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第三章 函数
第一节 函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平面直角坐标系 ☆☆☆ 平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查，分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。预计2024年各地中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大．
考点2 点的坐标特征与变换 ☆☆
考点3 坐标方法的简单应用 ☆☆
考点4 函数 ☆☆☆
■考点一　平面直角坐标系
1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）．
2．平面直角坐标系
平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。（见图1）
原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系原点。
坐标平面 坐标系所在的平面叫做坐标平面。
象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1）
点的坐标 对于坐标平面内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b). （见图2）。
图1 图2
■考点二　点的坐标特征与变换
1．点的坐标特征：已知点P（a，b）
第一象限：a>0，b>0； 第二象限：a<0，b>0； 第三象限：a<0，b<0； 第四象限：a>0，b<0；
原点：a=0，b=0； x轴上：b=0； y轴上：a=0；
2．轴对称与中心对称：已知点P（x，y）
（1）点P关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点P关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
（3）点P关于原点的对称点为（-x，-y）．
3．图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y）
1）点P向右平移a个单位，坐标变为（x+a，y）；2）点P向左平移a个单位，坐标变为（x-a，y）；
3）点P向上平移b个单位，坐标变为（x，y+b）；4）点P向下平移b个单位，坐标变为（x，y-b）．
4.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为： ；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则 ．
■考点三　坐标方法的简单应用
确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
■考点四　函数
1、函数的相关概念：
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
2、函数的三种表示法的优缺点
优点 缺点
解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性
图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
■易错提示
1.有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同，坐标轴上的点不属于任何象限。
2.到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数。
3.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小，注意和函数平移的区别。
■考点一　平面直角坐标系
◇典例1：（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪
【答案】C
【分析】根据题意，声音的前一部分表示列数，后一部分表示行数，举出即可求解．
【详解】解：依题意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”，对应的字母分贝为D，O，G，故选：C．
【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·湖北宜昌·统考一模）图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（ ）
A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B．只有两个同学的看电视时间是相同的
C．只有两个同学的阅读时间是相同的 D．阅读时间大于看电视时间的同学较多
【答案】B
【分析】先用有序实数对表示图中各点为 ，进而根据各点分析各选项即可得解．
【详解】解：名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间在图中表示的点用有序实数对表示，
∵只有的横纵坐标相同，
∴只有一个同学的阅读和看电视的时间相同，故A说法正确，不符合题意；
∵和的横坐标相同，和的横坐标相同，
∴有名同学看电视时间是小时，另有名同学看电视的时间为小时，故B说法错误，符合题意；
∵只有与的纵坐标相同，
∴只有两个同学的阅读时间是相同的，故C说法正确，不符合题意；
∵共人的横坐标小于纵坐标，共人的横坐标大于纵坐标，∴阅读时间大于看电视时间的同学较多正确，故D说法正确，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查有序数对，解题的关键是利用有序对来表示点的位置以及理解有序数对表示的意义．
◇典例2：（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
【答案】 天文馆
【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答．
【详解】解：∵表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，
∴可建立如图所示平面直角坐标系：
由图可知：攀岩的位置可以表示为，天文馆的位置离入口最近．故答案为：，天文馆．
【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，确定原点位置．
◆变式训练
1.（2023·山西晋城·统考一模）全世界大约有14000余种蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亚马孙河流域品种最多，在世界其他地区除了南北极寒冷地带以外都有分布．如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端B，C两点的坐标分别为，，则蝴蝶“尾部”点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据翅膀两端B，C两点的坐标分别为，建立平面直角坐标系求解即可．
【详解】解：由题意得 蝴蝶“尾部”点A的坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用，根据题意建立坐标系是解答本题的关键．
■考点二　点的坐标特征与变换
