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（9）平面解析几何—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之选择题
方法技巧
1.与圆有关的轨迹方程问题的求解方法
（1）直接法：当题目条件中含有与动点有关的等式时，可设出动点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
（2）定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
（3）代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与动点的关系，代入动点满足的关系式求轨迹方程.
2.直线与椭圆相交的弦长问题的求法
（1）直线斜率不存在时的弦长问题：若直线斜率不存在，可以直接将直线方程
（一般方程中带有字母参数）代人椭圆方程，得交点坐标，进而求相交弦问题.直接求解此类问题的情况较少，一般是在求直线方程的有关问题中，分类讨论此种情况.注意在解答时不要漏解，同时注意检验是否符合题意.
（2）直线斜率存在时的弦长公式：若直线斜率存在，直线方程为，与椭圆的两个交点为，，则相交弦长[其中A为的系数].
3.解决与双曲线性质有关的范围（或最值）问题时的注意点
（1）双曲线上本身就存在最值问题，如异支双曲线上两点间的最短距离为2a（实轴长）；
（2）由直线和双曲线的位置关系，求直线或双曲线中某个参数的范围，常把所求参数作为函数中的因变量来求解；
（3）所构建的函数关系式中变量的取值范围往往受到双曲线中变量范围的影响.
4.圆锥曲线中的最值问题的求解方法
（1）几何转化代数法：将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解，常见的几何图形所涉及的结论有：①两圆相切时半径的关系；②三角形三边的关系式；③动点与定点构成线段的和或差的最小值，经常在两点共线时取到，注意同侧与异侧；④几何法转化所求目标，常用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等.
（2）函数最值法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数（通常为二次函数），再求这个函数的最值，求函数的最值常见的方法有配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法、三角换元法.
1.直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为( )
A. B. C. D.
2.已知直线和,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设F为抛物线的焦点,点M在C上,点N在准线l上,满足,,则( )
A. B. C.2 D.
4.已知双曲线的左,右焦点分别为,,以为圆心的圆与x轴交于,B两点,与y轴正半轴交于点A,线段与C交于点M.若与C的焦距的比值为,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知圆，椭圆，过C上任意一点P作圆C的切线l，交于A，B两点，过A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点Q，则（O为坐标原点）的最大值为( )
A.16 B.8 C.4 D.2
6.已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为,过点且斜率为-1的直线与C相交于A,B两点,若P恰好是AB的中点,则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为( )
A.6 B. C. D.
7.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
8.设,是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上,延长交椭圆C于点Q,且,若的面积为,则( )
A. B. C. D.
9.青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P，盘子的中心为O，筷子与大椭圆的两交点为A、B，点A关于O的对称点为C.给出下列四个命题：
①两椭圆的焦距长相等；
②两椭圆的离心率相等；
③；
④与小椭圆相切.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.（多选）若曲线,且a,b分别是1与9的等差中项与等比中项,则下列描述正确的是( )
A.曲线C可以表示焦点在x轴的椭圆
B.曲线C可以表示焦距是的双曲线
C.曲线C可以表示离心率是的椭圆
D.曲线C可以表示渐近线方程是的双曲线
11.（多选）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中,我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方,面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建,是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示,山脚A,B两点和敌方阵地D点在同一条直线上,某炮弹的弹道DCE是抛物线的一部分,其中在直线AB上,抛物线的顶点C到直线AB的距离为100米,DE长为400米,,,建立适当的坐标系使得抛物线的方程为,则( )
A.
B.的准线方程为
C.的焦点坐标为
D.弹道CE上的点到直线AC的距离的最大值为
12.（多选）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得,阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,的距离之比为定值(,且)的点的轨迹是圆,此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中,,,点P满足.设点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是( )
A.C的方程为
B.当A,B,P三点不共线时,则
C.在C上存在点M,使得
D.若,则的最小值为
答案以及解析
1.答案：A
解析：设直线与圆的两个交点为A、B，圆心为C，，圆心到直线的距离为，，，，，两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于，故正确选项为A.
2.答案：A
解析：由,则或,
当,,满足平行;
当,,满足平行;
所以或,
故“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
3.答案：C
解析：由题,,抛物线焦点为,准线l为,
设准线l与x轴交点为E,如图所示,
由题知,由定义可知,
因为,所以是正三角形,
则对,因为,所以,
所以,
故选:C
4.答案：D
解析：设双曲线的半焦距为c,因为以为圆心的圆过,故该圆的半径为2c,
故其方程为:,
令,则,结合A在y轴正半轴上,故,
令,则或,故.
