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(共52张PPT)
坐标系的运用
一维（直线）运动
直角坐标系
“自然”坐标系
极坐标系
相对运动
运动学
平动Translation（直线运动和曲线运动）
选取参考点（原点）O；
作位置矢量（矢径）r
(用r=r(t)详尽描述质点的运动情况）
位移： （矢量）
O
r(t)
r(t+ t)
r(t)
S
速度、速率
平均速度（Average velocity) 平均速率(Average speed)
当lim t 0， 瞬时速度，瞬时速率
瞬时速度(Instantaneous) 瞬时速率
瞬时速度是以轨道的切向为其指向，其大小为瞬时速率。
平均速度与平均速率之间不存在明确关系。
加速度
v
A
B
v+ v
v
v
v+ v
描述质点运动速度v变化的快慢。
平均加速度（acceleration)
瞬时加速度
方向的改变
矢量速度的变化 具有加速度
大小的改变
运动学问题（一）
微分
微分
积分
积分
需初始条件
矢量表示的优点：给定了参考系时，与选择的坐标形式无关，便于作一般性的定义陈述和关系式推导。然而，在做具体计算时，必须根据问题的特点选择适当的坐标系。
坐标系的运用
Δ
Δ
坐标系的运用
一维（直线）运动
位置、速度、加速度可用标量处理。
位 置速 度加速度
对于匀加速运动， a为常数
t
v
O
t0
t
x
B
A
v ~ t
B
t
v
O
t
A
v0
at
v0t
1/2at2
v ~ t
例：静水中的小船，在停止划浆以后，继续向前滑行。以岸为参考系来研究小船的运动。取固定于岸的坐标轴；原点在停浆时小船的位置上，以小船的划行方向为正方向。已知 ，试分析其运动情况。
解：
请作出 x~t, v~t, a~t 图线
请思考：已知 ，求解运动情况。
解：
分离变量得
例：已知 其中
。又知初始条件 t=0时,
x0=A。求质点在各个时刻的位置与加速度。
解：
简谐振动：
振幅 圆频率 初相位 周期
频率 f = 1/T
圆频率
相位
O
A
x
x
相位的物理意义：决定质点在一个周期中的位置——正如月相（初一、十五…）
x
y
V
a
I:
X>0
V<0
a<0
II:
X<0
V<0
a>0
III:
X<0
V>0
a>0
IV:
X>0
V>0
a<0
I
II
IV
III
V
a
由参考圆上P点的水平投影及其V, a 的x分量可以判断简谐振动的速度、加速度的方向。
直角坐标系
矢量及其分量
y
x
z
A
O
矢量A用分量表示：
矢量A的相加：
直角坐标系
矢量对标量参数的求导运算：
y
x
z
A
O
质点的位置
轨道的参数方程式：
轨道方程：
详尽地描述了质点（相对于参考系）的运动情况。
轨道是曲面 （x,y)=0与曲面 （y,z)=0的交线。
质点的速度与速率
微分法：
积分法：
速率：
速度：
质点的加速度
微分法：
积分法：
加速度大小：



共 172 张，第 8 张
例



共 172 张，第 8 张
例



共 172 张，第 8 张
例



共 172 张，第 9 张
an
at
“自然”坐标系
质点在平面上沿曲线运动的轨迹是已知的。
x
Att

y
O
A
Ann

选择“原点”O，
弧长S为平面自然坐标，
n,t分别为法向和切向矢量（不是恒矢量），
方向+，-人为约定。
对于任一矢量A：
an
at
加速度： a(t)
速度： v(t)总是沿切向
A
B
v
v+ v
d
dS
切向加速度at
当lim t 0， 的极限指向为v的指向，即轨道的切向。
v

v
v+ v




法向（向心）加速度an
当lim t 0， 的极限指向与法线平行，指向轨道的内侧。
为轨道切向的时间变化率
极限为轨道的弯曲程度，即曲率。其倒数为曲率半径R。
“以圆代曲”
v

v
v+ v




A
B
v
v+ v
d
dS
极坐标系
极轴
A i

A
A j

极点
径向
横向
矢量A用径向和横向分量表达：
（在同一地点）矢量的相加：
极轴
d
A
极点
B
dr
d1r
d2r
d1r=id
d2r=j d
质点的位置
轨道的参数方程式：
轨道方程：
位置矢量（径矢）：
质点的速度
矢径的方向含在 i 中, i不是恒量！
质点的速度(另一种推导）
速度：
矢量对标量参数的求导运算：
d
速率：
积分法：
质点的加速度
极坐标系中径向与横向是随地点而异的。
位置：
速度：
加速度：
只有径向分量
向心加速度
科里奥利加速度
单位质量
的角动量
例2（p61)：有一质点在半径为R的圆周上以匀速v0作圆周运动，用极坐标系表述质点的速度和加速度。
v0


