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八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题八 全等三角形的常见辅助线（三）
类型七 一线三垂直、一线三等角模型
模型1 一线三垂直全等模型
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型2 一线三等角全等模型
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
方法：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解
【例7-1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
【例7-2】已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．
（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【例7-3】(1)观察猜想
如图①,点B、A、C在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关系为
(2)问题解决
如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°，CB=8，AB=4，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC连接BD,求BD的长．
(3)拓展延伸
如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°，CB=8.AB=4，DC=DA，则BD=
针对练习7
1 .（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
2 .如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
3 .如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；
（2）求证：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　 　．（用含a，b，c的式子表示）
类型八 角平分线模型
模型1：如图一，角平分线+对称型
图一
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
【依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等
模型2：如图二，角平分线+垂直两边型
角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．
如图二
【几何语言】：∵ OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB
∴，∴DE=DF
模型3如图三，角平分线+垂直角平分线型
如图三
方法：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型四 角平分线+平行线型
如图四
方法：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
典例剖析8
【例8-1】如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例8-2】如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．
【例8-3】点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；
（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．
针对练习8
如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
2 .如图，在中，，平分，交于，于，求证：.
3 .已知：是的角平分线，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
类型九 轴对称模型
轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示:
方法:
（1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等;
（2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等
典例剖析9
【例9-1】如图，与相交于点，，，，点从点A出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，、两点同时出发，当点到达点A时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为（s）．

(1)求证：．
(2)填空：线段________，线段________，（用含的式子表示）．
(3)连接，当线段经过点时，求的值．
【例9-2】【教材呈现】东师版数学八年级上册教材页的部分内容，我们都知道演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你写出完整的证明过程．
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对称，我们发现与完全重合，由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，，垂足为点，______，点是直线上的任意一点．
求证：______．
证明：
【学以致用】如图，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由．
针对练习9
1.综合与实践
.问题情境：如图（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外的一点，且BD＝BC，∠DBC＝30°，连接AD．
(1)若BC＝4，则D到BC边的距离为______．
(2)小明在图（1）的基础上，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，得到图（2），连接CE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．
(3)在图（2）中，试猜想AE与AD的数量和位置关系，并证明你的猜想．
2 .教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；
（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．
求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）
证明：设直线l，m相交于点O．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为　 　．
八年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题八 全等三角形的常见辅助线（三）（解析版）
类型七 一线三垂直、一线三等角模型
模型1 一线三垂直全等模型
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型2 一线三等角全等模型
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
方法：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解
【例7-1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【例7-2】已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．
（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）DE＝BD＋CE．理由见详解
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ABD≌△CAE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由ASA就可以得出△ABD≌△CAE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图①，∵D，A，E三点都在直线m上，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）DE＝BD＋CE．理由如下：
如图②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴由三角形内角和及平角性质，得：
∠BAD＋∠ABD＝∠BAD＋∠CAE＝∠CAE＋∠ACE，
∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．
【例7-3】(1)观察猜想
如图①,点B、A、C在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE,则BC、BD、CE之间的数量关系为
(2)问题解决
如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°，CB=8，AB=4，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC连接BD,求BD的长．
(3)拓展延伸
如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°，CB=8.AB=4，DC=DA，则BD=
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）观察猜想：证明△ADB≌△EAC，可得结论：BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决：作辅助线，同理证明：△ABC≌△DEA，可得DE=AB=2，AE=BC=4，最后利用勾股定理求BD的长；
（3）拓展延伸：同理证明三角形全等，设AF=x，DF=y，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
【详解】解：（1）观察猜想
BC=BD+CE，
理由是：如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE，
∴△ADB≌△EAC（AAS），
∴BD=AC，EC=AB，
∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=4，AE=BC=8，
Rt△BDE中，BE=BA+AE=4+8=12，
由勾股定理得：
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，
同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
设AF=x，DF=y，
∵BC=8，AB=4，
则，解得： ，
∴BF=AF+ AB=2+4=6，DF=6，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理、勾股定理，解决本题的关键是证明：△CED≌△AFD．
针对练习7
1 .（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解
【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断；
（2）利用，则，得出，然后问题可求证；（3）由题意易得，由（1）（2）易证，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证．
【详解】（1）证明：直线，直线，，
，，，，
在和中，，；
解：（2）成立，理由如下：，
，，
在和中，，；
（3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴（SAS），∴，
∴，∴△DFE是等边三角形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
2 .如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.
