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前郭县 2023—2024 学年度第一学期期末考试
九年级数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 2分，共 12 分）
1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.B
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
7.-4040 8.2 9.0 10.10 11.-4 12.x1＝﹣1，x2＝3
13.26 14. x＜﹣5或﹣1＜x＜0
三、解答题（每题 5分，共 20 分）
15.解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，.........................................................3 分
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝± ，
所以 x1＝1+ ，x2＝1- ．............................................5 分
16.(1)解：△ A1B1C1和△ A2B2C1如图所示；
.........................................2 分

(2)解：如图所示，△ ABC可以绕点 D 1, 2 顺时针旋转90 得到△ A2B2C1．
∴旋转中心的坐标为 D 1, 2 ，旋转角度 = 90°．........................5 分
17.解： ABC
1
AOC ， AOC ABC 75 ，
2
ABC 25 .......................................................2 分
AC BC，
BAC ABC 25 ，
ACB 180 2 25 130 ，..........................................4 分
D 180 ACB 50 ............................................5 分
1
k 4
18.解：(1)∵反比例函数 y 的图象经过第一、三象限，
x
∴k﹣4＞0，
解得：k＞4．......................................................2 分
(2)∵反比例函数图象过第一象限的两点（a+5，y1）（2a+1，y2），且 y1＜y2，
∴a+5＞2a+1，
解得：a＜4，..........................................................4 分
又∵a＞0，
∴a的取值范围是：0＜a＜4．...........................................5 分
四、解答题（每小题 7 分，共 28 分）
19.解：(1)共有 4种等可能出现的结果，其中抽到“A惊蛰”的只有 1种，所以小明从四张
1
卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A惊蛰”的概率是 ..................2 分
4
(2)用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
...................6 分
共有 12 种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B夏至”的有 6 种，所以两人
6 1
都没有抽到“B夏至”的概率为 ...................................7 分
12 2
20.（1）解：连接OM ，过 O作ON BC于 N．
∵ AB与 O相切于 M，
∴ AB OM ．
∵ BD是 ABC的角平分线，ON BC， AB OM ，
∴ON OM 半径．
∴ BC是 O的切线．............................3 分 (第 20 题)
（2）解：∵EM∥BC，
∴ MEB CBO．
∵ BD是 ABC的角平分线，
∴ MBO CBO
1
ABC，
2
∴ MEB MBO，...............................................5 分
2
∵OE OM，
∴ MOF 2 MEF 2 MBO．
∵ AB OM ，
∴ MOF MBO 90 ，3 MBO 90 ，
∴ MBO 30 ，
∴ ABC 60 ．.............................................................7 分
2 2
21.解：(1)∵关于 x的一元二次方程 x 2 m 1 x m 5 0 有两个实数根，
2
∴ 2 m 1 4 m 2 5 8m 16 0 ，
解得：m 2 .....................................................2 分
2 2
(2)解：∵x1，x2是方程 x 2 m 1 x m 5 0 的两个根，
∴ x1 x2 2 m 1 2， x1·x2 m 5．......................................3 分
x 2 x 2 x x 2∵ 1 2 1 2 2x x 62 ，即m21 2 4m 21 0，
∴m 3或m 7．.....................................................5 分
∵ 2 m 1 0，
∴m 3，............................................................6 分
∴这个三角形的周长 L 6 x1 x2 6 2 3 1 14 .......................7 分
22.解：(1)当 0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx，将（4，400）代入得：400＝4k，
解得：k＝100，故直线解析式为：y＝100x，.........................2 分
a
当 4≤x≤10 时，设反比例函数解析式为： y ，将（4，400）代入得：400
x
a 1600
＝ ，解得：a＝1600，故反比例函数解析式为： y ；..........4 分
4 x
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为 y＝100x（0≤x≤4），下降阶段的函
y 1600数关系式为 （4≤x≤10）．
x
(2)当 y＝200，则 200＝100x，解得：x＝2，...................................5 分
1600
当 y＝200，则 200＝ ，解得：x＝8，.................................6 分
x
∵8﹣2＝6（小时），....................................................7 分
∴血液中药物浓度不低于 200 微克/毫升的持续时间 6小时．
五、解答题（每小题 8 分，共 16 分）