极轴
极点
O


v0


极轴
极点
O

数学方法：
曲径通幽
物理方法：
直观简洁
练习：试在直角坐标系中求解匀速圆周运动的加速度。
例4（p30)：水平直轨道上有一辆小车，轨道的O点正上方有一滑轮，通过滑轮以匀速v0收绳，小车被绳拉着在轨道上移动，问当牵引绳与水平方向夹角为 的瞬时，小车的速度v多大？
O
v0
v

解1：把v0看为合速度，v为分速度。
v0
v1

v2
解2：考虑v0的同时考虑方向的变化
v0
v1

v2
u1
u0
u2
把矢量向某个方向投影时，就必须就另一投影也作交代。
解3：把v0看为分速度，v为合速度。
v0
v

u0
解4：利用几何约束关系
O
v0
H
l
x

研究对象物体的速度为合速度；
研究对象物体的加速度为合加速度（合力）。
负号代表什么？
小车的加速度多大？
解5：利用极坐标系
v0
v


极轴
极点


中间过程似乎多余，直接由第一式可以得到结果。究竟如何解？
解6：利用极坐标系
v0
v


极轴
极点


H
相对运动
在实际问题中常以一个参考系变换到另一个参考系。因此，需研究参考系之间的变化关系。（两个参考系具有共同的时间变量t)
相对 V、A
若K1和K2坐标系中坐标轴始终保持平行，则：
运动叠加原理
一个运动可以看成几个各自独立进行的运动的迭加。迭加性亦是运动的一个重要特性。
O2
P
K2系
r2
O1
R
K1系
r1
例：玩具车的速度与加速度。一小孩自B点手拉绳的一端沿人行道的边缘以恒定速度u行走，小车放在粗糙的水平街面上。求当绳与人行道成 角时，小车的速度与加速度。设绳长为l，绳始终处于拉直状态。
提示：小车只能沿绳的方向运动。
解：
l
P
B
u
v =
P
B
B’
P’
C’
求加速度：
l
P
B
u
v
P
B
- u
v
v’
考虑相对运动，P相对于B作圆周运动 v’= v – u
P点的加速度：
一半径为R的圆环在水平面内以匀角速度 绕圆周上的一点P作逆时针方向的转动。圆周上的M点有一个甲虫相对于圆环以恒定的相对速率沿圆周爬行, ，运动方向同为逆时针方向。当M点（甲虫）运动到与圆心O的连线OM与OP成以下两个相对位置时，分别求M点的速度与加速度：
(1) OM与OP在一条直线上；
(2) OM与OP相互垂直。
例：
解1：极坐标
解2：相对运动
解3：相对运动
解4：
O
A
B
C
M
R
a
w
如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻当绳BA段与OB之间夹角为a时，杆的角速度为w, 求此时物块M的速率。
例：
解：设ＡＢ长为l
2007复赛1. 一块长为L=1.00m的光滑平板PQ固定在轻质弹簧的上端,弹簧的下端与地面固定连接.平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间(图中未画出), 从而只能在竖直方向运动.平板与弹簧构成的振动系统的振动周期为T=2.00s.一小球B放在一光滑的水平平台上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为h=9.80m。平板静止在其平衡位置。小球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度u0，使它从水平台面抛出。已知小球与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计.要使小球与平板PQ发生一次碰撞,而且只发生一次碰撞, u0的值应该在什么范围内 (g=9.8m/s2)
L
h
B
u0
解：设第一次落点距离板左端x1,
第二次落点距离第一次落点x2,
2007复赛2. 图示为用三根刚性细杆连成的平面连杆结构图. AB杆和CD杆可分别绕过A, D的垂直于纸面的固定轴转动, A,D两点位于同一水平线上. BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连,可绕连接处转动.当AB杆绕A轴以恒定的角速度转到图中所示的位置时, AB杆处于竖直位置, BC与CD杆都与水平方向成45度角, 已知AB杆的长度为l, BC和CD杆的长度由图给定.求此时C点的加速度.
A
C
B
D
450
450
l
l
vc
v’C
A
B
D
450
450
l
l
vB
vB
C
解1：
解2：
A
C
B
D
j
q
练习：一个小环在一个大圆环里面滚。半径之比为1：10。当小环圆心在大环里转了1周时，小环绕自己的轴转了多少圈？
O
C
A
a
q
C’
B
B’
解1：
解2：
例1（p48)：火车停止时，车窗上雨痕向前倾斜 0角。火车以某一速度匀速前进时，窗上雨痕向后倾斜 1角。火车加快以另一速度匀速前进时，窗上雨痕向后倾斜 2角。问车加速前后的速度之比？
参考系：火车看为“静止”坐标系
利用速度矢量的几何关系
(b)
v0
v’’
v2
0
2
x
y
v2
(a)
v0
v’
v1
0
1
x
y
v1

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