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（3）不等式—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之填空题
方法技巧
1.解含参数的一元二次不等式的步骤：
（1）二次项若含有参数应讨论参数与0的关系，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；
②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式与0的关系；
③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.
2.利用基本不等式求最值的方法
（1）拆（裂项拆项）：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件；
（2）并（分组并项）：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
（3）配（配式配系数，凑出定值）：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值；
（4）换（常值代换、变量代换）：对条件变形，以进行“1”的代换，从而构造利用基本不等式求最值的形式.
1.已知正实数x,y满足,则的最小值为______.
2.若不等式对一切恒成立,则a的取值范围是____________.
3.已知,,,则的最小值为_______________.
4.已知函数,若方程有解,则实数m的取值范围是______________.
5.若,且,的最小值为m,的最大值为n,则mn为___________,
6.下列命题中：
①若,则的最大值为;
②当,时,;
③的最小值为;
④当且仅当均为正数时,恒成立.
其中是真命题的是______________.(填上所有真命题的序号)
7.已知a,,且,,则的最小值为________,的最小值为________..
8.已知，且，则的最小值为_________.
9.若，，则的最小值为__________.
10.已知关于x的不等式的解集是空集,则实数a的取值范围是__________.
11.已知，，若，则的最小值为_________.
12.已知正实数a，b满足，则的最小值为_________.
答案以及解析
1.答案：8
解析：因为,,所以,即,当且仅当,时,等号成立,
所以.
即的最小值为.
故答案为:
2.答案：
解析：当,即时,恒成立,
当时,因为不等式对一切恒成立,
所以,解得,
综上,,
即a的取值范围是.
故答案为：.
3.答案：
解析：
（当且仅当,即,时取等号）,
的最小值为.
故答案为：.
4.答案：
解析：由题意得：有解
令,则
有解,即有解,显然无意义
,令
,当且仅当,即时取等,
故答案为：.
5.答案：
解析：由可得,
由可得,,
所以
,
当且仅当,时,等号成立；
即的最小值为；
,
所以,即；
当且仅当,时,等号成立；
即的最大值为；
所以.
故答案为：.
6.答案：①②
解析：①若,则的最大值为
,正确
②当时,
,时等号成立,正确
③的最小值为,
取 错误
④当且仅当a,b均为正数时,恒成立
a,b均为负数时也成立.
故答案为①②
7.答案：,9
解析:因为,所以,因,故.
,当时,有最小值且为.
,故
,
当且仅当时等号成立,故的最小值为9.
综上,填,9.
8.答案：3
解析：
，
当且仅当即时，等号成立.
9.答案：
解析：方法一：，当且仅当即时取等号.
方法二：，当且仅当，即时取等号.
方法三：
，
当且仅当即时取等号.
10.答案：
解析:由题意知恒成立,
当时,不等式化为,显然恒成立;
当时,则,即,
综上实数a的取值范围是,
故答案为.
11.答案：4
解析：由题知，因为，，
所以，设，
故不等式化为，解不等式得（舍）或，
故，即.
12.答案：/
解析：由题设，，则，
又，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立.
的最小值为.
故答案为：.

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