◇典例3：（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，得出，再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：，同号，，，
A.在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B.在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C.在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D.在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练判断的正负是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023年浙江省丽水市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断该点所在的象限．
【详解】解：，，，满足第二象限的条件．故选：B．
【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点．
2.（2023·河南驻马店·统考三模）点在第二象限内，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一，满足均可）
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于0求出的取值范围，由此即可得．
【详解】解：∵点在第二象限内，，解得，则的值可以是0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握第二象限内的点的横坐标小于0是解题关键．
◇典例4：（2023·广东湛江·统考二模）已知点在x轴上，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了x轴上的点的坐标特征，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出a即可．
【详解】解：在x轴上，，解得，故答案为：．
◆变式训练
1.（2023·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
【答案】1
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列出方程求解得到a的值，即可得解．
【详解】解：∵点在y轴上，∴a-1=0，解得：a=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
2.（2023·广东湛江·统考一模）已知点，当时，点在第 象限，当点在轴上时， ．
【答案】 四
【分析】本题主要考查了各象限内点的坐标符号特征以及坐标轴上的点的特征，解题的关键是熟记各象限内点的坐标符号．时，横坐标大于零，纵坐标小于零，即可得出答案，再根据轴上的点的纵坐标为，即可求解得．
【详解】解：时，，，由第四象限，可知点在第四象限；当点在轴上时，由轴上的点的纵坐标为可得，解得．故答案为：四；．
◇典例5：（2023·江苏盐城·校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
∵在第二象限，∴，解得，故选：C．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
◆变式训练
1. （2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第 象限．
【答案】一
【分析】根据得到，确定M的位置，后确定对称点的坐标，解答即可．
【详解】∵，∴，∴，
∴，故点N在第一象限，故答案为：一．
【点睛】本题考查了实数的非负性，关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变相反数，熟练掌握对称点的确定是解题的关键．
2.（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．
【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，故坐标为．故选B．
【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．
◇典例6：（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．
【答案】
【分析】由将线段向右平移4个单位长度，可得点A向右边平移了4个单位与C对应，再利用“右移加”即可得到答案．
【详解】解：∵将线段向右平移4个单位长度，∴点A向右边平移了4个单位与C对应，
∴ 即 故答案为：
【点睛】本题考查的是平移的坐标变化规律，熟记“右移加，左移减，上移加，下移减”是解本题关键．
◆变式训练
1.（2023·辽宁·模拟预测）如图，顶点，的坐标分别为，，将平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可计算出点E的坐标．
【详解】解：由题可知平移后得到点；
∴是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；
∴点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度；∴点；故答案为．
2．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．
【答案】
【分析】先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，从而求出点A8的坐标为（0，-8），由此求解即可．
【详解】解：∵把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，
∴第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向右或向上平移n个单位长度得到下一个点，∵O到A1是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，A1到A2是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，A2到A3是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，A3到A4是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，A4到A5是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，∴可以看作每四次坐标变换为一个循环，每一个循环里面横坐标不发生变化，纵坐标向下平移4个单位长度，∴点A8的坐标为（0，-8），∴点A8到A9的平移方式与O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9个单位，向上平移9个单位，∴A9的坐标为（9，1），
同理A9到A10的平移方式与A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10个单位，向上平移10个单位，∴A10的坐标为（-1，11），故答案为：（-1，11）．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
◇典例7：（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：

