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双曲线的简单几何性质
复习回顾
1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的______________ 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_________ .这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的_______ .
P
X
F2
F1
O
y
2.双曲线的标准方程：
差的绝对值
焦点
双曲线
焦距
新课探究:双曲线的简单几何性质
回顾：我们在学习椭圆的几何性质时，主要从哪些方面研究了其几何性质？
范围
对称性
顶点
离心率
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
性质 范围
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：坐标原点（中心） 顶点
长轴： ，长轴长：2a；短轴： ，短轴长：2b 离心率 离心率刻画了椭圆的的扁平程度，e越大，椭圆越扁平，e越小，椭圆越接近于圆 椭圆的几何性质
猜想：双曲线的离心率控制了双曲线的开口大小，离心率越大，开口越大；离心率越小，开口越小？
双曲线的离心率又会控制图形的什么特征呢
双曲线的渐近线
x
y
O
O
y
x
探究：双曲线的渐近线
探究：利用信息技术画出双曲线
和两条直线
在双曲线 的右支上取一
点M, 测量M的横坐标 以及它到
直线 的距离d. 沿曲线向
右上方拖动点M,观察 与d的大
小关系，你发现了什么？
B1
B2
A1
A2
2
3
O
y
x
M
d
点M的横坐标越大，d越小，但d始终不等于0
双曲线的渐近线
A2
A1
B1
B2
a
b
x
y
O
O
y
x
B1
B2
A1
A2
b
a
思考总结：结合离心率与渐近线斜率的关系，总结离心率的几何性质
结论：双曲线离心率越大，开口越大；离心率越小，开口越小.
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
性质 范围
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：坐标原点 顶点
实轴： ，实轴长：2a；虚轴 ，虚轴长2b 渐近线
离心率 离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大，e越小，开口越小 练习巩固
例　求双曲线9y2－16x2＝144的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
答案：顶点坐标：
焦点坐标：（0，-5），（0, 5）
实轴长：8，虚轴长：6
离心率：
渐近线方程：
课堂小结
1.知识清单：
双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.
结论1：渐近线方程为：或；
结论2：离心率越大，双曲线开口越大.
2.思想方法归纳：类比、数形结合等；
3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错.
作业布置
练习： 设双曲线方程为 ，求该双曲线的渐近线方程与离心率. 并观察该双曲线有什么特点？
欢迎批评指正！

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