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第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时 三角形三条内角的平分线
学习目标：
会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用.
一、情境导入
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
要点探究
知识点一： 三角形的内角平分线
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF.
总结：
典例精析
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
求证：AB＝AC＋CD.
例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和为 .
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
二、课堂小结
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点
D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB， ∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = cm.
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( )
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
D. △ABC 三条高所在直线的交点
4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求证：CF = EB.
5. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.
参考答案
创设情境，导入新知
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
猜想结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
猜想结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
小组合作，探究概念和性质
知识点一： 三角形的内角平分线
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD = PE = PF.
结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
典例精析
例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
例2 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 点 O 到△ABC 三边的距离和
为 12 .
(2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积.
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC.
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　A　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
当堂检测
1. 如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( B )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点
D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB， ∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ( C )
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
D. △ABC 三条高所在直线的交点
4. 已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求证：CF = EB.
证明：∵ AD 平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C = 90° (已知)，
∴CD＝DE (角平分线的性质).
在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
　　 CD = ED (已证)，
DF = DB (已知)，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等).
5. 如图，直线 l1、l2、l3 表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有几处 画出它的位置.

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