则 由题意可得：，，∴，
∴，∴，，
∴点的坐标为，故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
◆变式训练
1.（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，将线段先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转，则点B的对应点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
【详解】解：如图，将线段先向右平移5个单位，得到点，连接，将绕原点顺时针旋转，则对应坐标为，故选：D．

【点睛】本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．
2.（2023·河南周口·校联考三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、4s时，点A的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点A的对应点的坐标．
【详解】解：∵，∴A在第一象限的角平分线上，
∵叶片每秒绕原点顺时针转动，∴，，，，
∴点A的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵，∴第时，点A的对应点的坐标与相同，为．故选：B．

【点睛】本题考查了旋转的性质，点的坐标，找到点A的坐标循环的规律是解题的关键．
◇典例8：（2023·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
【答案】（2，2）或（，-2）
【分析】设P点的坐标为（x，y），由“和谐点“P到x轴的距离为2得出|y|=2，将y=2或-2分别代入x+y=xy，求出x的值即可．
【详解】设P点的坐标为（x，y），∵“和谐点“P到x轴的距离为2，∴|y|=2，∴y=±2．
将y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2，∴P点的坐标为（2，2）；
将y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x=，∴P点的坐标为（，-2）．
综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（，-2）．故答案为（2，2）或（，-2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，得出P点的纵坐标为2或-2是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为 ．
【答案】或
【分析】根据等距点的定义求出不同情况下的的值即可；
【详解】当时，，解得：或（舍去）；
当时，，解得：（舍去）或；
∴或；故答案是：或．
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识点，属于阅读理解类题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
◇典例9：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由轴，，根据坐标的定义可求得y值，根据线段最小，确定，垂足为点C，进一步求得的最小值和点C的坐标．
【详解】解：如图，
轴，∴C点的纵坐标为与A点的纵坐标相同，即，
∵当时，线段最短，此时轴，
∴此时C点的横坐标与B点的横坐标相同，即，
即，此时．故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟记点到坐标轴的距离与这个点坐标的区别及点到直线垂线段最短是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·河南信阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，折痕是，连接，，已知点，则点C的坐标是（ ）

A． B． C．（8，6） D．
【答案】A
【分析】由矩形折叠可知，，，可求出，，再根据点A的坐标求出，，根据特殊角三角函数求出，然后求出，最后根据得出答案．
【详解】由矩形折叠可知，，．
∴．在中，，
∴．∴由折叠可知，．
∵，∴.根据矩形的性质，可知，
由折叠的性质，得.在中，，
∴，即．
∵，∴，∴．
又∵，∴．
在中，，∴，即，
∴．故点．故选：A．
【点睛】这是一道关于矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数值等，根据折叠的性质和矩形的性质得出相应线段的长是解题的关键．
2．（2023·江苏南通·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作于，如图所示，由尺规作图得到平分，由三角形全等的判定得到，从而求出线段长，设，则，由勾股定理得到方程求解得到，再根据等面积法求出，则，求出，即可得到答案．
【详解】解：过点作于，如图所示：

由作图得：平分，，
，，，，，
，，，，，
设，则，，即，解得，
，即，解得，，
，，故选：C．
【点睛】本题考查图形与坐标，涉及角平分线、全等三角形的判定与性质、勾股定理及等面积法求线段长等知识，读懂题意，数形结合，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
■考点三　坐标方法的简单应用
◇典例10．（2023·广东佛山·统考二模）下列选项中，能确定物体位置的是（ ）
A．距离学校500米 B．季华路 C．东经，北纬 D．北偏西
【答案】C
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、距学校500米，不能确定具体位置，故本选项错误；
B、季华路，不能确定具体位置，故本选项错误；
C、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项正确；
D、北偏西，不能确定具体位置，故本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置．理解确定坐标的两个数是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023春·河北保定·八年级校联考期中）下列四种描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．某电影院5号厅2排 C．北京长安大街 D．一架飞机距离地面10千米
【答案】A
【分析】根据在平面内，确定一个点的位置需要两个有序数对逐项判定即可．
【详解】解：A、东经，北纬，可以确定位置，符合题意；
B、某电影院5号厅2排，无法确定位置，故不符合题意；
C、北京长安大街，无法确定位置，故不符合题意；
D、一架飞机距离地面10千米，无法确定位置，故不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查坐标位置的确定，明确题意，确定一个点的位置需要两个条件是解答此题的关键．
◇典例11：（2023·山东滨州·九年级统考期末）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为．故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．

