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（7）数列—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之选择题
方法技巧
1.利用等差数列前n项和解决实际问题的步骤：
（1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列；
（2）若是等差数列，找出首项、公差、项数；
（3）确认问题是求还是；
（4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解.
2.等比数列基本运算中的常用技巧：
（1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为（注意：此时公比，并不适合所有情况）.这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.
（2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时还要注意合理运用.
3.数列与不等式的综合问题的解题策略
（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.
（2）对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，有时需构造函数，利用函数的单调性，最值来证明.
4.解答数列实际应用题的步骤
（1）审题：仔细阅读题目，认真理解题意.
（2）建模：将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，分清数列是等差数列、等比数列，还是递推数列，是求通项还是求前n项和.
（3）求解：求出该问题的数学解.
（4）还原：将所求结果还原到实际问题中.
1.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一个数列,2,3,5,8,其中从第3项起,每一项都等于它前面两项之和,即,,这样的数列称为“斐波那契数列”若,则( )
A. B. C. D.
2.等比数列前n项和为,若,,则( )
A.488 B.508 C.511 D.567
3.已知公差不为零的等差数列满足:,且,,成等比数列,则( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前n项和为,且,设,若数列是递增数列,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若，且对任意正整数n，均有，则称一个复数数列为“有趣的”.若存在常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有，则C的最大值为( )
A. B.1 C. D.
6.我们打开购物平台时,会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品,这是电商平台推送的结果.假设电商平台第一次给某人推送某商品,此人购买此商品的概率为,从第二次推送起,若前一次不购买此商品,则此次购买的概率为;若前一次购买了此商品,则此次仍购买的概率为,记第n次推送时不购买此商品的概率为,当时,恒成立,则M的最小值为( )
A. B. C. D.
7.等比数列中,,数列,的前n项和为,则满足的n的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.已知为数列的前n项和,且,,则( )
A. B. C. D.
9.若不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
10.（多选）设数列的前n项和为,已知,且,则下列结论正确的是( )
A.是等比数列 B.是等比数列
C. D.
11.（多选）已知各项都是正数的数列的前n项和为,且,则( )
A.是等差数列
B.当或16时,的前项和最小
C.
D.
12.（多选）已知直线与相交于点P,直线与x轴交于点,过点作x轴的垂线交直线于点,过点作y轴的垂线交直线于点,过点作x轴的工线交直线于点,…,这样一直作下去,可得到一系列点,,,,…,记点的横坐标构成数列,则( )
A.点
B.数列的前n项和满足:
C.数列单调递减
D.
答案以及解析
1.答案：C
解析:由从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,,
由,得,所以,,,,
将这个式子左右两边分别相加可得:,所以.
所以.
故选:C.
2.答案：C
解析：根据等比数列的性质知,,成等比,因为,所以,则.
故选:C
3.答案：A
解析:设等差数列的首项为,公差为d,
则,,
因为成等比数列,所以,即,
因为,所以,
所以.
故选:A
4.答案：C
解析：当时,,解得;
当时,由,得,两式相减得,
所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,
所以.因为数列是递增数列,所以对于任意的恒成立,
即,即恒成立,因为时,取得最小值3,故,
即的取值范围是.
故选C.
5.答案：C
解析：由题意得，，
所以，从而，所以数列为等比数列，故
进而有
令，
当m为偶数时，设，
则；
当m为奇数时，设，
故
综上可得C的最大值为，
故选：C.
6.答案：A
解析:由题意知,第n次推送时不购买此商品的概率,
所以,
所以是首项为,公比为的等比数列,
所以,即,
显然单调递减,所以当时,,
所以即M的最小值为.
故选:A
7.答案：A
解析:由题意得,所以,
所以,
令,整理得,解得,
故选:A.
8.答案：D
解析：由得,.
又
所以为首项为-1,公比为-1的等比数列,所以
即,
所以
.故选D.
9.答案：B
解析:（1）当n为偶数时,恒成立,即转化为恒成立,
而数列是递增数列,故时,,故;
（2）当n为奇数时,恒成立,即,转化为恒成立,
而数列是递增数列,n为奇数时,,故;
综上可得a的范围为.
故选:B.
10.答案：BC
解析:由题意得,故是首项为2,公比为2的等比数列,
,则.故B,C正确,A错误
,
,
两式相减得:,故D错误.
故选:BC
11.答案：ABD
解析:已知,
对于A,,,解得:,
时,
整理得:,
故是等差数列,选项A正确;
对于B,,则,
令,则数列的通项公式为,
,,其前15项均为负数,
因此,当或16时,数列的前n项和最小,选项B正确;
对于C,,选项C错误;
对于D,令,,则,
在单调递增,,
则,即,选项D正确;
故选:ABD.
12.答案：AD
解析:由题可知,,,,故A正确;
设点,则,
故,即有,
,
故是以1为首项,为公比的等比数列,,
,
可得,故选项B错误;
对于数列有:,
故数列单调递增,选项C错误;
由两直线交点和点可得:,故D正确
故选:AD.

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