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（8）空间向量与立体几何—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之填空题
方法技巧
1.求空间几何体的表面积的方法
（1）求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平
面图形面积的方法求多面体的表面积.
（2）求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.
（3）求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.
2.求异面直线所成角的方法
（1）平移法：平移的方法一般有三种类型：①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；③补形平移.
（2）向量法：设异面直线a，b的方向向量分别为a，b，则异面直线a，b所成角的余弦值等于，再结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角.
（3）坐标法：建立空间直角坐标系求解.
3.判定平面与平面平行的方法
（1）利用定义，常用反证法完成.
（2）利用面面平行的判定定理.
（3）利用面面平行的判定定理的推论.
（4）面面平行的传递性.
（5）利用线面垂直的性质.
（6）用向量法证明平面与平面平行.
4.证明线面垂直的常用方法
（1）利用线面垂直的判定定理.
（2）利用面面垂直的性质定理.
（3）利用面面平行的性质.
（4）利用垂直于平面的传递性.
1.设x，，向量，，，且，则________.
2.已知直三棱柱中,,,D,E分别为棱,AB的中点,过点,D,E作平面将此三棱柱分成两部分,其体积分别记为,,则_______;平面截此三棱柱的外接球的截面面积为_______.
3.如图,某款酒杯容器部分为圆锥,且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块,要求冰块高度不超过酒杯口高度,则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________.
4.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，，若，和都是正三角形，且，则异面直线AE与CF所成角的大小为__________.
5.如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为_________.
6.已知边长为1的正方体，M为BC的中点，N为平面上的动点.若，则三棱锥的体积的最小值为__________.
7.如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得，且这样的点P有两个；
②的面积越来越小；
③四面体的体积不变.
所有正确的结论的序号是____________.
8.已知三棱锥中，平面ABC，，，则三棱锥外接球的体积为__________．
9.在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，.已知G与E分别为与的中点，D与F分别为线段AC与AB上的动点(不包括端点).若，则线段DF长度的最小值为____________.
10.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动(不与A，B重合)，平面ABC，若，二面角等于，则三棱锥体积的最大值为____________．
11.在正三棱锥中,,D是PC的中点,且,则该三棱锥内切球的表面积为________.
12.已知图(1)中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把，，，向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图(2)所示的多面体，则以下结论正确的是___________(写出所有正确结论的序号).
①是正三角形；
②平面平面CGH；
③直线CG与平面AEF所成角的正切值为；
④当时，多面体的体积为.
答案以及解析
1.答案：3
解析：因为，，，且，，
所以，解得，
所以，得.
故答案为：3.
2.答案：,
解析:取AC中点,取中点F,连EF,DF,
平面为平面,,
,,
三棱锥外接球半径,
如下图建系,,,,,
设平面的法向量,
,,不妨设,则,
球心到平面距离,
,.
故答案为:,
3.答案：/
解析:设圆锥底面圆的半径为Rcm,圆柱形冰块的底面圆半径为xcm,高为hcm,由题意可得,,解得,,设圆柱形冰块的体积为,则.设,则.当时,;当时,.所以在处取得极大值,也是最大值,,故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为.
故答案为:
4.答案：
解析：方法一(建系法)如图，以矩形ABCD的中心O为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.设，则，，，，，，所以，，所以，所以，所以异面直线AE与CF所成的角为.
方法二：如图，在平面ABFE中，过点F作交AB于点G，连接CG，则或其补角为异面直线AE与CF所成的角.设，则，.因为，，所以四边形AEFG为平行四边形，所以，，.又，所以，又，所以，所以，即异面直线AE与CF所成的角为.
5.答案：
解析：连接AG，BG，因为，的值不变，所以当EF垂直CD时，三棱锥的体积最大.设下底面中心为O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.设平面BEF的一个法向量为，则可得令，则.设直线AC与平面BEF所成角为，则.
6.答案：
解析：以D为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，.设，，，所以，.又，所以，即，所以，，所以，所以.所以三棱锥的体积的最小值为.
7.答案：②③
解析：如图，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，.设，则，，所以，.令，解得，所以存在唯一一个点P，使得，故①错误.又，所以，所以直线的一个单位方向向量.设点P到直线距离为d，则，所以.
因为，动点P沿着棱DC从点D向点C移动，即m从0逐渐变到2，随着m的变大，变小，所以的面积越来越小，故②正确.求四面体的体积时，以为底面，高为点P到上底面的距离h.因为底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，故③正确.
8.答案：
解析：因为，，
所以在中，根据余弦定理可得：，
即，
所以，所以．
所以底面是顶角为的等腰三角形．
由题意将三棱锥补成如图所示的直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圆圆心连线的中点上．
设外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R，
由正弦定理得，，所以
，．
所以三棱锥外接球的体积为．
9.答案：
解析：如图，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，.
设，，
则，.
因为，所以，由此推出.
又，
，
从而有.
10.答案：
解析：因为C在半圆上，为直径，所以，因为平面，所以，又因，所以面，所以，所以二面角的平面角为，设的长度为，则在直角三角形中，，同理可得，所以三棱锥体积，令，则，令，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取最大值，即取最大值.
11.答案：
解析:如图,
取AC的中点E,连接PE,BE.
因为三棱锥为正三棱锥,所以,,又E是AC的中点,所以,,又,PE,平面PBE,所以平面PBE,又平面PBE,所以,又,,AC,平面PAC,所以平面PAC,又PA,平面PAC,A所以,,又,,所以,所以,所以.设正三棱锥的内切球的半径为R,所以,即,解得,所以该三棱锥内切球的表面积.
12.答案：①③
解析：分别取CD，AB的中点O，M，连接OH，OM.
在题图(1)中，因为A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，所以.又因为O为CD的中点，所以.因为平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD.在题图(1)中，设正方形EFGH的边长为，则四边形ABCD是边长为2a的正方形.因为O，M分别为CD，AB的中点，所以且.又，所以四边形BCOM为矩形，所以.以O为原点，OM，OC，OH所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，所以，，.对于(1)，易得，所以是正三角形，故①正确.对于②，设平面AEF的法向量为，则取，得.易得，.设平面CGH的法向量为，则取，得.所以，所以平面AEF与平面CGH不垂直，故②错误.对于③，因为，设直线CG与平面AEF所成的角为，则，所以，则，故③正确.对于④，以四边形ABCD为底面，以OH为高将几何体补成长方体，如图，则E，F，G，H分别为，，，的中点.因为，即，所以1，所以长方体的体积.易知，所以多面体的体积，故④错误.

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