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(共62张PPT)
运动定理
动量、动量定理
功与能
动量矩(角动量）定理
有心力问题
曲线的功
合力所做的功等于分力所做功的代数和。
内积(标量积)
功
（1）平面直角坐标系
x
y
O
x
r0
r1
y
F
r
s0
s1
F
s
不同坐标系里的功
（2）平面“自然”坐标系
功的性质
(1) 功是过程量，一般与路径有关。
(2)功是标量，但有正负。
(3) 合力的功为各分力的功的代数和。
引力的功
两个质点之间在万有引力作用下相对运动时 ，以M所在处为原点, M指向m的方向为矢径r的正方向。m受的引力方向与矢径方向相反。m在M的万有引力的作用下从a 点运动到b点，万有引力的功:

与路径无关
保守力做功 势能
Gravitational potential energy
Elastic potential energy
关 于 势 能：
势能总是与保守力相联系。存在若干种保守力时，就可引进若干种势能。
势能的绝对数值与零势能位形的选取有关，但势能的差与之无关。不同保守力对应的势能，其零势能位形的选取可以不同。
(3) 势能既然与各质点间相互作用的保守力相联系，因而为体系所共有。
(4) 与势能相联系的是保守力对质点系所作的总功，与参考系无关。
(2)势能 保守力
梯度：
Kinetic energy (动能) T=1/2mv2
动能定理: 运动质点的动能的增加等于其它物体对它所做的功.
Conservation of mechanical energy 机械能守恒原理
功能原理
作用于质点的力F
Fc所作的功Wc可用势能的减少来表示.
Fd所作的功Wn不（可）用势能的减少来表示.
系统机械能的增量等于外力的功和非保守力内力的功的总和。
例（P221）：质量为m的人造卫星在环绕地球的圆轨道上,轨道半径为 ,求卫星的势能\动能和机械能.(不计空气阻力)
（1）势能
（2）动能
R
O
动量、动量定理
动量:
冲量 I:
由牛顿第二定律：
动量定理的微分形式
动量定理的积分形式
例 如图所示，一质量为m的小球在两个壁面以速度vo来回弹跳，碰撞是完全弹性的，忽略重力贡献。（1）求每个壁所受的平均作用力F，（2）如果一个壁表面以v<m
v0
v
l
x
（1）因为是完全弹性碰撞，小球反弹的速度还是vo，所以小球每一次与壁面碰撞动量的变化是2mvo, 即单次碰撞墙壁受到的冲量为2mvo，单位时间内的碰撞次数（碰撞频率）为f=vo/2l,单位时间墙壁受到的总冲量即是墙壁受到的平均作用力，所以
(2)设两个壁面之间距离为x时小球的速度为u,与上一问类似，碰撞频率为f=u/2x，每一次碰撞墙壁受到的冲量为2mu，所以
求两壁之间距离为x时的速度u。小球与壁面相继两次碰撞的时间间隔为
每一次碰撞速度的增量为 2ｖ
小球速度的速度增加率
积分得
利用以上结论还容易证明，把表面从距离l推近到距离x 时所做的功等于球的动能的增加
角动量 与
角动量守恒
匀速直线运动的
一个守恒量
掠面速度: Areal velocity
掠面速度：位矢r 在单位时间内扫过的面积。
推广到有心力！
掠面速度
Cc//SB，所以三角形SBC与SBc等高
有心力作用下掠面速度相等。
牛顿的推理：

有心力作用下什么守恒？
守恒量
m
定义：
动量矩
角动量
m
m
Moment of inertia转动惯量
结论：有心力作用下掠面速度相等，故角动量守恒。
动量矩(角动量）定理
质点对轴的动量矩等于对轴上任意
一点的动量矩在该轴上的投影。
关于轴线的动量矩
z
A
py
px
B
p
C
S
y
y
x
x
z
A
Fy
Fx
B
F
C
S
y
y
x
x
直角坐标系
力对线的力矩
极坐标系
F
F
B
A
F
C
S

