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第一章 整式的乘除
1.7 整式的除法
第2课时 多项式除以单项式
学习目标：
1．复习单项式乘以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律；
2．能运用多项式除以单项式进行计算并解决问题．(重点，难点)
一、复习导入
单项式相除：
练一练
(1) –12a5b3c÷(– 4a2b) =
(2) (–5a2b)2÷5a3b2 =
(3) 4(a + b)7 ÷ (a + b)3 =
(4) (–3ab2c)3÷(–3ab2c)2 =
要点探究
知识点一：多项式除以单项式
合作探究
计算下列各题，说说你的理由.
(1) (ad＋bd)÷d＝ ；
(2) (a2b＋3ab)÷a＝ ；
(3) (xy3－2xy)÷xy＝ .
说一说：如何进行多项式除以单项式的运算
知识要点
典例精析
例1 计算：
(1) (6ab＋8b)÷2b； (2) (27a3－15a2＋6a)÷3a；
(3) (9x2y－6xy2)÷3xy； (4) (3x2y－xy2＋xy)÷(－xy).
例2 已知一个多项式除以 2x2，所得的商是 2x2＋1，余式是 3x－2，请求出这个多项式.
例3 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中 x＝2024，y＝2023.
做一做
小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为 v，所用时间为 t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t2.下山时，小明的平均速度保持为 4v．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？
二、课堂小结
1. 想一想，下列计算正确吗？
(1) (3x2y－6xy)÷6xy = 0.5x ( )
(2) (5a3b－10a2b2－15ab3)÷(－5ab) = a2 + 2ab + 3b2 ( )
(3)(2x2y－4xy2 + 6y3) ÷（ y）=－x2 + 2xy－3y2 ( )
2. 计算：
(3ab - 2a)÷a；
(12m2n + 15mn2)÷6mn.
已知一多项式与单项式 -7x5y4 的积为 21x5y7－28x6y5，则这个多项式是 .
4. 一个长方形的面积为 a3 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 .
5. 先化简，再求值：［(xy + 2)(xy－2)－2(x2y2－2)］÷xy， 其中 x = 1，y = －2.
参考答案
复习回顾，导入新知
单项式相除：
1. 系数相除；2. 同底数幂相除；
3. 只出现在被除式里的幂不变.
练一练
(1) –12a5b3c÷(– 4a2b) =
(2) (–5a2b)2÷5a3b2 =
(3) 4(a + b)7 ÷ (a + b)3 =
(4) (–3ab2c)3÷(–3ab2c)2 =
答案：(1)3a3b2c (2) 5a (3) 8(a + b)4 ；(4) –3ab2c
要点探究
知识点一：多项式除以单项式
合作探究
计算下列各题，说说你的理由.
(1) (ad＋bd)÷d＝ ；
(2) (a2b＋3ab)÷a＝ ；
(3) (xy3－2xy)÷xy＝ .
说一说：如何进行多项式除以单项式的运算
知识要点
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加.
典例精析
例1 计算：
(1) (6ab＋8b)÷2b； (2) (27a3－15a2＋6a)÷3a；
(3) (9x2y－6xy2)÷3xy； (4) (3x2y－xy2＋xy)÷(－xy).
解：(1) 原式＝6ab÷2b＋8b÷2b＝3a＋4；
(2) 原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a＝9a2－5a＋2；
(3) 原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y；
(4) 原式＝－3x2y÷ xy＋xy2 ÷ xy－ xy ÷ xy＝－6x＋2y－1.
例2 已知一个多项式除以 2x2，所得的商是 2x2＋1，余式是 3x－2，请求出这个多项式.
解：根据题意得
2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，
故这个多项式为 4x4＋2x2＋3x－2.
例3 先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中 x＝2024，y＝2023.
解：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y
＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
＝(x3y－x2y2)÷x2y＝x3y÷x2y－x2y2÷x2y
＝x－y.
当 x＝2024，y＝2023 时，原式＝x－y＝2024－2023＝1.
做一做
小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为 v，所用时间为 t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t2.下山时，小明的平均速度保持为 4v．已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，那么小明下山用了多长时间？
解：( vt2 + vt1)÷4v = t2 + t1
答：小明下山所用时间为 t2 + t1.
课堂小结
当堂检测
1. 想一想，下列计算正确吗？
(1) (3x2y－6xy)÷6xy = 0.5x ( )
(2) (5a3b－10a2b2－15ab3)÷(－5ab) = a2 + 2ab + 3b2 ( )
(3) (2x2y－4xy2 + 6y3) ÷（ y）=－x2 + 2xy－3y2 ( )
答案：(1) × (2)× (3)×.
2. 计算：
3. 已知一多项式与单项式 -7x5y4 的积为 21x5y7－28x6y5，
则这个多项式是 .
答案：－3y3 + 4xy.
4. 一个长方形的面积为 a3 - 2ab + a，宽为 a，则长方形的长为 .
答案：a2－2b + 1
5. 先化简，再求值：［(xy + 2)(xy－2)－2(x2y2－2)］÷xy，
其中 x = 1，y = －2.
解：[(xy + 2)(xy－2)－2(x2y2－2)]÷xy
= [(xy)2－22－2x2y2 + 4]÷xy
= (x2y2－4－2x2y2 + 4)÷xy
= (－x2y2) ÷ xy =－xy.
当 x = 1，y =－2 时，原式 =－1×(－2) = 2.

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