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第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
学习目标：
1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
一、情境导入
如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么
要点探究
知识点一：线段垂直平分线的性质
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗
猜想：
已知：
求证：
总结：
典例精析
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
练一练：
1.如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，
且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
知识点二：线段垂直平分线的判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
总结：
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD. 求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
二、课堂小结
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的是 (　　)
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB
2. 已知线段 AB，在平面上找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有　 种.
3. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm.
4. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
参考答案
知识点一：线段垂直平分线的性质
如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB，点 P 在 l 上.
求证：PA = PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
∴ PA = PB．
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
典例精析
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若
△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：
1.如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，
且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( B )
6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 10 cm .
知识点二：线段垂直平分线的判定
逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
总结：
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC，
∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上).
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线(两点确定一条直线).
方法二：
证明：延长 AO 交 BC 于点 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC.
试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD.
求证：OE 是 CD 的垂直平分线.
证明：∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分线上的点到角的两边的距离相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分线.
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1.A
2.无数
3.16
4.证明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ CD 为线段 AB 的垂直平分线.
又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O，
∴AO = BO.

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