【答案】
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为,故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
■考点四　函数
◇典例12：（2023·安徽滁州·八年级校考阶段练习）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是
C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是
【答案】A
【分析】根据常量和变量的概念解答即可．
【详解】解：球的体积是，球的半径为，则，
其中变量是，；常量是， 故选：．
【点睛】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·湖北恩施·统考一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．且 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：，解得：且，故选：A．
【点睛】本题考查的函数的自变量的取值范围，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，求解不等式组的解集，熟练的根据代数式有意义的条件求解函数的自变量的取值范围是解本题的关键．
2．（2023·广东湛江·校联考一模）当时，函数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入函数解析式进行求解即可．
【详解】解：当，；故选A．
【点睛】本题考查求函数值，解题的关键是正确的计算．
◇典例13：（2023·广西·统考一模）下列各曲线中哪个不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【详解】解：显然A、B、C三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；D、对于x＞0的部分值，y都有两个或三个值与之相对应，则y不是x的函数；故选D．
【点睛】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
◆变式训练
1.（2023·北京海淀·八年级统考期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】由函数的概念求解即可．
【详解】①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，所以V是自变量，S是因变量，所以S是V的函数，符合题意；
②：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函数，不符合题意；③：由题意可知，对于水面的面积S的每一个数值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函数，不符合题意；
④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，水面的面积S都有唯一值与之对应，h是自变量，S是因变量，所以S是h的函数，符合题意；所以正确的序号有①④，故选：B．
【点睛】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念．
2．（2023·河北沧州·九年级统考开学考试）下列各式，不能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义对每个选项一一判断即可．
【详解】A、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．
B、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．
C、，对于x的每一个取值，y都有两个确定的值，不符合函数的定义．
D、，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义．故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的定义，熟记函数的定义是解题关键．
3．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数；③如表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．

【答案】①②③
【分析】根据函数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数；表述正确，故①符合题意；
②表达式中，y是x的函数；表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；故答案为：①②③
【点睛】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．
◇典例14：（2023·广西南宁·统考二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道，进而求解即可．
【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；
火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；符合上述分析过程的：D．选：D．
【点睛】本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化
◆变式训练
1.（2023·湖南永州·校考二模）2023年1月22日，电影《流浪地球2》在万达广场上映，小赵一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到达剧场，小赵在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离家的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解横轴和纵轴表示的实际量，然后根据实际情况：汽车离家的距离y(千米)与行驶时间的函数关系，来判断函数的变化对应的实际情况，再进行逐一判断，即可求解．
【详解】解：随着时间的增加，汽车离家的距离在增加，由此判断排除C、D错误；由于途中停车加油耽误了几分钟，此时时间的增加，但车离家的距离没有变化，后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．故选：B．
【点睛】本题考查了函数图象的实际应用，理解横纵坐标表示是实际意义，会根据意义判断函数的变化对应的实际情况是解题的关键．
◇典例15：（2023·江西南昌·统考一模）一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如下表：
时间 0 1 2 3 4 …
速度 0 1.5 3 4.5 6 …
则时，这个钢球的速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据表格可得速度与时间的比值为定值，继而求解即可．
【详解】由表得，速度与时间的比值为，
∴当时，这个钢球的速度是，故选：A．
【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（　　）
A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
【答案】C
【分析】根据图象可求得当，时苹果的单价，从而计算出一次购买3千克苹果和分三次每次购买1千克苹果的付款金额，从而可解答．
【详解】根据图象可得，当时，每千克苹果的单价是（元），
当时，每千克苹果的单价是（元），
故一次购买3千克这种苹果需要花费：（元），
分三次每次购买1千克这种苹果需要花费：（元），（元），
即一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象的应用，首先仔细观察函数图象，从中找到信息进行求解．
2．（2023·广东湛江·统考一模）在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为分钟，水库中积水量为吨，图中的折线表示某天与的函数关系，下列说法中：①这天预警水库排水时间持续了分钟；
②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分；
③预警水库最高积水量为吨；④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分．
其中正确的信息判断是　　

