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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标：
1.回顾全等三角形的判定和性质;
2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用其解决基本的几何问题.
一、情境导入
图中有你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
问题1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪 8 条基本事实？
要点探究
知识点一：全等三角形的判定和性质
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS).
问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
已知：
求证：
总结：
知识点二：等腰三角形的性质及其推论
问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
还有其他的证法吗？
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？
总结：
练一练
1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED 的度数为( )
A.60° B.90°
C. 80° D. 20°
典例精析
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC.
二、课堂小结
1. 如图，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是________________________．
2. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __________；
(2) 等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为
_____________；
(3) 等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
参考答案
创设情境，导入新知
问题1 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪 8 条基本事实？
1.两点确定一条直线.
2. 两点之间线段最短..
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4. 同位角相等，两直线平行.
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8. 三边分别相等的两个三角形全等.
小组合作，探究概念和性质
知识点一：全等三角形的判定和性质
问题2：你能用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的内角和等于 180°)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).
∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，
∴∠C =∠F (等量代换).
∵ BC = EF (已知)，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识点二：等腰三角形的性质及其推论
问题3：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
定理：等腰三角形的两个底角相等.
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题4：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
方法一：作底边上的中线
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C
(全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么论？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，
∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言：
如图，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
练一练
1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，则∠AED 的度数为( C )
A.60° B.90°
C. 80° D. 20°
典例精析
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC.
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∴ BG－DG＝CG－EG，即 BD＝CE.
∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＋DF＝CE＋EF，
∴ BF＝CF.
∵ AB＝AC，
∴ AF⊥BC.
当堂检测
∠C ＝∠D (答案不唯一)
（1）75°，30° ；（2）72°，72°，或 36°，108°（3）30°，30°

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