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（9）平面解析几何—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之填空题
方法技巧
1.与直线方程相关问题的常见类型及解题策略
（l）求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
（2）求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.
2.过一点的圆的切线问题的求解方法
（1）若点在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为-1，由点斜式方程可求出切线方程；斜率不存在时，则根据图形可直接写出切线方程.
（2）若点在圆外，可采用几何法和代数法两种方法来求.
几何法：当斜率存在时，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程.
代数法：当斜率存在时，将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，根据判别式求出斜率，即可得出切线方程.
3.与椭圆性质有关的最值或取值范围的求解方法
（1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围.
（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围.
（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.
4.求解与双曲线性质有关的范围（或最值）问题的方法
（1）几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
（2）代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围（或最值）问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围（或最值）问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.
（3）不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.
5.利用抛物线的定义可解决的常见问题
（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；
（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用.
1.设与相交于两点,则_______.
2.已知点P为抛物线上的动点,直线,点T为圆上的动点,设点P到直线l的距离为d,则的最小值为______________.
3.已知直线与曲线有且只有一个公共点,则k的取值范围为__________．
4.已知双曲线的左,右焦点分别是,,点M为双曲线上一点,若M到原点的距离,则的面积是___________.
5.已知抛物线的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为的直线交C的准线于点Q，R为准线上异于Q的一点，当时，___________.
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________.
7.已知点A是焦点为F的抛物线上的动点,且不与坐标原点O重合,线段OA的垂直平分线交x轴于点B.若,则________.
8.抛物线的焦点为F,直线l过点F且与抛物线交于点M,N（点N在x轴上方）,点E为坐标轴上F右侧的一点,已知,,若点N在双曲线的一条渐近线上,则双曲线的离心率为______________.
9.已知F是椭圆的右焦点,P是椭圆E上一点,Q是圆上一点,则的最小值为________,此时直线PQ的斜率为________.
10.双曲线（，），P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围_________.
11.直径为4的球放地面上,球上方有一点光源P,则球在地面上的投影为以球与地面的切点F为一个焦点的椭圆.若椭圆的长轴为,垂直于地面且与球相切,,则椭圆的离心率为_____________.
12.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,过点的直线与抛物线交于A,B两点,若,则________.
答案以及解析
1.答案：
解析:将和两式相减:
得过A,B两点的直线方程:,
则圆心到的距离为,
所以,
故答案为:
2.答案：
解析：抛物线的焦点为,准线为直线,
圆的圆心,半径,
由抛物线的定义知,,则,
当P,F,M三点共线时,取最小值为.
3.答案：
解析：由,即,
所以直线l过定点,
由,即,
所以曲线为原点为圆心,3为半径的上半圆,
如图所示,设与曲线相切于点C,
曲线与x轴负半轴交于点,
则,
由,解得,可得,
要使直线与曲线有且只有一个公共点,
则或,
即k的取值范围为.
故答案为：．
4.答案：16
解析:由题意可得双曲线的实轴长为6,虚轴长为8,焦距为10.因为,故M在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得,两边平方得.
,又在中,由余弦定理可得
,
又,故,即,则的面积是.
5.答案：
解析：如图，过点P作PR垂直于准线，垂足为R，又，所以PQ为的平分线，又Q是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则点P在第一象限内，而，且，
根据角平分线性质知，令且，则直线PQ的方程为，令，则，所以，又，所以，整理可得，则，故.
6.答案：
解析：由题意，不妨设点P在第一象限，如图.因为，所以，，.
因为，所以，所以，则，即，整理得.由，得，解得或（舍去），所以C的离心率为.
7.答案：3
解析:设,,
,即,整理得:.
又,即C为线段AF的中点,.
.
故答案为:3.
8.答案：
解析：过M,N分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为P,Q,
过M作于G,如图所示：
设,
由抛物线定义知,,
所以,
因此在中,,
又NQ平行于x轴,
所以,
故为正三角形,
,
解得,
又在抛物线上,
所以（舍）或,
所以在上,
则,又,
所以,
即,
又,故.
故答案为：.
9.答案：,1
解析:如图,由题可知,圆C的圆心坐标为,半径为1,设椭圆E的左焦点为.
椭圆中,,,则,当,P,Q,C四点共线时,等号成立,此时直线PQ的斜率为.
故答案为:,1
10.答案：
解析：由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，
设，可得点P到两条渐近线的距离分别为，，
因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，
可得，
又由，可得，所以，
即，即，所以，当且仅当时等号成立，
所以双曲线的半焦距c的取值范围.
故答案为：.
11.答案：
解析：依题意,平面截球O得球面大圆.
如图,是球O大圆的外切三角形,
其中,切圆O于点E,F,显然,
而,则,
又,则,
由圆的切线性质知.
在中,,则,于是得椭圆长轴长,
即.
又F为椭圆的一个焦点,令椭圆的半焦距为c,即,因此,
所以椭圆的离心率.
故答案为：.
12.答案：8
解析:由题意得,,,当直线l的斜率为0时,与抛物线只有1个交点,不合要求,
故设直线l的方程为,不妨设,
联立,可得,易得,
设,,则,,
则,,
则,
,
由正弦定理得,,
因为,,
所以,,即,
又由焦半径公式可知,
则,即,
即,解得,
则,,解得,
故,
当时,同理可得到.
故答案为:8

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