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第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
学习目标：
1．复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定；
2．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题．(重点，难点)
一、情境导入
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
要点探究
知识点一：直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗 为什么
总结：
定理1
定理2
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
知识点二：勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
证明欣赏
证法1 毕达哥拉斯证法
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　 　　 ．
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
这个命题是真命题吗？为什么？
例1 证明此命题：
已知：
求证：
归纳总结：
勾股定理：
定理：
知识点三：互逆命题与互逆定理
合作探究：
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
说出下列命题的条件和结论：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
观察上面三组命题，你发现了什么
归纳总结：
想一想： 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗？
练一练：
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.
归纳总结：
二、课堂小结
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.
(1) 同旁内角互补，两直线平行.
(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
参考答案
二、要点探究
知识点一：直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
证明：△ABC 是直角三角形，
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°.
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗 为什么
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠A +∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
总结：
定理1 直角三角形的两个锐角互余.
定理2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
知识点二：勾股定理及其逆定理
证法1 毕达哥拉斯证法
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为 4 × ab + ( b - a )2．
∵ c2 = 4 × ab + ( b - a )2
c2 = 2ab + b2 - 2ab + a2 ，
c2 = a2 + b2，
∴ a2 + b2 = c2.
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
这个命题是真命题吗？为什么？
例1 证明此命题：
已知：如图，在 △ABC 中，AC 2 + BC2 = AB 2.
求证：△ABC 是直角三角形．
分析：构造一个直角三角形与 △ABC 全等，你能自己写出证明过程吗？
证明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，
DE = AC，FE = BC，
则 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).
∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作图)，
∴ AB2 = DF2.
∴ AB = DF.
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠C =∠E = 90°.
∴△ABC 是直角三角形．
归纳总结：
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3)
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4)
知识点三：互逆命题与互逆定理
想一想： 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
举特例：
原命题：2 = 2，22 = 22；
逆命题：(2)2 = (-2)2，2≠-2.
此原命题是真命题；逆命题是假命题.
练一练：
1. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？
(1) 两条直线平行，内错角相等；
(2) 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
内错角相等，两条直线平行. 成立
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 不成立
归纳总结：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理1与定理2”“定理3与定理4”都为互逆定理.
注意：
(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
当堂检测
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( B )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
2. 在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.
(1) 同旁内角互补，两直线平行.
(2) 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
答案：逆命题：两直线平行，同旁内角互补. 真命题
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等. 真命题

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