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2023-2024学年山西省大同市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）如图是小明奶奶制作的工艺品，其表面是由正五边形组成的，正五边形每个内角的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．108°
2．（3分）嘉嘉和淇淇到学校的直线距离分别是5km和3km，那么嘉嘉和淇淇的直线距离不可能是（　　）
A．1km B．3km C．6km D．8km
3．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
5．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，交CD于点E，BC＝5，则△BCE的面积等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．10
6．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝100°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．（3分）将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，∠α＝60°，点B，3cm，则线段AB的长为（　　）
A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm
8．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
9．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C是射线OA上一点，点D，E在射线OB上，DE＝4．则OD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC交EF于点D．若BD＝10，BC＝8．则DE的长为（　　）
A．9 B．6 C．8 D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在答题卡中的横线上）
11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，其中蕴含的数学原理是 　 　．
12．（3分）△OAB和△OA'B'在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，2），且△OA'B'≌△AOB．则点B'的坐标为 　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，AB＝5，△BCD的周长为20　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AC于点E．已知∠ABE＝∠A，AC＝10　 　.
15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，使AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，则∠DCE＝　 　°．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
16．（6分）已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，求这个正多边形每个外角的度数．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并直接写出△A'B'C'各顶点的坐标；
（2）△A'B'C'的面积为 　 　．
18．（7分）如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，且BE＝AD，∠ABE＝∠CAD．求证：AE＝CD．
19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交AB于点D．
（1）过点B作BE⊥直线CD于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）∠ABE与∠ACE之间有何数量关系？请说明理由．
21．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在直角边AC，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．
（1）求证：△AOD≌△COE．
（2）△ABC的面积与四边形CDOE的面积有何数量关系？请说明理由．
22．（12分）下面是小颖同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
2023年10月13日星期五今天课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在△ABC中，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，这样就可以找到解题方法：如图1．延长AD至点E．使ED＝AD、连接BE，可证得△EBD≌△ACD该小组在求解下面拓展题时，发现也可以用这种方法解决．拓展题：如图2，以△ABC的边AB，AC为边分别向外作等腰直角三角形ABM和ACN，AC＝AN，∠BAM＝∠CAN＝90°．点F是BC的中点．连接AF，求MN的长．同学们提出了如下思路：如图3，延长AF至点C，使GF＝AF……
任务：
（1）图1中证得△EBD≌△ACD的依据是 　 　；
（2）图1中，AD的取值范围是 　 　；
（3）请根据同学们的思路，求图2中MN的长．
23．（14分）综合与探究
等边三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点A，B，C都在坐标轴上，点P为x轴下方一点，且AP＝AE，连接OP，BP．
（1）如图1，求证：△ABP≌△ACE．
（2）如图2，当点P在y轴上，且点C的坐标为（0，3）时
（3）若点A的坐标为（﹣3，0），直接写出在点E的运动过程中，OP的最小值．
2023-2024学年山西省大同市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）如图是小明奶奶制作的工艺品，其表面是由正五边形组成的，正五边形每个内角的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．108°
【答案】D
【解答】解：∵五边形的内角和的度数为：（5﹣2）×180°＝540°，
正五边形的五个内角都相等，
∴正五边形每个内角的度数为：540°÷2＝108°．
故选：D．
2．（3分）嘉嘉和淇淇到学校的直线距离分别是5km和3km，那么嘉嘉和淇淇的直线距离不可能是（　　）
A．1km B．3km C．6km D．8km
【答案】A
【解答】解：∵嘉嘉和淇淇到学校的直线距离分别是5km和3km，
∴两人最近距离为：5﹣3＝2（km），
故嘉嘉和淇淇的直线距离不可能是5km．
故选：A．
3．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．是轴对称图形；
B．不是轴对称图形；
C．是轴对称图形；
D．是轴对称图形．
故选：B．
4．（3分）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC
【答案】C
【解答】解：A、∠A＝∠D，BC＝BC，即能推出△ABC≌△DCB；
B、∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，即能推出△ABC≌△DCB；
C、∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，即不能推出△ABC≌△DCB；
D、AB＝DC，BC＝BC，即能推出△ABC≌△DCB；