【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【详解】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=110°时，∴∠ADC=70°，∵∠C=40°，∴∠DAC=70°，∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，∴∠DAC=40°，∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
3 .如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；
（2）求证：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　 　．（用含a，b，c的式子表示）
【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，
∴∠BAD＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠DBA＝70°，
又∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；
（2）证明：过点A作AF⊥DE于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，
又∵AD＝BC＝AB，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB＝∠DAB＝∠CAE，
∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，
在△BAF和△CBG中，
，
∴△BAF≌△CBG（AAS），
∴AF＝BG，BF＝CG，
∵∠CBG＝∠CAE，
∴∠AEF＝∠ACB＝45°，
∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，
∴BF＝EG＝CG，
∴∠CEG＝∠AEF＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠BEC＝135°；
（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，
∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，
∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，
∴S△ABC＝BE CG
＝BE （AF﹣BE）
＝．
故答案为：．
类型八 角平分线模型
模型1：如图一，角平分线+对称型
图一
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
【依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等
模型2：如图二，角平分线+垂直两边型
角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．
如图二
【几何语言】：∵ OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB
∴，∴DE=DF
模型3如图三，角平分线+垂直角平分线型
如图三
方法：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
模型四 角平分线+平行线型
如图四
方法：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
典例剖析8
【例8-1】如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=，∠ABE=
∴∠BAD+∠ABE=
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；
在△APH与△FPD中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；
连接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴，，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP，
∴
∵
故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．
【例8-2】如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．
【答案】见解析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，
连接DE，
因为BD是的平分线，
所以．
在和中，
因为
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法2 补短
如图，延长BA到点E，使．
因为BD是的平分线，
所以
在和中，
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
方法3 构造直角三角形全等
作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，
所以．
因为，，
所以，
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
【例8-3】点E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；
（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；
（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．
【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB的延长线于F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即E为DF的中点，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE平分∠DAB；
（2）解：由（1）得AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠DAB，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠DEC＝35°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠CDE＝110°，
∴∠DAB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAB＝35°；
（3）证明：如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，
又∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
针对练习8
如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝AD，见分析；（2）BEG是等腰直角三角形，见分析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
解：证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
2 .如图，在中，，平分，交于，于，求证：.
【分析】延长BD至N，使DN=BD，易得AD垂直平分BN，继而证得AE=EN，则可证得结论．
解：延长BD至N，使DN=BD，连接AN．
∵AD⊥BE，
∴AD垂直平分BN，
∴AB=AN，
∴∠N=∠ABN，
又∵BE平分∠ABC，∠ABC=2∠C，
∴∠ABN=∠NBC=∠C，
∴∠NBC=∠C，
∴AN∥BC，
∴∠C=∠NAC，
∴∠NAC=∠N，
∴AE=EN，
∵BE=EC，
∴AC=BN=2BD．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及平行线的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3 .已知：是的角平分线，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，点E在上，连接并延长交于点，交CA的延长线于点，且，连接．
①求证：；
②若，且，求的长．
（1）见分析；（2）①见分析；②．
【分析】（1）用证明，即得AB＝AC；
（2）①证明可得，再用证明△FAG≌△FAE，即得；
②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求．
解：（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）①，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②过作于，如图：
由①知：，
，
，
，
由①知：，
，
，
，
，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的相关知识.
