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（6）平面向量—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之选择题
方法技巧
1.向量线性运算的解题策略
（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.
（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.
2.求非零向量a，b的数量积的方法
（1）定义法：已知或可求两个向量的模和夹角.
（2）基底法：直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底（基底中的向量要已知模或夹角），利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.
（3）坐标法：已知或可求两个向量的坐标；已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积.
3.解决向量在平面几何中的应用问题的方法
（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决.
（2）基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.
1.已知向量,,则向量与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2.若向量,满足,,,则( )
A.2 B. C.1 D.
3.已知为等比数列且各项均不为0，向量，，，且，则( )
A.4 B.2 C.8 D.6
4.已知平面单位向量,,满足,则( )
A. B. C. D.
5.正方形ABCD边长为4,M为CD中点,点N在AD上,,则( )
A. B. C.5 D.10
6.在中,点D是边BC的中点,且,点E满足,则的最小值为( )
A.-10 B.-8 C.-6 D.-4
7.已知，，若，则向量a在b上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在中,D为BC的中点,,,EF与AD交于G,,则( )
A. B. C. D.
9.已知平面单位向量,,满足,则( )
A.0 B.1 C. D.
10.（多选）有下列说法,其中正确的说法为( )
A.,为实数,若,则与共线
B.若,,则在上的投影向量为
C.两个非零向量,,若,则与垂直
D.若,,分别表示,的面积,则
11.（多选）平面向量满足,对任意的实数t,恒成立,则( )
A.与的夹角为 B.为定值
C.的最小值为 D.在上的投影向量为
12.（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理:已知O是内一点,,,的面积分别为,,,且.设O是锐角内的一点,,,分别是的三个内角,以下命题正确的有( )
A.若,则
B.若,,,则
C.若O为的内心,,则
D.若O为的垂心,,则
答案以及解析
1.答案：D
解析：由,,
则,,
所以,,,
设向量与的夹角为,则.
故选:D
2.答案：B
解析：因为,,故,即,.
又,故,故.
故.
故选:B
3.答案：C
解析：由得，又为等比数列，所以，
得.由得，即，所以，故选C.
4.答案：D
解析：由可知,两边同时平方得,,
故.
故选：D.
5.答案：C
解析:设,
因为,,
因为正方形ABCD边长为4,,
所以,解得,
所以,
故选:C
6.答案：B
解析：因为,所以,
又,所以点E在线段AD上,所以.
设,所以,
当且仅当时,等号成立,所以的最小值为-8.
故选B.
7.答案：B
解析：，，.，，解得，，向量a在b上的投影向量为.故选B.
8.答案：B
解析：由题设,,
又,且,
所以,即,解得.
故选：B.
9.答案：C
解析:如图,设,,
因为,所以平行四边形OCDB为菱形,
则为正三角形,所以,且,反向,
所以,所以,
因为,
所以,
故选:C.
10.答案：BCD
解析:对于A,当时,很显然,但是与不共线,故A错误;
对于B,因为在上的投影向量为
故B正确;
对于C,因为向量,为非零向量,且,
即,故与垂直,即C正确;
对于D,如图所示取AC中点为D,则,
由,可知,
所以O,B,D三点共线,且,故,故D正确.
故选:BCD.
11.答案：AD
解析：设平面向量与的夹角为,
因为对任意的实数t,恒成立,
即恒成立,又,
也即对任意的实数t恒成立,
所以,则,所以,
故选项A正确;
对于B,因为随t的变化而变化,故选项B错误;
对于C,因为,由二次函数的性质可知：当时,取最小值,故选项C错误;
对于D,向量上的一个单位向量,由向量夹角公式可得：,
由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为,故选项正确,
故选：AD.
12.答案：AD
解析:对于A,由奔驰定理可知,若,则,选项A正确;
对于B,在中,由,,可知,,
又,
,则,,
,选项B错误;
对于C,由奔驰定理可知,,O为三角形内心,设内切圆半径为r,故,,,则.
为锐角三角形,故C错误
对于D,如图,延长AO交BC于点D,延长BO交AC于点E,延长CO交AB于点F,
,由奔驰定理可知,,
根据题意O为的垂心,,设,,
同理,设,则,
,可得,,
,故D正确.

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