与点P运动点B的左侧，两种情况分别讨论．
【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，，，即
∴
∴点B表示的数是：
依题意有：
∴
即点P表示的数是
故答案为：
（2）解：根据题意可得：
解得：
即点运动5秒时追上点R
当时，
点表示的数为
（3）运动时，长度是恒定的
①当在A，之间，（如图）
则
②当在左侧时，（如图）
∴运动时，长度是恒定的，为定值5
【点睛】本题考查数轴上动点问题，解题的关键是结合动点路程问题得到两点距离或点的坐标，注意分类讨论．
类型五、中点问题
【例5-1】阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题：
(1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ；
(2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）．
①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ；
②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ．
【答案】(1)
(2)，
(3)①，②，，
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义设未知数列方程求解；
（3）①依题意，设B表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可作答；
②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组求解，结合n为整数，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，得，
所以则点M表示的数为；
故答案为：；
（2）解：设点A表示的数为，
因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧），
所以点B表示的数为，
因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，
故，
解得，那么，
所以点A表示的数为，点B表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①依题意，设B表示的数为，
因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，
所以，
因为m为整数，
所以为整数，
则或
故整数m的值为：，，
故答案为：；
②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，
所以点C和点D分别表示的数为，，
∵O可以为点A与点B的“雅中点”，
∴，
故，
因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合），
所以B表示的数为，
所以，
即，
解得，
因为n为整数，
则，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键．
【例5-2】如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．

(1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合；
(2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．
若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值；
②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或或；存在，．
【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点；
（）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值．
【详解】（1），
，
∴的中点表示的数为：，
∵，
点B的重合点为，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：，
（）若为中点，
则 ，
解得；
（）若为中点，
则 ，
解得；
（）若为中点，
则，
解得；
综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点；
假设存在．
∵在右侧，在右侧，
∴，，
∴，
当即时，
，为定值，
故存在常数使的值为定值．
【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程．
针对练习5
1 .阅读下面的材料，回答问题：
材料一：在数轴上，我们把到两个点距离相等的点，叫做这两个点的“中点”，例如：
①表示1和5的点到表示3的点距离都为2，所以它们“中点”表示的数是3．
②表示和的点到表示的点距离都为1，所以它们的“中点”表示的数是．

材料二：对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点．
(1)表示和6的点的“中点”表示的数是___________．
(2)若“中点”表示的数是2023，其中一点表示的数是2020，则另一个点表示的数是___________．
(3)点A、B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述“材料二”的操作后得到线段，其中，点A、B的对应点分别是、，线段AB的中点C与线段的中点对应．
①若点A表示的数是2，点B表示的数是6，请求出点表示的数．
②若点表示的数是2，请求出点C表示的数．
【答案】(1)
(2)
(3)①②
【分析】（1）设“中点”表示的数是，由“中点”的定义即可求解；
（2）设另一个点表示的数是由“中点”的定义即可求解；
（3）①由（1）同理可求点和点的“中点”表示的数是，由点P到对应点的操作即可求解；
②由操作可得C表示的数可以由点表示的数对应的点先向左平移1个单位，再除以得到，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
所以“中点”表示的数是，
故答案：．
（2）解：由题意得
，
所以另一个点表示的数是，
故答案：．
（3）解：①由（1）同理可求点和点的“中点”表示的数是，
所以表示的数是；
②表示的数是由点C表示的数乘以，再把所得的数对应的点向右平移1个单位得到，
所以C表示的数可以由点表示的数对应的点先向左平移1个单位，再除以得到，
所以C表示的数为；
【点睛】本题考查了“中点”的新定义，点在数轴上的平移，用方程解决问题，理解新定义是解题的关键．
2．数轴上有A，，三个不同的点，给出如下定义：若其中一个点到其他两个点之间的距离相等时，则称该点是其他两个点的“中点”，这三个点为“中点关联点”．例如在图中的数轴上，点A，，所表示的数分别为1，3，5，此时点是点A，的“中点”．

(1)若点A表示数，点表示数1，当点是点A与点的“中点”时，求点表示的数；
(2)点A表示数，点表示数15，点为数轴上一个动点，若点A，，是“中点关联点”，求此时点表示的数．
【答案】(1)
(2)40或或
【分析】（1）根据题意求得与的关系，得出答案；
（2）分点P为A、B的中点关联点，A为P、B的中点关联点，B为A、P的中点关联点列式解答即可．
【详解】（1）解：因为点A表示数，点表示数1，且点是点与点的中点，
所以，
所以点表示的数为；
（2）解：分三种情况：
①若点是点，的“中点”则点表示的数是：；
②若点是点，的“中点”则点表示的数是：；
③若点是点，的“中点”则点表示的数是：．
故点表示的数为40或或．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离，理解新定义，分类讨论是解题关键．
类型六、多状态分析
【例6-1】在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．

(1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”；
(2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒．
①点表示的数为__________（用含的式子表示）；
②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②不存在，理由见解析
【分析】（1）求出表示的数，再画图即可；
（2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；
表示的数是，如图：

