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第5章 三角函数
5.3 诱导公式
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
【分析】设P ，由对称关系有Q ，根据三角函数的定义得 ， ， ；







公式二：

诱导公式二~四
【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？
【答】内容：

作用：把任意角的三角函数值转化为0~2π上角的三角函数值.
【思考】通过公式一及公式二你有什么发现？
【答】



【回顾2】点P 关于 轴、 轴和原点的对称点是什么？



【答】关于 轴对称： ; 关于 轴对称： ; 关于原点对称：





诱导公式二~四
【拓展】进一步，通过作出P点关于 轴的对称点和关于
轴的对称点，我们可以得出如下结论：


【公式三】



【公式四】



诱导公式二~四
【总结】对于公式一~四的概括：
【1】α+2kπ，-α，(π±α)的三角函数值，在绝对值上
等于α的同名函数值，正负取决于把α看成锐角时
原函数值的符号. 即“函数名不变，符号看象限.”
【2】对于正弦与余弦的诱导公式，α可以为任意角；对
于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即

诱导公式二~四
【问题1】如何用公式二和公式三推导出公式四？
【答】



【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解.
【答】①“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；
②“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由
新角所在象限确定符号.如sin(α+π)，若把α看成锐角，则π+α在
第三象限，所以取负值，故sin(α+π)=-sinα
诱导公式的应用
【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的
三角函数
用公式一
或公式三
任意正角的
三角函数
0~2π的角
的三角函数
用公式二
或公式四
锐角的
三角函数
用公式一
利用诱导公式化简的一般思路：
切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.
诱导公式五~六
【问题1】

【分析】作角α的终边关于 的对称边，根据集合
对称关系，设P点坐标为 ，则Q点坐标为
，由三角函数的定义有：





同理我们有


诱导公式五~六
【总结1】公式五和公式六可以概括如下：
的正弦(余弦)函数值，分别等于角α的余弦(正弦)函数值，前面
加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”
【总结2】六组诱导公式各有什么用？

公式一：将任意角转化成0~2π之间的角求值
公式二：将0~2π之间的角转化成0~π之间的角求值
公式三：将负角转化成正角求值
公式四：将 之间的角转化成 之间的角求值

公式五、六：实现正弦和余弦之间的相互转化
六组诱导公式的横向对比

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