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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标：
1.会叙述角平分线的性质及判定;
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
一、情境导入
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
要点探究
知识点一：角平分线的性质
合作探究：
在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
总结：
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm.
知识点二：角平分线的判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗
已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
总结：
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
归纳总结：
二、课堂小结
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
题1 题2
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点D 到 AB 的距离是 .
3. (西安期中)如图，若∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于_______°.
参考答案
在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等).
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = __4____cm.
知识点二：角平分线的判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗
预设1：
已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∵PD = PE ，OP = OP ，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴ OP 平分∠AOB.
角的平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长.
例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F.
求证：点 F 在∠DAE 的平分线上．
回顾导入：根据以上的知识，则可解决导入中的问题.
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
归纳总结：
当堂检测
1.60；BF
2.3
3.59

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