A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】本题考查函数图象；根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象得：～分，水库开始积水，
～分，水库有一定量的积水，水库的排水系统打开，～分时，水库停止进水，只排水，
这天预警水库排水时间持续了分钟，故①错误；
吨分，也就是水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分，②正确；从图象看出预警水库积水量为吨时停止进水，并不能反映出预警水库的最高积水量，③错误；从图象看出河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分，④正确．故选：D．
1．（2023年浙江省台州市中考数学真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案．
【详解】解：“車”所在位置的坐标为，
确定点即是平面直角坐标系的原点，且每一格的单位长度是1，
“炮”所在位置的坐标为．故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．
2．（2022·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，得到，就是平移后的对应点的坐标．
【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为．故选A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律是解答本题的关键．
3．（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．
【详解】解：∵边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，
∴∴,故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，数形结合是解题的关键．
4．（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案．
【详解】解：当在上，即时，，当时，；
当在上，即时，，
当在上，即时，；
观察4个选项，符合题意的为D；故选D
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式．
5．（2023年内蒙古中考数学真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；②；③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】利用图表信息结合面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可．
【详解】由矩形及点P运动过程可知：时，点P位于点B处，，
则，，，①正确；
时，点P位于点D处，，，，
，故运动时间为10s，所以③正确；
，，时，点P位于点C处， ，所以②错误；
周长，所以④错误；故①③正确，正确得有2个，故选C．
【点睛】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点位置是解题的关键．
6．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵B，C的坐标分别为，∴坐标系的位置如图所示：

∴点的坐标为：，连接，将绕点顺时针旋转后，如图，叶柄上点A对应点的坐标为；故答案为：
【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．
7．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点所在象限是第 象限．
【答案】三
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：的横坐标为负数，纵坐标为负数，在第三象限，故答案为：三．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
8．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解．
【详解】解：依题意，∴且，故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
9．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．

【答案】－1
【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解．
【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F

由题意知，，∴∴
∵，∴，∴∴
∴故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键．
10．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．

【答案】4
【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了小时，列方程求解．
【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时，
则：，解得：，∴，∴，故答案为：4．
【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键．
1.（2023·山西太原·统考一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论
【答案】A
【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解．
【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是数形结合，故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键．
2．（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）

A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里
【答案】C
【分析】据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于的角，进行判断即可．
【详解】根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里，故选：C．
【点睛】本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键．
3．（2023年江苏中考模拟）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．
【详解】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑一段时间后减速到②，然后再加速再匀速到①，
由于体力原因，应该第一个50米速度快，用的时间少，第二个50米速度慢，用的时间多，
故他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是D．故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的图象，要根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得出正确的结论．
4．（2023·湖南长沙·中考模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．故选D．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
5．（2023·湖北荆州市·中考模拟）若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意求出点关于轴的对称点坐标，根据点在第四象限列方程组，求解即可.
【详解】∵∴点 关于轴的对称点坐标为
∵在第四象限∴ 解得： 故选：C
【点睛】本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找见相关的关系是解题关键．
6．（2023·内蒙古包头·校考三模）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位后得到点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】向右平移，横坐标加，纵坐标不变；另，故在第一象限．
【详解】向右平移4个单位后得到点坐标为，
∵∴新点在第一象限．故选：A
【点睛】本题考查点平移的坐标变化，直角坐标系各象限点的坐标符号，掌握点平移与坐标的联系是解题的关键．
7．（2023·广东佛山·校考三模）已知点在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用第四象限点的坐标的特点得出一元一次不等式组，解出后得到答案．
【详解】解：点在第四象限，
解得．故答案选：B．
【点睛】本题考查象限内点的特点，一元一次不等式组，其中对象限内点的特点的理解是解题的关键．
8．（2023·北京海淀·校考模拟预测）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，将三角板绕原点顺时针旋转，若，则点的对应点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据旋转的性质画出图形，求出，解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图所示，将绕原点顺时针旋转得到，过作轴于，

则，，∴，
∵点在第四象限，∴点的对应点的坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、坐标与图形性质以及解直角三角形等知识，求出是解题的关键．
9．（2023·浙江绍兴·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据各个点的位置关系，可得出从开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．
【详解】解：由图知，令（n为整数），
从开始，在第4象限，在第3象限，在第2象限，在第1象限，由规律可得，，
∴点的在第四象限的角平分线上，坐标为故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出４个一循环的规律是解题的关键.
10．（2023·安徽宿州·统考三模）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．(1)将关于y轴对称得到，画出．
(2)将（1）中的绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．

