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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
学习目标：
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质；
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.
一、情境导入
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
要点探究
知识点一：等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗 能证明你的结论吗
猜想：
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：
求证：
例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：
求证：
例3 证明：等腰三角形两腰上的高相等．
已知：
求证：
议一议：
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE =∠ACB， 那么 BD = CE 吗？
如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB 呢？
(3) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 吗
由此你能得到一个什么结论
结论：
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？
(2) 如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 吗？ 为什么？
(3) 如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 吗？ 为什么？
由此你能得到一个什么结论
结论：
知识点二：等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
提问1：怎样证明这一定理呢？
已知：
求证：
典例精析
例4 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数.
二、课堂小结
如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm.
2. 如图所示，△ACM 和 △BCN 都为等边三角形，连接 AN、BM，求证：AN = BM.
3. 如图，A、O、D 三点共线，△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，求∠AEB 的大小.
变式：如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB 的大小吗？
参考答案
小组合作，探究概念和性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗 能证明你的结论吗
猜想1：底角的两条平分线相等
猜想2：两条腰上的中线相等
猜想3：两条腰上的高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分线．
求证：BD = CE.
证明：∵ AB = AC，
∴∠ABC =∠ACB
(等边对等角).
又∵∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB (已知)，
∴∠1 =∠2 (等式性质)．
在 △BDC 与 △CEB 中，
∵∠DCB =∠ EBC ，BC = CB，∠1 =∠2，
∴△BDC≌△CEB (ASA)．
∴BD = CE (全等三角形的对应边相等)．
例2 证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BM，CN 两腰上的中线．
求证：BM = CN．
证明：∵ AB = AC (已知)，
∴∠ABC =∠ACB.
又∵ CM = AC，BN = AB，
∴ CM = BN.
在△BMC 与△CNB 中，
∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN，
∴△BMC≌△CNB (SAS)．
∴ BM = CN.
例3 证明：等腰三角形两腰上的高相等．
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是△ABC 两腰上的高．
求证：BP = CQ．
证明：∵ AB = AC (已知)，
∴∠QBC =∠PCB.
在△BQC 与△CPB 中，
∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB，
∴△BQC≌△CPB (AAS).
∴ BP = CQ.
议一议：
已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
（1）如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE =∠ACB， 那么 BD = CE 吗？
BD = CE
(2) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB 呢？
BD = CE
(3) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 吗
BD = CE
由此你能得到一个什么结论
结论：如图，在△ABC 中，如果 AB = AC，∠ABD = ∠ACE，那么 BD = CE.
师生活动：以上证明都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来. (教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 DE 分别在边 AC 和 AB 上.
如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 吗？
为什么？
BD = CE
如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？
为什么？
BD = CE
(3) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 吗？ 为什么？
BD = CE
由此你能得到一个什么结论
结论：如图，在△ABC 中，如果 AB = AC，AD = AE，那么 BD = CE.
知识点二：等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
提问1：怎样证明这一定理呢？
预设：可以利用等腰三角形的性质进行证明.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
典例精析
例4 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
当堂检测
1.12
2.证明：∵△ACM 和△BCN 都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵ CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB (SAS).
∴ AN＝BM.
3.解：∵△OAB 和△OCD 是两个全等的等边三角形，
∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A、O、D 三点共线，
∴∠DOB =∠COA = 120°.
∴△COA≌△DOB (SAS).
∴∠DBO =∠CAO.
设 OB 与 EA 相交于点 F.
∵∠EFB =∠AFO，
∴∠AEB =∠AOB = 60°.
变式：方法与前面相同，∠AEB = 60°.

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