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(共18张PPT)
第三十章 二次函数
第1课时
30.4 二次函数的应用
合作探究
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学习目标
课堂总结
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1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．
2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重点)
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如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
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探究一：运动抛物线型问题
小组讨论：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？
问题探究：
1.投篮中，篮球的运动轨迹类似于 ；
抛物线
2.联系二次函数相关知识，解决本题突破点在于？
建立平面直角坐标系，将关键点坐标表示出来.
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问题解决：
解：如图，建立直角坐标系.
x
y
O
则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
以点C表示运动员投篮球的出手处.
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解得
a=－0.2，
k=3.5，
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=ax2+k.
所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.
2.25a+k=3.05，
k=3.5，
x
y
O
而点A，B在这条抛物线上，所以有
故该运动员出手时的高度为2.25m.
当x=－2.5时，y=2.25 .
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归纳总结：
解决运动中的抛物线问题
(1)分析并建立恰当的直角坐标系．
(2)实际特殊位置准确地转化成点的坐标．
(3)根据题目中所给的条件求解．
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练一练：
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.
4
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探究二：拱桥问题
小组讨论：拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？
问题1：建立函数模型，这应该是什么函数？
问题2：怎样建立平面直角坐标系较为简单？
问题探究：
拱桥的纵截面是抛物线，应该是二次函数.
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系．
1
-2
-1
2
y
O
-1
-2
1
2
x
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问题3：如图，这是什么形式的二次函数？
由于顶点坐标系是（0，0），因此这个二次函数的形式为y=ax2
问题4：如何确定a的值？
问题解决：
因此，y= x ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们可以了解到水面宽变化时，拱顶离水面高度怎样变化.
水面宽4米时，拱顶离地面2米，则点A（2，-2）在抛物线上，-2=a·2 ，解得a= ，
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由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45
问题5：现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？
问题解决：
水面宽3m时，x= ，
从而y= ，
因此拱顶离水面高1.125m.
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归纳总结：
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
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练一练：
2.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；
O
A
C
D
B
y
x
20 m
h
解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.
∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
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1.如图，一桥拱呈抛物线形，桥的最大高度是16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心M处5 m的地方，桥的高度是_______m.
15
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2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离
x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点
离地面的距离为 米.
2
x
y
O
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3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？
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O
B
C
A
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点.由题意可知A（ 0，1.25）、B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
x
y
设抛物线为y=a(x-1)2+2.25 (a≠0),
点A坐标代入，得a=-1；
当y=0时，x１=-0.5（舍去），x2=2.5
∴水池的半径至少要2.5米.
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
1.25
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实际问题
数学模型
转化
回归
（二次函数的图像和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（实物中的抛物线形问题）
转化的关键
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.

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