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，交CD于点E，BC＝5，则△BCE的面积等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．10
【答案】B
【解答】解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC EF＝，
故选：B．
6．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝100°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝100°，∠A＝20°，
∴∠B＝60°，
由折叠的性质可知，∠ACD＝∠BCD＝50°，
∴∠B′DC＝∠BDC＝70°，
∴∠ADB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：D．
7．（3分）将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，∠α＝60°，点B，3cm，则线段AB的长为（　　）
A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm
【答案】B
【解答】解：如图：
由题意得：∠A＝60°，BC＝3﹣1＝2（cm），
∴∠ACB＝∠α＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2cm，
故选：B．
8．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m
【答案】D
【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和5.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.3﹣1.4＝4.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝8.4（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小丽的．
故选：D．
9．（3分）如图，∠AOB＝60°，点C是射线OA上一点，点D，E在射线OB上，DE＝4．则OD的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：过点C作CF⊥DE，垂足为F，
∴∠CFO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OCF＝90°﹣∠AOB＝30°，
∵OC＝6，
∴OF＝OC＝3，
∵CD＝CE，CF⊥DE，
∴DF＝DE＝2，
∴OD＝OF﹣DF＝3﹣3＝1，
故选：A．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC交EF于点D．若BD＝10，BC＝8．则DE的长为（　　）
A．9 B．6 C．8 D．7
【答案】B
【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，∠ACB＝∠F＝90°，
∴∠ACD＝90°，
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝10，BC＝8，
∴DC＝DF＝10﹣8＝8，
∵EF＝BC＝8，
∴DE＝EF﹣DF＝8﹣8＝6．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将正确答案填在答题卡中的横线上）
11．（3分）如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，其中蕴含的数学原理是 　三角形具有稳定性　．
【答案】三角形具有稳定性．
【解答】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
12．（3分）△OAB和△OA'B'在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，2），且△OA'B'≌△AOB．则点B'的坐标为 　（3，﹣2）　．
【答案】（3．﹣2）．
【解答】解：∵A，B的坐标分别为（﹣3，（0，
∴OA＝4，OB＝2，
∵△OA'B'≌△AOB，
∴OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝8，
∴点B'的坐标为（3，﹣2）．
13．（3分）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，AB＝5，△BCD的周长为20　17　．
【答案】17．
【解答】解：因为BD是AC边上的中线，
所以AD＝CD．
又C△ABD＝AB+BD+AD，
C△BCD＝BC+CD+BD，
所以C△BCD﹣C△ABD＝BC﹣AB．
又BC＝8，AB＝5，
所以C△ABD＝20﹣6＝17．
故答案为：17．
14．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AC于点E．已知∠ABE＝∠A，AC＝10　2　.
【答案】2．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠DCE，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
在△CDB≌△CDE中，
，
∴△CDB≌△CDE（ASA），
∴BD＝DE，CE＝BC＝6，
即△BCE为等腰三角形，
∴AE＝AC﹣CE＝4，
又∵∠A＝∠ABE，
∴BE＝AE，
∴BD＝DE＝BE＝2，
故答案为：6．
15．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，使AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，则∠DCE＝　70　°．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，连接AE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵AB＝AC，∠BAC＝20°，
∴∠ADE＝∠B＝∠ACB＝80°，
在△ADE与△CBA中，，
∴△ADE≌△CBA（SAS），
∴AE＝AC＝AB＝DE，∠DAE＝∠ACB＝80°，
∵∠CAE＝∠DAE﹣∠BAC＝80°﹣20°＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE＝AC＝AE＝DE，∠AEC＝∠ACE＝60°，
∴△DCE是等腰三角形，
∴∠CDE＝∠DCE，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝40°，
∴∠DCE＝∠CDE＝（180﹣40°）÷2＝70°．
故答案为：70．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
16．（6分）已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍，求这个正多边形每个外角的度数．
【答案】60°．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n．
根据题意，得 （n﹣2）×180°＝360°×2．
解得 n＝8．
∴这个正多边形每个外角的度数为 ．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'，并直接写出△A'B'C'各顶点的坐标；
（2）△A'B'C'的面积为 　　．
【答案】（1）画图见解答；A'（4，0），B'（﹣1，﹣4），C'（﹣3，﹣1）．
（2）．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求．
