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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
学习目标：
1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；
2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；
一、情境导入
如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？
复习回答：
问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
要点探究
知识点一：等腰三角形的判定
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
建立数学模型：
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
等腰三角形的判定定理：
应用格式：
辨一辨：如图，下列推理正确吗
∵∠1 = ∠2 ，
∴ BD = DC(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ，
∴ DC = BC(等角对等边).
典例精析
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
知识点二：反证法
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
总结：
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
二、课堂小结
1. 已知：如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，
①∠1 = °， ∠2 = °；
② 图中有 个等腰三角形；
③ 若 AD = 4 cm，则BC = cm；
④ 若过点 D 作 DE∥BC ，交 AB 于点 E ，则图中有 个等腰三角形.
2. 已知：等腰三角形 ABC 的底角平分线 BD，CE 相交于点 O.
求证：△OBC 为等腰三角形.
3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.
已知：直线 l1，l2，l3 在同一平面内，且 l1∥ l2 ，l3 与l1相交于点 P.
求证：l3 与 l2 相交.
证明：假设______________，那么 .
因为已知 ，
所以过直线 l2 外一点 P，有两条直线和 l2 平行，
这与 “_________________________________________” 矛盾.
所以___________，即求证的命题正确.
参考答案
建立数学模型：
如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
证明：过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
在 △ABD 与 △ACD 中，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB = AC.
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
应用格式：
在△ABC 中，∵∠B =∠C，
∴ AB = AC (等角对等边).
辨一辨：如图，下列推理正确吗
∵∠1 = ∠2 ，
∴ BD = DC(等角对等边).
∵∠1 =∠2 ，
∴ DC = BC(等角对等边).
错，因为都不是在同一个三角形中.
典例精析
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.
求证：△AED 是等腰三角形.
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).
∴ AE = DE (等角对等边).
∴△AED 是等腰三角形.
知识点二：反证法
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
小明是这样想的：
如图，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此时，AB 与 AC 要么相等，要么不相等.
假设 AB = AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.
“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，
因此 AB ≠ AC.
反证法概念： 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设：先假设命题的结论不成立；
2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；
3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
证明：假设 ∠A，∠B，∠C 中有两个角是直角，
不妨设 ∠A＝∠B＝90°，则
∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°．
这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
当堂检测
72，36；3；4；5
证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，∠ACE＝∠ECB＝∠ACB.
又∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC =∠ACB.
∴∠DBC =∠ECB.
∴△OBC 是等腰三角形.
l3 与 l2 不相交；l3∥l2 ；l1∥l2 ；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
假设不成立.

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