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前台后库 2008年数列大题难易排序
数列是高考解答题必考的，看看2008年的各地高考试卷，数列占据着重要的位置，有多份试卷用数列作为试卷的压轴大题，算是“镇卷之宝”吧！总体看来，数列在高考试卷解答题中算是居后的位置，起着区分、选拔考生的功能.
1.（江西卷19）（本小题满分12分）
数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.
（1）求；
（2）求证.
解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
【说明】 只要静下心来做，相信一般的学生都可以做出来，考查了等差、等比数列的基础知识.第一问相比而言,比第二问还要复杂一些,求数列{bn}时拐了一道弯，但只要按步骤来，问题会迎刃而解.这对占在三号位置的解答题来说，可以稳定学生的情绪.这也算是江西学生的幸运哦.
2.（全国二20）．（本小题满分12分）
设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
解：（Ⅰ）依题意，，即，
由此得． 4分
因此，所求通项公式为
，．① 6分
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，
，
，
当时，
．
又．
综上，所求的的取值范围是． 12分
【说明】本题主要考查数列通项公式的求法、等比数列前n项和公式以及数列单调性的应用. 作为倒数第三题，在大题中算是占据了中等的地位，起到过渡的作用.比起其他试卷的数列解答题，算是容易题了.
3.（四川卷20）．（本小题满分12分）
设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式.
解：由题意知，且
两式相减得
即 ①
（Ⅰ）当时，由①知
于是

又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由由①得
因此
得
【说明】 这是第一道考查“会不会”的问题．如若不会，对不起，请先绕道走．对大多数考生而言，此题是一道拦路虎．可能比压轴题还让人头痛．原因是两个小题分别考到了两种重要的递推方法．递推数列中对递推方法的考查，有30年历史了，现在只是陈题翻新而已．不过此题对考生有不公平之嫌．大中城市参加过竞赛培训的优生占便宜了．解题有套方为高啊．
4.（山东卷19) (本小题满分12分)
将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：



……
记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．
（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．
解：（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，
所以，
又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
由上可知，．
所以当时，．
因此
（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．
因为，
所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，故在表中第31行第三列，
因此．又，所以．
记表中第行所有项的和为，
则．
【说明】 此题改革了传统数列呈现形式，充分考查了考生采集和处理信息的能力，体现了新课程标准的理念.但其难度并不大.
5.（天津卷20）（本小题满分12分）
在数列中，，，且（）．
（Ⅰ）设（），证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
解：（Ⅰ）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）
　　　　　　　　，
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　　．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
【说明】 本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．
6（辽宁卷21）（本小题满分12分）
在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}、{bn}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．
解：（Ⅰ）由条件得
由此可得
． 2分
猜测． 4分
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即
，
那么当n=k+1时，
．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立． 7分
（Ⅱ）．
n≥2时，由（Ⅰ）知． 9分
故
综上，原不等式成立． 12分
【说明】 本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．第一问中猜测{an}、{bn}的通项公式是问题的瓶颈，这一步能顺利解决，后面应该就不会有问题了.
7.（安徽卷21）（本小题满分13分）
设数列满足为实数
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：;
（Ⅲ）设，证明：
解 (1) 必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明
当时，.假设
则，且
，由数学归纳法知对所有成立
(2) 设 ，当时，，结论成立
当 时，

,由（1）知，所以 且



(3) 设 ，当时，，结论成立
当时，由（2）知

【说明】 考查了数列、充要条件的证明，还有不等式的证明，是一道综合大题。本题在此卷上是难度系数大，体现了高考的选拔性功能的一道题。
8.（全国一22）．（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．
解：（Ⅰ）证明：，
故函数在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，
由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
（Ⅲ）证明：由．可得
若存在某满足，则由⑵知：
若对任意都有，则
，即成立.
【说明】 作为全国卷的压轴题，肯定是有一定难度的，数列只是作为一个载体，其实考查的是函数，导数和不等式的知识为主.
9.（湖南卷18）（本小题满分12分）
数列
(Ⅰ)求并求数列的通项公式；
(Ⅱ)设证明：当
解: (Ⅰ)因为所以

一般地，当时，
＝，即
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列的通项公式为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ①
②
①-②得，