（2）①点表示的数为，
故答案为：；
②不存在恰好与原点重合，理由如下：
表示的数是，
当时，，
表示的数是，
此时不存在恰好与原点重合；
当时，表示的数是，
此时不存在恰好与原点重合，
综上所述，不存在恰好与原点重合．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数．
【例6-2】【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作．
【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．
(1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置；
(2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．
①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______；
②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？
③为何值时，，两点之间的距离为4？
【答案】(1)见解析
(2)①，；②；③或．
【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
（1）根据题意画出数轴，即可解答；
（2）①用含的代数式表示即可；
②根据相反数的意义列式计算即可求解；
③根据题意列出绝对值方程即可求解．
【详解】（1）解：如图：
；
（2）解：①秒时，点表示的数为，点表示的数为；
故答案为：，；
②由题意得：，
解得：；
③由题意得：，即，
∴或，
解得：或．
针对练习6
1 .如图，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点．

(1)请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ；
(2)若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒和每秒，设移动时间为t秒；
① 当时，求t的值；
② 运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【答案】(1)，，4
(2)①或，②不会随着t的变化而改变，见解析
【分析】（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可；
（2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，得到，由得到，解方程即可得到答案；
②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是，，，则，即可证明结论．
【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为4；
故答案为：，，4
（2）①由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴或，
②不会随着t的变化而改变，理由如下：
由题可得点P表示的数为，点Q表示的数为，点C表示的数是4，点A表示的数是，
∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等，
∴点M表示的数是，
∵，
∴，
即为定值．
【点睛】此题考查了数轴上的点表示数、绝对值的意义、数轴上两点之间的距离等知识，读懂题意，正确列式计算是解题的关键．
2．预备知识：在数学中，把点与点之间的距离用表示
如图，在数轴上点表示数点表示数点表示数，已知数是最小的正整数，且满足．

(1) ， ， ；
(2)点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，运动秒钟后，求三点在数轴上所表示的数（用含的式子表示），若在此过程中，的值保持不变，求的值．
(3)在此数轴有上一动点对应的数为，求的最小值．
【答案】(1)，1，7
(2)点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为，
(3)9
【分析】（1）根据数是最小的正整数，得出，根据绝对值和平方的非负性得出，即可得出a和c的值；
（2）根数两点之间的距离表示方法，即可得出t秒后A、B、C三点表示的数，得出关于t的表达式，根据的值保持不变可知，的值与t无关，即可求出m的值．
（3）根据绝对值的几何意义，可得表示点Q和的距离，表示点Q和7的距离，则当点Q在和7之间时，的值最小，即可求解．
【详解】（1）解：∵数是最小的正整数，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：，1，7；
（2）解：根据题意可得：
∵，
∴t秒中后，点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为，
∴，，
∴，
∵的值保持不变，
∴的值与t无关，即，
解得：；
（3）解：∵，
∴表示点Q和的距离，
∵表示点Q和7的距离，
∴当点Q在和7之间时，的值最小，
此时．
【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，绝对值的几何意义，数轴上两点之间距离的表示方法，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，以及数轴上两点之间距离的表示方法．
3．如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，点的运动速度为3个单位长度/秒，运动到3秒时，两点相距15个单位长度．（速度单位：1个单位长度/秒）

(1)求点运动的速度；
(2)设、两点运动时间为，当时，求点表示的数和点表示的数并在数轴上表示出来；
(3)若、两点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴运动，运动的速度不变，相向而行，问经过多少秒，、两点之间相距5个单位长度．
【答案】(1)2
(2)；12
(3)5秒或7秒
【分析】（1）运用运动到3秒时，算出A点运动后的位置，再根据两点相距15个单位长度解答即可；
（2）根据（1）算出各自的运动路程即可；
（3）根据相遇前和相遇后、两点之间相距5个单位长度分类讨论即可；
【详解】（1）运动到3秒时，A点运动到，
因为两点相距15个单位长度，故运动后B点对应的数：，
故B点的速度为：个单位长度/秒；
（2）当时，
点运动路程为：个单位长度 ；点运动路程为：个单位长度；
点表示的数为： ，点表示的数为：12；

（3）相遇前、两点之间相距5个单位长度时，；
相遇后、两点之间相距5个单位长度时，；
故问经过5秒或7秒时，两点之间相距5个单位长度．
【点睛】该题主要考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间距离，解题的关键是结合数轴进行分析．
4．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．

(1)a的值为 ，的值为 ；
(2)动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．
①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；
②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．
【答案】(1)
(2)① ②或
【分析】根据两点间的距离为且两点表示的数互为相反数即可求； 再根据绝对值为非负数求出，从而得出结论；
①根据相遇时走的路程是，根据速度时间路程列方程求出的值；②根据点的路程之差的绝对值等于列出方程，解方程即可.
【详解】（1）∵,
∴,
∵, 互为相反数,
∴,
∴,
故答案为: ；
（2）①∵点的速度是每秒个单位长度，点在点处相遇, ,
∴点从点运动到点所用时间为秒，
∵,
∴,
解得
②设运动时间为秒，
根据题意：,
解得或
或
∴或
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，两点间距离公式的应用，进行分类讨论是解题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