由图可得，A'（4，B'（﹣1，C'（﹣8．
（2）△A'B'C'的面积为＝．
故答案为：．
18．（7分）如图所示，在四边形ABCD中，CD∥AB，且BE＝AD，∠ABE＝∠CAD．求证：AE＝CD．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAE，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（AAS），
∴AE＝CD．
19．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°．
∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°．
∴∠C＝∠BDC．
∴BC＝BD．
∴△BCD是等腰三角形．
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，交AB于点D．
（1）过点B作BE⊥直线CD于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）∠ABE与∠ACE之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）图形见解答；
（2）∠ABE＝90°﹣3∠ACE．理由见解答．
【解答】解：（1）如图，BE即为所求．
（2）∠ABE＝90°﹣3∠ACE．
理由：∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACB＝2∠ACE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝6∠ACE．
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°．
∴∠ABE＝90°﹣∠BCE﹣∠ABC＝90°﹣∠BCE﹣∠ACB＝90°﹣3∠ACE．
21．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在直角边AC，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．
（1）求证：△AOD≌△COE．
（2）△ABC的面积与四边形CDOE的面积有何数量关系？请说明理由．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．理由见解答过程．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．
∴∠A＝45°，∠ACO＝∠OCE＝，CO⊥AB．
∴∠A＝∠ACO＝∠OCE，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC．
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOC＝∠DOE．
∴∠AOC﹣∠COD＝∠DOE﹣∠COD，即∠AOD＝∠COE．
在AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE（ASA）；
（2）解：△ABC的面积等于四边形CDOE面积的7倍．理由如下：
由（1）知△AOD≌△COE，
∵△AOD≌△COE，
∴S△AOD＝S△COE，
∴S四边形CDOE＝S△COD+S△COE＝S△COD+S△AOD＝S△AOC＝S△ABC，
∴△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的5倍．
22．（12分）下面是小颖同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
2023年10月13日星期五今天课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在△ABC中，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，这样就可以找到解题方法：如图1．延长AD至点E．使ED＝AD、连接BE，可证得△EBD≌△ACD该小组在求解下面拓展题时，发现也可以用这种方法解决．拓展题：如图2，以△ABC的边AB，AC为边分别向外作等腰直角三角形ABM和ACN，AC＝AN，∠BAM＝∠CAN＝90°．点F是BC的中点．连接AF，求MN的长．同学们提出了如下思路：如图3，延长AF至点C，使GF＝AF……
任务：
（1）图1中证得△EBD≌△ACD的依据是 　SAS　；
（2）图1中，AD的取值范围是 　1＜AD＜5　；
（3）请根据同学们的思路，求图2中MN的长．
【答案】（1）SAS；
（2）1＜AD＜5；
（3）MN＝6．
【解答】解：（1）如图1，延长AD至点E，连接BE，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠BDE，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
故答案为：SAS；
（2）如图1，延长AD至点E，连接BE，
∵DE＝AD，∠ADC＝∠BDE，
∴△EDB≌△ADC（SAS），
∴AC＝BE＝8，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB，
∴2＜2AD＜10，
∴6＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜7；
（3）如图3，延长AF至点G，连接BG．
∵点F是BC的中点．
∴BF＝CF，
在△GBF和△ACF中，
，
∴△GBF≌△ACF（SAS）．
∴BG＝AC，∠G＝∠CAF．
∴AC∥BG．
∴∠BAC+∠ABG＝180°．
∵∠BAM＝∠CAN＝90°，
∴∠BAC+∠MAN＝360°＝∠BAM﹣∠CAN＝180°，
∴∠ABG＝∠MAN．
∵AC＝AN，
∴BG＝AN．
在△ABG和△MAN中，
，
∴△ABG≌△MAN（SAS），
∴AG＝MN．
∵AG＝AF+GF＝2AF＝6×3＝6，
∴MN＝2．
23．（14分）综合与探究
等边三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点A，B，C都在坐标轴上，点P为x轴下方一点，且AP＝AE，连接OP，BP．
（1）如图1，求证：△ABP≌△ACE．
（2）如图2，当点P在y轴上，且点C的坐标为（0，3）时
（3）若点A的坐标为（﹣3，0），直接写出在点E的运动过程中，OP的最小值．
【答案】（1）证明见解答；
（2）点E的坐标为（0，）；
（3）OP的最小值为 ．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠CAB＝60°，
∵∠EAP＝60°，
∴∠PAB＝∠EAC＝60°﹣∠BAE，
在△ABP和△ACE中，
，
∴△ABP≌△ACE（SAS）．
（2）解：如图2，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CO⊥AB，
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝30°，
∵AP＝AE，AO⊥PE，
∴∠AOE＝90°，∠OAE＝∠OAP＝，
∴AE＝3OE，∠CAE＝∠CAB﹣∠OAE＝30°，
∴∠ACO＝∠CAE，
∴CE＝AE＝2OE，
∵C（0，4），
∴OC＝3，
∴OE+2OE＝3，
∴OE＝，
∴点E的坐标为（0，）．
（3）解：OP的最小值为 ，
理由：如图5，作OH⊥PB于点H，
由（1）得△ABP≌△ACE，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∴点P在经过点B且与x轴所夹的锐角为30°的直线上运动，
∵AC＝BC，OC⊥AB，0），
∴OB＝OA＝3，
∴OH＝OB＝，
∵OP≥OH，
∴OP≥，
∴OP的最小值为 ．

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