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第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第1课时 完全平方公式的认识
学习目标：
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;（重点）
2.会运用公式进行简单的运算；(难点)
一、复习导入
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
2.公式的结构特点：
要点探究
知识点一：完全平方公式
合作探究
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现
(1) (m + 3)2
= (m + 3)(m + 3)
(2) (2 + 3x)2
= (2 + 3x)(2 + 3x)
发现：
想一想：
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗
和的完全平方公式：
议一议
(a－b)2 = ？你是怎样做的？
做一做
(a－b)2 = a2－2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式.
知识要点
完全平方公式
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x－3)2；
(2) (4x＋5y)2；
(3) (mn－a)2.
练一练
1.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
想一想
思考：(a + b)2 与 (－a－b)2 相等吗
(a－b)2 与 (b－a)2 相等吗
(a－b)2 与 a2－b2 相等吗 为什么
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
二、课堂小结
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2；
(2) (x－y)2 = x2－y2；
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2；
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2；
(2) (4x－3y)2；
(3) (2m－1)2；
(4) (－2m－1)2.
参考答案
创设情境，导入新知
1. 平方差公式：(a + b)(a－b) = a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
要点探究
知识点一：完全平方公式
合作探究
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现
(1) (m + 3)2
= (m + 3)(m + 3)
= m2 + 3m + 3m + 9
= m2 + 2×3m + 9
= m2 + 6m + 9.
(2) (2 + 3x)2
= (2 + 3x)(2 + 3x)
= 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2
= 4 + 2×2×3x + 9x2
= 4 + 12x + 9x2.
发现：(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2 .
想一想：
你能根据图中的面积解释完全平方公式吗
和的完全平方公式：(a＋b)2 = a2 + 2ab + b2
议一议
(a－b)2 = ？你是怎样做的？
答案：(1) (a－b)2 = (a－b)(a－b)= a2－2ab＋b2
(2) (a－b)2 = [a＋(－b)]2= a2＋2a(－b)＋(－b)2= a2－2ab＋b2
发现：(a－b)2 = a2－2ab + b2 .
做一做
(a－b)2 = a2－2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式.
(a b)2 = a2 ab b(a b) = a2－2ab + b2
知识要点
完全平方公式
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
(a b)2 = a2 2ab + b2 .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式.
典例精析
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x－3)2；
(2) (4x＋5y)2；
(3) (mn－a)2.
解：(2x－3)2 = (2x)2－ 2 (2x) 3+ 32
=4x2－12x+ 9；
(2) (4x＋5y)2 = (4x)2＋2 (4x) 5y＋(5y)2
= 16x2＋40xy＋25y2；
(3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
练一练
1.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
想一想
思考：(a + b)2 与 (－a－b)2 相等吗
(a－b)2 与 (b－a)2 相等吗
(a－b)2 与 a2－b2 相等吗 为什么
解：(－a－b)2 = (－a)2－2·(－a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
(b－a)2 = b2－2ba + a2 = a2－2ab + b2 = (a－b)2.
(a－b)2 与 a2－b2 不一定相等，
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a－b)2 = a2－b2.
例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴ (m＋1)xy＝±2 · 6x · 5y.
∴ m＋1＝±60.
∴ m＝59或－61.
当堂小结
当堂检测
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2；
(2) (x－y)2 = x2－y2；
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2；
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.
答案：(1) ×， x2 + 2xy + y2； (2)×，x2－2xy + y2；
(3)×，x2－2xy + y2 ； (4) ×，4x2 + 4xy + y2；
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2；
(2) (4x－3y)2；
(3) (2m－1)2；
(4) (－2m－1)2.
答案：(1) 原式 = 36a2 + 60ab + 25b2；
(2)原式 = = 16x2－24xy + 9y2 ；
(3)原式 = 4m2－4m + 1 ；
(4) 原式 = 4m2 + 4m + 1.

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