【答案】(1)见解析；(2)见解析，点的坐标为．
【分析】（1）根据轴对称的性质分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可得到；
（2）根据旋转的性质分别作出点、、绕点O顺时针旋转的对应点，顺次连接即可得到，然后根据所作图形可得点的坐标．
【详解】（1）解：如图：

（2）解：如图：

由图可得：点的坐标为．
【点睛】本题考查了作图—轴对称和旋转，熟练掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键．
11．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整

(1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：
x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5
(2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
【答案】(1)8.5，6.5(2)见解析(3)①、之间（含、两点）；②点处
【分析】（1）时，；时，，将相关线段的长代入即可得答案；（2）据表格数据画出函数图象即可；（3）①由图形可知，若物流基地修建在、两点之外，则距离会大于，从而可得答案；②结合①的结论及图③分析可得答案．
【详解】（1）、之间的距离为2千米，、之间的距离为1千米，、之间的距离为千米，沿公路到、两个城镇的距离之和为千米，当时，位于中点处，
此时（千米）；
当时，位于D处，（千米）故答案为：8.5，6.5．
（2）函数的图象如下：
（3）①由图形可知，若物流基地修建在、两点之外，则距离会大于，
故若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，物流基地应该修建在、之间（含、两点）．故答案为：、之间（含、两点）．
②由①可知，若要使物流基地沿公路到、两个城镇的距离之和最小，物流基地应该修建在、之间（含、两点），
由图3可知，、段上离点、的距离相等，再往点以下距离之和一定变大；再往点以上，到、的距离之和会变大，故答案为：点处．
【点睛】本题考查了函数图象在解决实际问题中的应用，数形结合进行分析，是解答本题的关键．
1．（2023·河南新乡·校联考二模）在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“纵变点”．例如：点的“纵变点”为，点的“纵变点”为．若点A在直线上，点A的“纵变点”在第三象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“纵变点”的定义可知且在第二象限，代入上得，然后根据列出关于m的不等式求解即可．
【详解】∵在第三象限，∴，，∴且在第二象限，
∵点A在直线上，∴，
∵，∴，解得，，∴．故选D．
【点睛】本题考查了新定义，平面直角坐标系点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式，求出且在第二象限是解答本题的关键．
2．（2023·四川德阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2023次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点的坐标可得，由正方形的性质可得，，从而得到，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，由将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，得到相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到，由可得点的坐标每8次一个循环，再由可得点和重合，从而得解．
【详解】解：点的坐标为，，
四边形是正方形，，，，如图，连接，