力对参考点o的力矩M：受力质点相对于o点的位置矢量r与力F矢量的矢积。
A
F
M
r
o
S

M=Frsin
力对于参考点的力矩
力对轴上任意一点力矩在该轴上的投影等于力对该轴的力矩。
动量矩(角动量）定理—平面运动
可以变化
直角坐标：
请自己证明：
动量矩(角动量）守恒
若作用于质点的力对参考点o的力矩之和保持为零，则质点对该点的动量矩不变。
演示：直升飞机
开普勒第二定律
对任一个行星说，它的径矢在相等的时
内扫过相等的面积。
= 0
动量矩定理: 质点对参考点o的动量矩的时间变化率就等于质点所受力对于o点的力矩。
关于点的动量矩定理
运动的质点所受力的作用线始终通过某个定点。
作用力——有心力， 定点——力心
在有心力作用下，质点在通过力心的平面内运动。
有心力
有心力问题的基本方程
以力心为极点的极坐标系
两个基本方程
动量矩守恒原理
机械能守恒原理
有心力为保守力
The Laws of Planetary Motion
Kepler‘s First Law:
行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。
Kepler's Second Law:
对任一个行星说，它的径矢在相等的时间
内扫过相等的面积。
动量矩守恒
Kepler's Third Law:
行星绕太阳运行轨道半长轴a的立方
与周期T的平方成正比
T2 /a3=K
引力与距离平方成反比
例题：人造卫星沿着椭圆轨道运动，近地点离地心的距离为r1, 远地点离地心的距离为r2, 地球的质量为M，卫星的质量为m，求：
（1）卫星在近地点和远地点的速度；
（2）卫星的总机械能。
试导出开普勒第三定律！
IPhO11-1 一质量为m=12t的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转，其高度h=100km。为使飞船降落到月球表面，喷气发动机在X点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相对飞船的速度为u=10000m/s，月球半径R=1700km, 月球表面的重力加速度为g=1.7m/s2。飞船可用两种不同方式到达月球（如图）（1）到达月球上A点，该点正好与X点相对；（2）在X点给一只向月球中心的动量后，与月球表面相切于B点。试计算上述两种情形下所需要的燃料量。
分析：画出两种情形的完整轨道。用能量判断轨道：是否椭圆？哪一种情形燃料更多？飞船被加速还是减速了。
x
A
A
x
A
B
圆轨道速度
（1）XA之间距离即新轨道长轴为2R+h，能量
原轨道长轴为2(R+h),能量为
在X点需要改变的动能：
在X点需要改变的动能：
（2）
例（P215）：半径为R的圆环状细管在水平面内以匀角速 绕A点转动。管的内壁是光滑的。求解质点M在其相对平衡位置附近作小振动的周期，及约束反力。
2m v’
O

N
A
B
M
m 2r

求解及分析
在平衡点B周围作小振动，
在转动坐标系中，仅惯性离心力(保守力）做功，重力、约束反力、科氏力不做功。根据机械能守恒原理
两球碰撞的角动量守恒
v2
o
H
m2
m1
r2
r1
v1
(r v)
P=mv
m
R
O
L
思考题：圆锥摆的角动量是否守恒？
第一种解释：
关于转轴的运动
角动量守恒！
第二种解释：
关于O点的运动
L、M与角速度三者方向不同
角动量不守恒！
L
r
P=mv
R
O
M
练习：试用角动量定理求解圆锥摆的运动周期。
r
m
P=mv
R
O
（1）m关于转轴的运动情况
L与角速度同方向
（2）m关于O点的运动情况
L、M与角速度三者方向不同
r
P=mv
R
O
L
M
dL=Mdt
解角动量定理：
进动
iii) 有效势能
极径 的微分方程
定义有效势能
惯性离心力势能
O

能量
行星运动
行星径向运动动能
行星运动的性质由总能量E来决定。
行星运动的性质由总能量E来决定。
1. E>0, 双曲线轨道（无界）；
2. E=0, 抛物线轨道（无界）；
3. Vmin4. E=Vmin, 圆轨道（有界）；
O

能量
相图 （分析运动状态的图解）
例：光滑桌面上的弹簧振子。（质量为m，弹簧的劲度系数为k）作（1）V势 x曲线，（2）v速度 x曲线，并讨论其运动情况。
m
x
x
o
x
V
3E
2E
E
0
x
o
v
例：研究摆长l为的复摆运动。作(1)V重力势 曲线，(2) 曲线，并讨论其运动情况。（细杆质量忽略，近似为单摆）
O
法向
切向
N
mg


l
S
x
o

x
H
1.0
0.1
0
2.0
3.0

-
IPhO14-1 一质点沿正半轴OX运动，作用在质点上有一个力F(x)=-10N。 在原点有一完全反射的墙。同时，摩擦力f=1.0N也作用在质点上。质点以E0=10J的动能从x0＝1.0m出发。
（1）确定质点在最终静止前所经过的路程长度，
（2）画出质点在力场F中的势能图，
（3）描绘出作为x函数的速度的定性图。
(1)类似于有阻力的自由落体，向上时加速度为11，下落时加速度为9，落回地面后又弹起。所以直到在原点速度为零才会静止。F是保守力，所以
fS=E0+|F|x0
S=20m.
(2)Ep=|F|x+c
向上时加速度为11，
下落时加速度为9
（半个收缩的螺线）

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