类型九 轴对称模型
轴对称模型
所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示:
方法:
（1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等;
（2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等
典例剖析9
【例9-1】如图，与相交于点，，，，点从点A出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，、两点同时出发，当点到达点A时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为（s）．

(1)求证：．
(2)填空：线段________，线段________，（用含的式子表示）．
(3)连接，当线段经过点时，求的值．
【答案】(1)证明见详解；
(2)，；
(3)或
【分析】（1）根据，结合即可得到证明；
（2）根据路程等于速度乘以时间求解即可得到答案；
（3）根据线段经过点得到，即可得到，即可得到，列式求解即可得到答案；
【详解】（1）证明：在与中，
∵，
∴；
（2）解：根据题意可得，
∵，，
∴，
∵点从点出发，沿方向以的速度单向运动，
∴，，
故答案为：，；
（3）解：当线段经过点时，
，
在与中，
∵，
∴，
∴，
当点P从A到B时，
，
解得：，
当点P从B到A时，
，
解得：，
综上所述：或；
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是动点问题注意分类讨论．
【例9-2】【教材呈现】东师版数学八年级上册教材页的部分内容，我们都知道演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你写出完整的证明过程．
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对称，我们发现与完全重合，由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，，垂足为点，______，点是直线上的任意一点．
求证：______．
证明：
【学以致用】如图，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由．
【答案】【教材呈现】，，证明过程见解析；【学以致用】，证明过程见解析
【分析】（1）根据题中教材补充完成即可；
（2）根据定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等求证即可．
【详解】《教材呈现》
已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点，
求证：．
故答案为：，．
证明：∵
∴
在和中，
∴
；
《学以致用》
，
理由：
是线段的垂直平分线，
，，
∴，，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、三角形的全等证明，读懂题意，灵活应用相关知识解题是关键．
针对练习9
1.综合与实践
问题情境：如图（1），在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外的一点，且BD＝BC，∠DBC＝30°，连接AD．
(1)若BC＝4，则D到BC边的距离为______．
(2)小明在图（1）的基础上，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，得到图（2），连接CE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．
(3)在图（2）中，试猜想AE与AD的数量和位置关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)2
(2)△BCE为等边三角形；证明见解析
(3)AE＝AD，AE⊥AD；证明见解析
【分析】（1）过点D作DF⊥BC于F，由含30度角直角三角形的性质求得DF＝BD＝BC；
（2）△BCE为等边三角形．根据对称图形的性质得到BE＝BC．
（3）由△ABD≌△ABE得AE＝AD，再证明，从而可得AE⊥AD，故可得结论．
(1)
如图（1），过点D作DF⊥BC于F，
∵BD＝BC＝4，∠DBC＝30°，
∴DF＝BD
∴DF＝BC=．
故答案是：2；
(2)
△BCE为等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°．
∵以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，
∴△ABD≌△ABE，
∴∠ABE＝∠ABD＝15°，BE＝BD，
∴∠EBC＝15°＋15°＋30°＝60°．
∵BD＝BC，
∴BE＝BC，
∴△BCE为等边三角形．
(3)
AE＝AD，AE⊥AD．
证明：∵△ABD≌△ABE，
∴AE＝AD．
∵△EBC是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，BE＝CE．
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACE，
∴，
∴∠EAB＝180°－∠AEB－∠EBA＝135°．
∵∠EAB＝∠DAB，
∴∠EAD＝360°－135°－135°＝90°，
∴AE⊥AD，AE＝AD．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
2 .教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合．由此即有：
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：PA＝PB．
分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；
（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．
求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）
证明：设直线l，m相交于点O．
（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为　 　．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】（1）证明△PAC≌△PBC即可解决问题．
（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．
（3）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可．
【详解】证明：（1）如图①中，
∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°．
在△PAC和△PBC中，
，
∴△PAC≌△PBC（SAS），
∴PA＝PB．
（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．
∵直线l是边AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
又∵直线m是边BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∴OA＝OC，
∴点O在边AC的垂直平分线n上，
∴直线l、m、n交于点O．
（3）解：如图③中，连接BD，BE．
∵BA＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA＝DB，EB＝EC，
∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，
∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，
∵AC＝15，
∴DE＝AC＝5．
故答案为5．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
CＣ
O
BＢ
AAA
Ｎ
Ｍ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
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