由勾股定理得：，由旋转的性质得：，
将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到，，点的坐标每8次一个循环，
，点和重合，由图可得：，点的坐标为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、点的坐标规律的探索，熟练掌握以上知识点，得到点的坐标每8次一个循环是解题的关键．
3．（2023·河南驻马店·校考二模）如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象，如图②所示，则边的长为（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3．
，即．当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，．
则，代入，得，解得或3，
∵，即，∴，．故选：A．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，掌握三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值是解题的关键．
4．（2024上·福建莆田·九年级校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为第一象限上一点，，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质；
过点作延长线于点，交轴于点，作轴于点，证明是等腰直角三角形，求出和，证明，设，，利用相似三角形的性质求出，，再证，设，，利用相似三角形的性质求出，，计算出和即可．
【详解】解：根据题意画出图形：
过点作延长线于点，交轴于点，作轴于点，
点的坐标为，点的坐标为，，，
，，
，，是等腰直角三角形，
，，
，，，，
设，，，
，，，
，，，，设，，
，，，
，，
点的坐标为．故答案为：．
5．（2023·云南红河·统考一模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）．(1)如图①，当时，求点D的坐标；(2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）过点作轴，根据旋转得到，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可；（2）过点D作轴于G，于H，则，由勾股定理得出的长，等面积法求出，进而求出，勾股定理求出，即可； （3）连接，作轴于G，由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：四边形是矩形，点，点，∴，
过点作轴，则：，
∵旋转，∴，∴，，
∴，∴点坐标为；
（2）过点D作轴于G，于H，如图所示：
∵，∴四边形为矩形，∴，
∵矩形，，∴，，
∵旋转，∴，∴，
∵， 即：，∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
（3）连接，作轴于G，如图所示：
由旋转的性质得：，∴，
∴，∴，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴点E的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
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第三章 函数
第一节 函数初步
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 平面直角坐标系 ☆☆☆ 平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查，分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。预计2024年各地中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大．
考点2 点的坐标特征与变换 ☆☆
考点3 坐标方法的简单应用 ☆☆
考点4 函数 ☆☆☆
■考点一　平面直角坐标系
1．有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做 ，记作（a ，b）．
2．平面直角坐标系
平面直角坐标系 定义 在平面内画两条互相 并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴 水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取 方向为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取 方向为正方向。（见图1）
原点 两坐标轴交点为平面直角坐标系 。
坐标平面 坐标系所在的平面叫做 。
象限 x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为 。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（见图1）
点的坐标 对于坐标平面内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的 坐标和 坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作 （见图2）。
图1 图2
■考点二　点的坐标特征与变换
1．点的坐标特征：已知点P（a，b）
第一象限： ； 第二象限： ； 第三象限： ； 第四象限： ；
原点： ； x轴上： ； y轴上： ；
2．轴对称与中心对称：已知点P（x，y）
（1）点P关于x轴对称的点的坐标 ；（2）点P关于y轴对称的点的坐标 ．
（3）点P关于原点的对称点为 ．
3．图形（点）在坐标系中的平移：已知点P（x，y）
1）点P向右平移a个单位，坐标变为 ；2）点P向左平移a个单位，坐标变为 ；
3）点P向上平移b个单位，坐标变为 ；4）点P向下平移b个单位，坐标变为 ．
4.两个公式
（1）中点公式：若、，则AB中点C坐标为： ；
（2）两点距离公式：已知两点：、，则 ．
■考点三　坐标方法的简单应用
确定一个物体的位置的方法：1）有序实数对确定点的位置--行列定位法；2）方位角+距离确定点的位置--极坐标定位法；3）用“经纬度”确定点的位置--经纬定位法；4）区域定位法。
■考点四　函数
1、函数的相关概念：
变量：在一个变化过程中， 的量称为变量.
常量：在一个变化过程中， 的量称为常量.
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 ，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为 ； 2）函数解析式含有分式时，分式的分母 ；3）函数解析式含有二次根式时，被开方数 ；4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数 ；5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的 .
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式.
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的 。
2、函数的三种表示法的优缺点
优点 缺点
解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性
图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
■易错提示
1.有序数对（a，b）与（b，a）顺序不同，含义也不同，坐标轴上的点不属于任何象限。
2.到x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数。
3.因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小，注意和函数平移的区别。
■考点一　平面直角坐标系
◇典例1：（2023·吉林·统考一模）在学习有序数对时，老师和同学们用如图所示的密码表玩听声音猜动物的游戏．当听到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-叮”时，分别对应的字母是“C，A，T”，表示的动物是猫．当听到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”时，表示的动物是（ ）
A．牛 B．鱼 C．狗 D．猪
◆变式训练
1．（2023·湖北宜昌·统考一模）图中显示了10名学生平均每周用于阅读课外书的时间和用于看电视的时间（单位：h），下列说法中错误的是（ ）
A．只有一个同学的阅读和看电视的时间相同 B．只有两个同学的看电视时间是相同的
C．只有两个同学的阅读时间是相同的 D．阅读时间大于看电视时间的同学较多
◇典例2：（2023·北京海淀·校考一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近．
◆变式训练
1.（2023·山西晋城·统考一模）全世界大约有14000余种蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亚马孙河流域品种最多，在世界其他地区除了南北极寒冷地带以外都有分布．如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀两端B，C两点的坐标分别为，，则蝴蝶“尾部”点A的坐标为 ．
■考点二　点的坐标特征与变换
◇典例3：（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年浙江省丽水市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（2023·河南驻马店·统考三模）点在第二象限内，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
◇典例4：（2023·广东湛江·统考二模）已知点在x轴上，则a的值为 ．
◆变式训练
1.（2023·广东香洲·二模）在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是____．
2.（2023·广东湛江·统考一模）已知点，当时，点在第 象限，当点在轴上时， ．
◇典例5：（2023·江苏盐城·校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D． 或
◆变式训练
1. （2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点，已知x，y满足，则点M关于轴对称的点N在第 象限．
2.（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）