所以
要证明当时，成立，只需证明当时，成立.
证法一
(1)当n = 6时，成立.
(2)假设当时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，
证法二
令，则
所以当时，.因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，
【说明】 数列与三角函数的综合，给我们的考生带来分类讨论的麻烦，第一问要有敏锐的观察力，知道怎么分类这是个得分点，既涉及等差数列，又有等比数列；第二问是数列与不等式的结合，可以多渠道解决。
10.（江苏卷19）. （1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来顺序）是等比数列：
①当n＝4时，求的数值；②求n的所有可能值；
（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．
解：（1）① 先证命题P：若三个数a，b，c既成等差数列、又成等比数列，则它们必为常数数列．
因为若a＋c＝2b，ac＝b2，则，即，∴a＝c，则b＝a＝c．
当n＝4时，即a1，a2，a3，a4是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0．
1）删去a1，则a2，a3，a4成等比数列，由命题P知，a2＝a3＝a4，与d≠0矛盾．
2）删去a2，则a1，a3，a4成等比数列，即a1，a1＋2d，a1＋3d成等比数列，
∴，则＝－4．
3）删去a3，则a1，a2，a4成等比数列，即a1，a1＋d，a1＋3d成等比数列，
∴，则＝1．
4）删去a4，则a1，a2，a3成等比数列，由命题P知，a1＝a2＝a3，与d≠0矛盾．
总之，＝－4或1．
②假设n≥6，则无论删去哪一项，均有原数列中的连续三项既成等差数列，又成等比数列，由命题P知，假设不成立，∴n≤5．
若n＝5，则由命题P知，只可能在等差数列a1，a2，a3，a4，a5中删去a3，使a1，a2，a4，a5成等比数列．
由①中3）知，d＝a1，则a2＝2a1，a4＝4a1，a5＝5a1（a1≠0），但它们不成等比数列．由此可知：n只能为4．
（2）对于一个给定的正整数n（n≥4），设b1，b2，…，bn是一个各项及公差都不为零的等差数列，不妨设bt，bt＋sd，bt＋kd是它们其中的任意三项（1≤t≤n－2，1≤s＜k≤n－t，且t，s，k∈N*），
要使这三项不成等比数列，即不成立，即使不成立．
（由此可见，只要k不能为正整数，可使为小数，或无理数……）
如取d＝1，，∵s2＜n2，∴∈（0，1），则不成立．
以上可见，n2，n2＋1，n2＋2，…，n2＋n－1中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列，即它是一个符合题意的等差数列．
【说明】 第（1）问的解答关键在于认识命题P，这是认识等差数列与等比数列的一个基本问题，其中第②问通过检验而排除n＝5．第（2）问要求考生通过分析构造出符合题意的一种数列，由于平时考生对构造性问题研究相对较少，尽管新课标中倡导培养学生的创造能力，但由于高中数学学习内容较多（理科学生除学习改修1，2，3，4，5外，还须学习选修2系列中的1，2，3三个系列，另外还要在选修4中的4个模块中选修2个），因此，学生的研究性学习的时间较少，此类问题在高考命题中出现，从学生的学习及人的发展来说，确实是一件好的现象。这也说明，要使学生的学习在“质”上有所飞跃，我们还必须考虑如何在“数”上有所控制。
11.（陕西卷22）（本小题满分14分）
已知数列的首项，，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的，，；
（Ⅲ）证明：．
解法一：（Ⅰ），，，
又，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有
．
取，
则．
原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设，
则
，
当时，；当时，，
当时，取得最大值．
原不等式成立．
（Ⅲ）同解法一．
【说明】 数列、不等式、导数三者合一的解答题，又是陕西卷的压轴题，当然不会那么轻易得分。第一问求通项公式就给学生制造了障碍，而后两问，是紧扣前一问的，所以第一问没有做出来，后面的分数也得不到.
12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
　　　设各项均为正数的数列{an}满足.
（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想an的值（不需证明）；
（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.
解：(Ⅰ)因

由此有，故猜想的通项为

（Ⅱ）令
由题设知x1=1且
①

②
因②式对n=2成立，有
③
下用反证法证明：
由①得
因此数列是首项为，公比为的等比数列.故
④
又由①知
因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以
⑤
由④-⑤得
⑥
对n求和得
⑦
由题设知

即不等式22k+1＜
对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.
因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=
将x2=代入⑦式得
Sn=2－(nN*),
所以bn=2Sn=22－(nN*)
【说明】 此题结合函数、不等式考查数列的通项，过程复杂，估计一般的考生不会得分.
13.（浙江卷22）（本题14分）
已知数列，，，．记．
．
求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）。
解：（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为
，
所以．
即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），
得．
因为，所以．
由及得， 所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，
又因为， 所以．
【说明】 本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．
14.（广东卷21）．（本小题满分12分）
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．
解：（1）由求根公式，不妨设，得
，
（2）设，则，
由得，
消去，得，是方程的根，由题意可知，
①当时，此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得,,
两式相减，得
，，
，
，即，
②当时，即方程有重根，，
即，得，不妨设，由①可知
，，
即，等式两边同时除以，得，即
数列是以1为公差的等差数列，,
综上所述，
（3）把，代入，得，解得

【说明】 命题者将方程，函数，数列结合在一起考查，涉及字母多，要有清醒的头脑，才能理顺其的关系。解题中要用函数方程思想、分类讨论思想。得满分者不多.
15.（湖北卷21）(本小题满分14分)
已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有
?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以｛an｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1= -(λ+18),所以
当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：
当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a即a<-(λ+18)·［1－（－）n］ ①
当n为正奇数时，1∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+18),<
当a当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a【说明】 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力.作为湖北卷的压轴题，难倒了一大批的学生，起到了它应有区分选拔功能.