23.(1)设 y与 x之间的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0），
3
2k b 120
将（2，120），（4，140）代入 y＝kx+b得： ，
4k b 140
k 10
解得： ，
b 100
∴y与 x之间的函数关系式为 y＝10x+100（0＜x＜20）．...........................3 分
(2)（60﹣3﹣40）×（10×3+100）
＝（60﹣3﹣40）×（30+100）
＝17×130
＝2210（元）．............................................................5 分
答：当每千克干果降价 3元时，超市获利 2210元．
(3)依题意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2090，
整理得：x2﹣10x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝9．......................................................7 分
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝9．....................................................................8 分
答：这种干果每千克应降价 9元．
24.解：(1)解：BD=CE，
证明：∵将线段 AD绕点 A逆时针旋转 60°得到 AE，
∴AD=AE，∠DAE = 60°，
∵△ ABC是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = 60° = ∠DAE，
∴∠BAD = ∠CAE，
∴△ ABD ≌△ ACE SAS ，
∴BD = CE；................................................................2 分
(2)证明：∵将线段 AD绕点 A逆时针旋转 60°得到 AE，
∴AD = AE，∠DAE = 60°，
∴∠ADE = ∠AED = 60°，
∴∠ADB = 120°，
∵△ ABC是等边三角形，
∴AB = AC，∠BAC = 60° = ∠DAE，
∴∠BAD = ∠CAE，
∴△ ABD ≌△ ACE SAS ，
∴∠ADB = ∠AEC = 120°，∴∠BEC = 60°，
4
∴∠AEB = ∠BEC，
∴EB平分∠AEC．............................................................5 分
(3)解：连接 AE，如图，
由旋转可得 AD = DE，∠DDE = 60°，
∴△ ADE是等边三角形，
∴DE = AD
由(1)知 BD = CE (第 24 题)
∴△ DCE的周长= CD + CE + DE = CD + BD + AD = BC + AD = 2 + AD，
∴当 AD最小时，△DCE的周长最小，最小值= 2 + AD，
∴当 AD ⊥ BC时，AD最小，此时△ DCE的周长最小，
∵AD ⊥ BC，等边△ ABC，
1
∴BD = BC = 1，
2
由勾股定理，得 AD = AB2 BD2 = 22 12 = 3
∴△ DCE的周长最小值= 2 + AD = 2 + 3．.....................................8 分
六、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
25.(1)解：由点 C 0,2 ，得 OC = 2，
由已知矩形平移得，OO' = t，OC = O'C' = 2，∠COE = ∠C'O'O = 90°，
又△ OAB是等腰直角三角形，得∠BOO' = ∠BAO = 45°，
∴△ OOF是等腰直角三角形，
∴OO' = O'F = 1，
∴点 F的坐标 F(1,1)，点C'的坐标C' 1,2 ；.............................2 分
(2)解：①由平移知，O'C' = 2，∠C' = ∠C'O'O = 90°，OO' = t，
如图，过点 G作 GM ⊥ OA于M，
∴ GM = OM = 2，
∴O'M = C'G = t 2，
由C'D' ∥ OA，
得∠O'AN = ∠C'HN = 45°，
∴△ O'AN与△ C'NH (第 25 题)均为等腰直角三角形，
又 OA = 6，
∴O'A = O'N = 6 t，
∴C'H = C'N = 2 6 t = t 4，
∴ S = S 1 ' ' ' ' 1 ' '梯形 OGC'O' S△C'NH = C G + OO O C C H C N，2 2
5
1 1
= t 2 + t × 2 t 4 2
2 2
1
= 2t 2 t 4 2
2
= 1 t2 + 6t 10，
2
其中 t的取值范围是 4 < t < 6；................................................6 分
5
②∵ t 时，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为等腰直角三角形，
3
S 1 5 5 25∴ ........................................................8 分
2 3 3 18
当 t = 4 2时，矩形O'C'D'E'与△OAB重叠部分为五边形，
2
∴ S 1 t 2 6t 10 1 4 2 6 4 2 10 26 24 2，
25 2 2
∴ S 26 24 2....................................................10 分
18
26.解：(1)把点 B，点 C的坐标代入解析式，
9 3b c 0
得： ，
c 3
b 2
解得： ，
c 3
2
∴二次函数得表达式为 y x 2x 3 ；..............................2 分
(2)过点 P作 y轴的平行线与 BC交于点 Q，
设 P(x, x2 2x 3)，
设直线 BC的函数关系式为 y mx n，则
3m n 0 m 1
，解得：
n 3 n 3
得直线 BC 的解析式为 y x 3，
则Q(x, x 3)， (第 26 题（2）)
S 1 1 3 3
2 27
∴
CPB S
2
BPQ S CPQ QP BO x 3x 3 x ，
3 2 2 2 2 8
当 x 时，△CPB的面积最大，
2
(3 15 27此时，点 P的坐标为 ， )，△CPB的面积的最大值为 ．.................6 分
2 4 8
(3)存在点 P，使四边形 POP C为菱形，如图所示，
设 P(x, x2 2x 3)，
PP 交CO于点 E，若四边形 POP C是菱形，则 PC PO，
6
连接PP ，则 PE CO，OE CE
3
，
2
∴ x2 2x 3 3 ，
2
x 2 10 2 10解得 1 ， x2 （不合题意，舍去），2 2
3点 P (2 10的坐标为 ， )；..................10 分
2 2
(第 26 题（3）)
7

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