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6.1.1 向量的概念
一、向量的概念
1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2、数量:只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．
【注意】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
二、向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等.
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
三、向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【注意】（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
【注意】
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
四、向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线.
【注意】
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别；
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系；
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
题型一 平面向量的基本概念
【例1】（2023·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
【答案】C
【解析】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.故选：C.
【变式1-1】（2023·山西·高一阳泉市第十一中学校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，
但没有长度，故它们不是向量.故选：A.
【变式1-2】（2023·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【答案】C
【解析】对于A，零向量的模等于零，故A错误；
对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误；
对于C，根据单位向量的定义可C知正确；
对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误.故选：C.
【变式1-3】（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】AD
【解析】根据单位向量的概念知，单位向量的模都相等且为1，故A正确；
根据共线向量的概念知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误；
向量不能够比较大小，故C错误；
根据相等的向量的概念知，两个有共同起点而且相等的向量，
其终点必相同，故D正确. 故选：AD.
题型二 平面向量的几何表示
【例2】（2023·全国·高一假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M
【答案】D
【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D．
【变式2-1】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
（1）终点A在起点O正东方向3m处；
（2）终点B在起点O正西方向3m处；
（3）终点C在起点O东北方向4m处；
（4）终点D在起点O西南方向2m处．
【答案】（1）答案见解析；；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段：
（2）从向西作长度为3m的有向线段：

（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：

（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：
【变式2-2】（2023·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．
（1），点在点的正西方向；
（2），点在点的北偏西方向；
（3）求出的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）3
【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：
（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：
（3）
.
【变式2-3】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
（1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求的模．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，
所以，即D、C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，则，
所以的模为
【变式2-4】（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量,每个小正方形的边长为1．
（1）试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
（2）在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
【答案】（1）图见解析；（2）点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【解析】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，
即，即可得到向量；
（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.
题型三 相等向量与共线向量
【例3】（2023·北京·高一东直门中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
【答案】D
【解析】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确;故选:D．
【变式3-1】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，
所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A
【变式3-2】（2023·湖南益阳·高一安化县第二中学校考阶段练习）（多选）下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反
C．若，则 D．若，，则
【答案】BCD
【解析】若，，则，故A正确；
对于B，当有一个为零向量时不成立，故B错误；
对于C，当与垂直时，可得，但推不出，故C错误；
对于D，当时不成立，故D错误，故选：BCD.
【变式3-3】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D.
【变式3-4】（2023·全国·高一课堂例题）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？
【答案】7个，个.
【解析】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量，
这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等；
与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量，
还有与方向相反且长度相等的向量，
所以与长度相等的共线向量共有（个）.
题型四 平面向量的简单应用
【例4】（2023·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期末）在四边形ABCD中，若，且||=||，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
【答案】B
【解析】若，则AB=DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为||=||，即AC=BD，所以四边形ABCD为矩形.故选：B．
【变式4-1】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
【答案】A
【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；
选项，如图
，但是四边形不是矩形，错误；
选项，若，且，
则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．
选项，若，且，
则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A
【变式4-2】（2022·高一课时练习）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，连接AC，
因为，分别是，的中点，所以为的中位线，
所以，且，
同理，因为，分别是，的中点，所以，且，
所以，且，
因为向量与方向相同，所以.
【变式4-3】（2023·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证：.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，
，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，故.6.1.1 向量的概念
一、向量的概念
1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2、数量:只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等)，称为数量．
【注意】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
二、向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等.
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
三、向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
【注意】（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量.
【注意】
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.
【注意】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
四、向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线.
【注意】
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别；
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系；
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
题型一 平面向量的基本概念
【例1】（2023·海南·高一校考期中）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
【变式1-1】（2023·山西·高一阳泉市第十一中学校考期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-2】（2023·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0
【变式1-3】（2023·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．单位向量的模都相等
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
题型二 平面向量的几何表示
【例2】（2023·全国·高一假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M
【变式2-1】（2023·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
（1）终点A在起点O正东方向3m处；
（2）终点B在起点O正西方向3m处；
（3）终点C在起点O东北方向4m处；
（4）终点D在起点O西南方向2m处．
【变式2-2】（2023·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．
（1），点在点的正西方向；
（2），点在点的北偏西方向；
（3）求出的值．
【变式2-3】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
（1）作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
（2）求的模．
【变式2-4】（2023·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量,每个小正方形的边长为1．
（1）试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
（2）在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
题型三 相等向量与共线向量
【例3】（2023·北京·高一东直门中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
【变式3-1】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-2】（2023·湖南益阳·高一安化县第二中学校考阶段练习）（多选）下列说法不正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，则与的方向相同或相反
C．若，则 D．若，，则
【变式3-3】（2023·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）

A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·全国·高一课堂例题）在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？
题型四 平面向量的简单应用
【例4】（2023·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期末）在四边形ABCD中，若，且||=||，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定
【变式4-1】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
【变式4-2】（2022·高一课时练习）已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：．
【变式4-3】（2023·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
（1）写出与向量共线的向量；
（2）求证：.

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