故,故直线.
设,
因为A在y轴的正半轴上,在x轴的负半轴上,故,
而,
故,整理得到:,
故,故,
所以,故,
解得或,又因为,则,
则,.
故选:D.
5.答案：C
解析：当P点坐标为时，此时切线l的斜率不存在，
不妨设，此时中令得：，
所以不妨令，，
下面证明椭圆在处的切线方程为，
理由如下：
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是
则椭圆的切线斜率为，
所以椭圆的切线方程为，整理得：，
方程两边同除以，得到，
当切线斜率不存在时，即此时，故切线方程为，
中令，，可得，
故当切线斜率不存在，切线也满足，
综上：椭圆在处的切线方程为，
故过，的两切线分别为和，
联立可得：，此时，同理可得时，，
当切线的斜率存在时，设为，
因为与相切，所以，即，
与联立得：
，设，，
则过，的椭圆的切线方程为和，
联立得：，
，
则，
综上：的最大值为4.
故选：C.
6.答案：D
解析：由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为,可得椭圆过点,代入方程得.
设,则,
两式作差得,
即,
因为P恰好是AB的中点,所以,又因为直线AB斜率为-1,
所以,将它们代入上式得,
则联立方程解得.
所以椭圆C上一点M到F的距离的最大值为.
故选：D.
7.答案：A
解析:双曲线的一条渐近线不妨设为:,
圆的圆心,半径为2双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2
可得圆心到直线的距离为:,
解得:,可得,即,故选:A.
8.答案：B
解析：由椭圆的定义,,
由余弦定理有：
,
化简整理得：,
又,
由以上两式可得：
由,得,,
又,所以为等边三角形,由椭圆对称性可知轴,
所以.
故选：B.
9.答案：B
解析：设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为，
设点、、，
以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设小椭圆的方程为，
则大椭圆的方程为，
对于①，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，①错；
对于②，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，②对；
对于③，当直线与坐标轴垂直时，则点A、B关于坐标轴对称，此时点P为线段的中点，合乎题意，
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
联立可得，
，可得，
此时，，
联立可得，
由韦达定理可得，即点P为线段的中点，
综上所述，，③对；
对于④，当点P的坐标为时，将代入可得，
不妨取点、，则，
若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，④错.
故选：B.
10.答案：AB
解析：由题知,
a,b分别是1与9的等差中项与等比中项,
,,
解得:,;
当,时,
此时曲线C的方程为:,
因此曲线C为椭圆,焦点在x轴上,
离心率,
故选项A正确,C错误;
当,时,
此时曲线C的方程为:,
因此曲线C为双曲线,
由得,
解得:,焦距为:,
渐近线方程为:即
故选项B正确,D错误;
故选:AB.
11.答案：ABD
解析：如图所示,建立以C为坐标原点,x轴平行于AB,y轴垂直于AB.
此时,,,
抛物线的方程为,即,
解得,故A正确;
抛物线的方程为,准线方程为,焦点坐标为,
故B正确,C错误;
因为,,故,
所以直线AC的方程为即,
不妨设CE上一点为,,
当Q该点处的切线与直线AC平行时,其到直线AC的距离最大.
由可得,故,
解得,
此时Q点到直线AC的距离为,故D正确.
故选:ABD.
12.答案：ABD
解析:设,(P不与A,重合)
,,,,
,得,化简得,
点P的轨迹曲线是以为圆心,半径的圆,
对于A,曲线C的方程为,故选项A正确;
对于B,由已知,,,,
当A,B,P三点不共线时,由三角形内角平分线定理知,PO是内角的角平分线,
,故选项B正确;
对于C,若,则,由题意,M点轨迹是圆,
设,由得,化简得点M轨迹方程为,
即点M的轨迹是圆心为,半径的圆,
圆C与圆的圆心距,
圆C与圆的位置关系为内含,圆与圆无公共点,
C上不存在点M,使得,故选项C错误;
对于D,,,
,
当且仅当P在线段AD上时,等号成立,故选项D正确.
故选:ABD.

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