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第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图
学习目标：
理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题.
2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
一、情境导入
某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼A、B、C之间修建一个食堂，试问该食堂应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
小组合作，探究概念和性质
知识点一：三角形三边的垂直平分线的性质
合作探究：
求证三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等
已知：
求证：
总结：
试一试：
1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
知识点二：尺规作图
做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？
例 已知：线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
2. 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
回顾导入：食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等.请画出这个位置.
二、课堂小结
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( )
A．80° 　　
B．70°
C．60°
D．50°
2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G.
求证：EG＝EC.
3. 已知：线段 a.
求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a.
参考答案
知识点一：三角形三边的垂直平分线的性质
合作探究：
已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PB = PC.
证明：连接 PA，PB，PC.
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
∴PA = PB，PA = PC
( 线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等 ).
∴ PB = PC.
∴点 P 在 BC 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
应用格式：
∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC．
试一试：
1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
知识点二：尺规作图
做一做： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，
并且它们是全等的，
分别位于已知底边的两侧．
想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？
例 已知：线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
作法：1. 作线段 BC = a；
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D；
3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h .
4. 连接 AB，AC.
则△ABC为所求的等腰三角形.
2. 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.
作法：
先以 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的
垂直距离 R 为半径作圆，交直线 l 于A，B.
分别以 A、B 为圆心，大于 R 的长为半径作圆，
相交于 C、D 两点.
(3) 过两交点作直线 l' ，此直线为 l 过 P 的垂线.
回顾导入：食堂应建在三个宿舍楼 A、B、C的垂直平分线上，才能使得它到宿舍楼的距离相等.请画出这个位置.
如图所示，连接AB、BC、AC，分别作三条线段的垂直平分线，即点P为所求.并完成作图
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1.C
2.
3.

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