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第一章 整式的乘除
1.5 整式的乘法
第2课时 平方差公式的运用
学习目标：
1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算；
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.
一、情境导入
1.问：平方差公式是怎样的？
2.利用平方差公式计算：
(1) (2x + 7b)(2x – 7b)；
(2) (－m + 3n)(m + 3n).
要点探究
知识点一：平方差公式的几何验证
如图 1，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
(1) 请表示图 1 中阴影部分的面积.
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图 2 )，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
(3) 比较 (1) (2) 的结果，你能验证平方差公式吗
还有其他的几何方法解释吗？
知识点二：平方差公式的运用
自主探究
想一想：(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
7×9 = 11×13 = 79×81 =
8×8 = 12×12 = 80×80 =
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
例2 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
二、课堂小结
1. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
2.97×103 = ( )×( ) = ( ).
3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______.
4. 利用平方差公式计算：
(1) 51×49； (2) 13.2×12.8；
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2).
5. 计算：
(1) 20232 －2024×2022；
(2) (y + 2) (y－2)－(y－1) (y + 5) .
能力拓展：
1. 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是____．
参考答案
创设情境，导入新知
1.问：平方差公式是怎样的？
(a + b)(a b) = a2 b2.
2.利用平方差公式计算：
(1) (2x + 7b)(2x – 7b)；
(2) (－m + 3n)(m + 3n).
答案：(1) 4x2－49b2 ； (2) 9n2－m2 .
要点探究
知识点一：平方差公式的几何验证
如图 1，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形.
(1) 请表示图 1 中阴影部分的面积.
(2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图 2 )，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
(3) 比较 (1) (2) 的结果，你能验证平方差公式吗
合作探究
(1) 图 1 中阴影部分的面积：a2 b2.
(2) 图 2 中长：a + b，宽：a b，面积：(a + b)(a b).
(3) 由于(1) (2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
还有其他的几何方法解释吗？
知识点二：平方差公式的运用
自主探究
想一想：(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
7×9 = 63 11×13 = 143 79×81 =6399
8×8 = 64 12×12 = 144 80×80 = 6400
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3) 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a + 1)(a 1) = a2 1
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：(1) 103×97= (100＋3)(100－3)= 1002－32= 10000－9= 9991.
(2) 118×122= (120－2)(120＋2)= 1202－22= 14400－4= 14396.
例2 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－a2b2 + a2b2 = a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2+6x = 6x－25.
例3 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵ a2＞a2－16，
∴ 李大妈吃亏了.
当堂小结
当堂检测
1. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( B )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
2. 97×103 = ( 100－3 )×( 100 + 3 ) = ( 1002－32 ).
3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是__x = 4_.
4. 利用平方差公式计算：
(1) 51×49； (2) 13.2×12.8；
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2).
解：(1) 原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
(3) 原式＝(9x2－16)－(6x2 + 5x－6)
＝3x2－5x－10.
5. 计算：
(1) 20232 －2024×2022；
解：20232－2024×2022
= 20232－(2023＋1)(2023－1)
= 20232－(20232－1)
= 20232－20232＋1
= 1.
(2) (y + 2) (y－2)－(y－1) (y + 5) .
解：(y + 2)(y－2)－(y－1)(y + 5)
= y2－22－(y2 + 4y－5)
= y2－4－y2－4y + 5
= －4y + 1.
能力拓展：
1. 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4.
若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是__255__．
解析：A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(22－1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(24－1)(24 + 1)
＝28－1＝255．

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