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（5）三角函数与解三角形—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之选择题
方法技巧
1.三角函数定义问题的常见类型及解题策略
（1）已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解.
（2）已知角的某个三角函数值，求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.
（3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
2.解决三角函数的图象变换问题的基本方法
（1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，井且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么要先把x的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向.
（2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解.
（3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数，的图象与x轴的交点（如图象上升时与x轴的交点），其分别为，（，），则由的值可判断出左右平移的情况，由的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.
3.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤
（1）找条件.寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.
（2）定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化.
（3）求结果，根据前两步的分析，代入求值得出结果.
（4）反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.
1.函数的图像如图所示,图中阴影部分的面积为,则( )
A. B. C. D.
2.设a,b,c分别是中内角A,B,C的对边,且,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.英国化学家,物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人,卡文迪许是从小孩玩的游戏(用一面镜子将太阳光反射到墙面上,我们只要轻轻晃动一下手中的镜子,墙上的光斑就会出现大幅度的移动,如图1)得到灵感,设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力,由此计算出地球质量,他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球,中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上,钢丝上有个小镜子,用激光照射镜子,激光反射到一个很远的地方,标记下此时激光所在的点,然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球(如图2),由于万有引力作用,根秤微微偏转,但激光所反射的点却移动了较大的距离,他用此计算出了万有引力公式中的常数G,从而计算出了地球的质量.在该实验中,光源位于刻度尺上点P处,从P出发的光线经过镜面(点M处)反射后,反射光线照射在刻度尺的点Q处,镜面绕M点顺时针旋转a角后,反射光线照射在刻度尺的点处,若是正三角形.,(如图3),则下列等式中成立的是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象向右平移个单位长度后,所得的函数为偶函数,则的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.若,为锐角,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.若函数在的大致图象如下图，则( )
A. B. C. D.1
7.已知定义在R上的奇函数满足,当时,．若函数在区间上有5个零点,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数是奇函数,,若关于x的方程在有两个不相等实根,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知符号函数,函数满足,当时,,则( )
A. B.
C. D.
10.（多选）已知函数,则( )
A.的最小正周期为
B.图象的一条对称轴为直线
C.当时,在区间上单调递增
D.存在实数m,使得在区间上恰有2023个零点
11.（多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则( )
A.
B.的图象关于直线对称
C.
D.在上的值域为
12.（多选）已知,,若与图像的公共点个数为n,且这些公共点的横坐标从小到大依次为,,…,,则下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
答案以及解析
1.答案：A
解析：如图,①和②面积相等,故阴影部分的面积即为矩形的面积,可得,
设函数的最小正周期为T,则,
由题意得,解得,故,得,即,
的图象过点,即,
,则,
,解得.
.
故选:A
2.答案：B
解析：由得,所以,
由正弦定理得,
,
所以2.
故选:B.
3.答案：C
解析:过点M作,因为是正三角形.,,
则,,
所以
则,解得
故选:C
4.答案：B
解析：,其中,
函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数为偶函数,
则当时,,,
即,则,,
,
即,
因为,所以,,
所以,
当,即时,等号成立,
所以的最小值为4.
故选:B
5.答案：A
解析:因为,
所以
,
所以,
即,得,
由于,为锐角,所以,所以,
当且仅当时等号成立,
所以的最小值为.
故选:A
6.答案：A
解析：设函数的最小正周期为T，
由图象可得：，即，
可得，解得，
则，所以.
故选：A.
7.答案：A
解析：由,,联立可得：,
即函数图象关于点对称,
由可得为周期函数,且周期为2,
的周期为2,关于点,对称,
由图象知：与在上有4个交点,其交点横坐标分别为,,,,
所以若函数在区间上有5个零点,
则,
故选：A.
8.答案：C
解析:易知,解得,且,
,由,得,当时,取得最大值,当时,
取得最小值,当时,为,因为有两个不相等实根,故.
故选:C.
9.答案：C
解析：对选项A：,错误;
对选项B：,函数周期为,,错误;
对选项C：,正确;
对选项D：取,,,不正确.
故选：C
10.答案：BCD
解析：对于A,,
故
,即为的一个周期,
说明不是的最小正周期,A错误;
对于B,
,,
故图象的一条对称轴为直线,B正确;
对于C,当时,,则,
由于正弦函数在上单调递增,且,
故在上单调递增,且,
此时,
而在上单调递减,则在上单调递增,
故在上单调递增,C正确;
对于D,由A可知即为的一个周期,且的最小正周期为,
故的最小正周期为,
当时,,
当时,,则在上的零点为和,
故当时,恰有个零点,
且第2024个零点为,
故当时,恰有个零点,
即存在实数m,使得在区间上恰有2023个零点,D正确,
故选:BCD
11.答案：AC
解析：由图像可知，，，
故A正确；
从而，
又由，，
因为，所以，
从而，故C正确；
因为，
所以不是的对称轴，故B错误；
当时，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以，
故，即，
从而，
即在上的值域为，故D错误.
故选：AC.
12.答案：BC
解析:对于A,当时,如下图,
则,,所以,又图像关于对称,
结合图像有,即有,故A错误;
对于B,当时,如下图,
易知在,且,与图像相切,
由当时,,则,,
故,从而,
所以,故B正确;
对于C,令,显然有,即是方程的一个根,又易知,是偶函数且,因为,所以时,没有零点,令,则,当时,,又过原点,当时,是在原点的切线,如图,
所以时,,故C正确;
对于D,当时,由,
与的图像在y轴右侧的前1012个周期中,每个周期均有2个公共点,共有2024个公共点,故D错误.
故选:BC.

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