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（10）概率统计与计数原理—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之选择题
方法技巧
1.离散型随机变量分布列的常见类型及解题策略
（1）与排列组合有关的分布列的求法.可由排列组合、概率知识求出概率，再求出分布列.
（2）与频率分布直方图有关的分布列的求法.可由频率估计概率，再求出分布列.
（3）与互斥事件有关的分布列的求法.弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.
（4）与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法.先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列.
2.频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
3.独立性检验的一般步骤
（1）独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对于一个实际问题，我们首先要确定能否用独立性检验的思想加以解决.
（2）如果确实属于这类问题，要科学地抽取样本，样本容量要适当，不可太小；
（3）根据数据列出2×2列联表；
（4）提出假设：所研究的两类对象无关；
（5）根据公式计算的值；
（6）比较观测值k与临界值表中相应的检验水平，根据小概率原理肯定或者否定假设，即判断X，Y是否相关.
4.利用两个基本计数原理解决问题的步骤
（1）审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；
（2）分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种；
（3）弄清在每一类或每一步中的方法种数；
（4）根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数.
1.秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97%，但统计分析结果显示患病率为1%.医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为( )
A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99
2.甲 乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动,活动结束后,站成前后两排合影留念,每排3人,若每排同一个学校的两名志愿者不相邻,则不同的站法种数有( )
A.36 B.72 C.144 D.288
3.流行性感冒,简称流感,是流感病毒引起的一种急性呼吸道疾病.已知A,B,C三个地区分别有2%,6.5%,8.5%的人患了流感,且这三个地区的人口数之比是,现从这三个地区中任意选取1人,若选取的这人患了流感,则这人来自B地区的概率是( )
A.0.65 B.0.45 C.0.35 D.0.2
4.的展开式中的系数为( )
A.50 B.100 C.150 D.300
5.在张奖券中有一等奖2张,二,三等奖各1张,其余4张无奖,将这8张奖券分配给4个人,每人2张,则不同的获奖情况数为( )
A.120 B.96 C.148 D.216
6.已知王大爷养了5只鸡和3只兔子,晚上关在同一间房子里,清晨打开房门,这些鸡和兔子随机逐一向外走,则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为( )
A. B. C. D.
7.2022年2月17日，呼图壁县第一届“美丽冰雪，北奥探梦”中小学速滑运动会在昌吉州呼图壁县青少年示范性综合实践基地管理中心举行.为了保证比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理六条一样的短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王至少清理三条的概率是( )
A. B. C. D.
8.若的展开式中含项的系数为,则实数a的值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
9.对于事件A与事件B，下列说法错误的是( )
A.若事件A与事件B互为对立事件，则
B.若事件A与事件B相互独立，则
C.若，则事件A与事件B互为对立事件
D.若，则事件A与事件B相互独立
10.（多选）用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分,成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本,其中男生成绩数据40个,女生成绩数据60个,再将40个男生成绩样本数据分为6组:,,,,,,绘制得到如图所示的频率分布直方图(同一组的数据用该组的中间值代表)则下列说法中正确的是 ( )
A.男生成绩样本数据的平均数为71
B.估计有90%的男生数学成绩在84分以内
C.在和内的两组男生成绩中,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为
D.若男生成绩样本数据的方差为187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119,则总样本的方差为146
11.（多选）现有来自两个社区的核酸检验报告表,分装2袋,第一袋有5名男士和5名女士的报告表,第二袋有6名男士和4名女士的报告表.随机选一袋,然后从中随机抽取2份,则( )
A.在选第一袋的条件下,两份报告表都是男士的概率为
B.两份报告表都是男士的概率为
C.在选第二袋的条件下,两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为
D.两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为
12.（多选）统计学是源自对国家的资料进行分析,也就是“研究国家的科学”.一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代,迄今已有两千三百多年的历史.在两千多年的发展过程中,将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征.为此,统计学有了自己研究问题的参数,比如:均值,中位数,众数,标准差.一组数据:,,…,()记其均值为m,中位数为k,方差为,则( )
A.
B.
C.新数据:,,,…,的均值为
D.新数据:,,,…,的方差为
答案以及解析
1.答案：C
解析：设“患有该疾病”，“化验结果呈阳性”.由题意可知，，.，，解得.
