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第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
学习目标：
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
一、情境导入
问题1 ：我们学过哪些判定三角形全等的方法？
问题2 ：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗 如果其中一组等边所对的角是直角呢
要点探究
知识点一：全等三角形的判定和性质
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能判定△ABC≌△DEF 吗？
做一做：
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
验证结论：
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
归纳总结：
典例精析
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD.
变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
练一练
1. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.
二、课堂小结
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( )
A. 两条直角边对应相等
B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等
D. 两个锐角对应相等
如图，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，
则 △ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等”)，
依据是 (用简写法).
3.如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB.
能力拓展
4. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？
参考答案
小组合作，探究概念和性质
知识点一：全等三角形的判定和性质
问题：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能判定△ABC≌△DEF 吗？
做一做：
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
(1) 先画 ∠MCN＝∠α＝90°.
(2) 在射线 CM 上截取 CB＝a.
(3) 以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，
交射线 CN 于点 A.
(4) 连接 AB，得到Rt△ABC.
验证结论：
已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：在△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).
同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.
∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，
∴ BC＝B'C'.
∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) .
归纳总结；
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
典例精析
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C，D，AC = BD. 求证 BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C 与∠D 都是直角.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，
AC = BD.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
变式1：如图，∠ACB＝∠ADB＝90°，要证明△ABC ≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) AD＝BC ( HL )
(2) BD＝AC ( HL )
(3) ∠DAB＝∠CBA ( AAS )
(4) ∠DBA＝∠CAB ( AAS )
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠ABC = ∠DEF = 90°，BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠B +∠F = 90°.
练一练
1. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.
证明：∵ AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，
且 AD＝AF，AC＝AE，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴ CD ＝ EF.
∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
方法总结：
当堂检测
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( D )
A. 两条直角边对应相等
B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等
D. 两个锐角对应相等
如图，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，
则 △ADB 与△ADC 全等 (填“全等”或“不全等”)，
依据是 HL (用简写法).
3.如图，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB.
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC =∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中，
CE = BD，BC = CB，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
能力拓展
4. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时 △ABC 才能和△APQ 全等？
解：(1)当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝BC，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm.
(2) 当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝AC，
∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)，
∴ AP＝AC＝10 cm.
∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．

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