患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为0.98，故正确选项为C.
2.答案：B
解析：第一排有2人来自甲校,1人来自乙校:
第一步,从甲校选出2人,有种选择方式;
第二步,2人站在两边的站法种数有;
第三步,从乙校选出1人,有种选择方式;
第四步,第二排甲校剩余的1人站中间,乙校剩余的2人站在两边的站法种数有.
根据分步乘法计数原理可知,不同的站法种数有.
同理可得,第一排有2人来自乙校,1人来自甲校,不同的站法种数有36.
根据分类加法计数原理可知,不同的站法种数有.
故选:B.
3.答案：C
解析:根据题意,设任意选取1人来自A地区为事件,任意选取1人来自B地区为事件,任意选取1人来自C地区为事件,
选取的这人患了流感为事件N,
则,,
,,,
,
则,
若选取的这人患了流感,则这人来自B地区的概率,
故选:C.
4.答案：D
解析：的展开式通项为，
因为，
在中，令可得，
在中，令可得，
因此，展开式中的系数为.
故选：D.
5.答案：A
解析:若中奖人数为四人,则不同的获奖情况有种;
若中奖人数为三人,则必有一人的2张奖券(设为M,N)均中奖,可得:
①若M,N均为一等奖,不同的获奖情况有种;
②若M,N为二,三等奖,不同的获奖情况有种;
③若M,N为一,二或一,三等奖,不同的获奖情况有种;
故中奖人数为三人,则不同的获奖情况有种;
若中奖人数为两人,则有:
①若2张一等奖的奖券为同一人获得,不同的获奖情况有种;
②若2张一等奖的奖券为不同人获得,不同的获奖情况有种;
故中奖人数为两人,则不同的获奖情况有种;
综上所述:不同的获奖情况数为.
故选:A.
6.答案：D
解析:5只鸡,3只兔子走出房门,共有种不同的方案,
其中恰有2只兔子相邻走出房子的方案为:先排5只鸡,会产生6个空隙,再从3只兔子中选2只捆绑排列,最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有:种方案,
故恰有2只兔子相邻走出房子的概率为:.
故选:D.
7.答案：A
解析：六条一样的短道速滑跑道分三组有1，1，4或1，2，3或2，2，2种情况，
再分给小王、小李、小方共有种分法，
其中小王至少清理三条的情况有种，
则小王至少清理三条的概率是.
故选：A.
8.答案：A
解析：因为,
其中的展开式的通项公式为,
令,解得,又令,解得.此时含x的项的系数为,解得.
故选：A.
9.答案：C
解析：对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生，，正确；
对于B，根据独立事件的性质知，正确；
对于C，由，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则，事件B表示选中b，c两球，则，
，但A，B不是对立事件，错误；
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
10.答案：AC
解析:对于选项A,根据频率分布直方图有,男生成绩样本数据的平均数,故A正确;
对于选项B,根据频率分布直方图有,男生数学成绩在84分以内的人数的频率为,所以估计有80%的男生数学成绩在84分以内,故B错误;
对于选项C,根据频率分布直方图有,在和内的男生人数分别为6人,2人,随机抽取两个进行调查,则调查对象来自不同分组的概率为,故C正确;
对于选项D,设女生成绩样本数据的平均数为,则总样本的平均数,
所以总样本的方差为,故D错误.
故选:AC.
11.答案：AC
解析:对于A,在选第一袋的条件下,两份报告表都是男士的概率为,A正确;
对于B,若选第一袋,两份报告表都是男士的概率为;若选第二袋,两份报告表都是男士的概率为;
则两份报告表都是男士的概率为,B错误;
对于C,在选第二袋的条件下,两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为,C正确;
对于D,若选第一袋,两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为;
若选第二袋,两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为;
则两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为,D错误.
故选:AC.
12.答案：CD
解析:对于A选项,因
样本数据最中间的项为和,
由中位数的定义可知,,A错;
对于B,不妨令,
故不成立,故B错误;对于C,数据,,,的均值为:
,C正确;
对于D,数据,,,…,的均值为:
其方差为,D对.
故选:CD.

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