A． B． C． D．
◇典例6：（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，将线段向右平移4个单位长度，得到线段，点A的对应点C的坐标是_______．
◆变式训练
1.（2023·辽宁·模拟预测）如图，顶点，的坐标分别为，，将平移后，点A的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ．
2．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点；…；按此做法进行下去，则点的坐标为_________．
◇典例7：（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，将线段先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转，则点B的对应点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
2.（2023·河南周口·校联考三模）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第时，点的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
◇典例8：（2023·江苏江都·二模）如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点“P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______．
◆变式训练
1．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值，称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”，若，两点为“等距点”，则k的值为 ．
◇典例9：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·河南信阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，折痕是，连接，，已知点，则点C的坐标是（ ）

A． B． C．（8，6） D．
2．（2023·江苏南通·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
■考点三　坐标方法的简单应用
◇典例10．（2023·广东佛山·统考二模）下列选项中，能确定物体位置的是（ ）
A．距离学校500米 B．季华路 C．东经，北纬 D．北偏西
◆变式训练
1．（2023春·河北保定·八年级校联考期中）下列四种描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．东经，北纬 B．某电影院5号厅2排 C．北京长安大街 D．一架飞机距离地面10千米
◇典例11：（2023·山东滨州·九年级统考期末）阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由的度数与的长度m确定，有序数对称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为4，有一边在射线上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023年江苏省连云港市中考数学真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．

■考点四　函数
◇典例12：（2023·安徽滁州·八年级校考阶段练习）球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是（ ）
A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是
C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是
◆变式训练
1．（2023·湖北恩施·统考一模）函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A．且 B． C．或 D．
2．（2023·广东湛江·校联考一模）当时，函数的值是（ ）
A． B． C． D．
◇典例13：（2023·广西·统考一模）下列各曲线中哪个不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·北京海淀·八年级统考期末）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是S的函数；④S是h的函数．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2023·河北沧州·九年级统考开学考试）下列各式，不能表示是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是 ．（填序号即可）
①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数；③如表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．

◇典例14：（2023·广西南宁·统考二模）南湖隧道是南宁市建成的首条水底隧道．一辆小汽车匀速通过南湖隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·湖南永州·校考二模）2023年1月22日，电影《流浪地球2》在万达广场上映，小赵一家开车去观看．最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到达剧场，小赵在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶．在此行驶过程中，汽车离家的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
◇典例15：（2023·江西南昌·统考一模）一个钢球由静止开始从足够长的斜面顶端沿斜面匀变速下，速度变化规律如下表：
时间 0 1 2 3 4 …
速度 0 1.5 3 4.5 6 …
则时，这个钢球的速度是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·北京西城·校考模拟预测）如图，购买一种苹果所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段和射线组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（　　）
A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
2．（2023·广东湛江·统考一模）在我国川西高原某山脉间有一河流，当河流中的水位上升到一定高度时因河堤承压有溃堤的危险．于是水利工程师在此河段的某处河堤上修了一个排水的预警水库连通另一支流．当河流的水位超过警戒位时就有河水流入预警的水库中，当水库有一定量的积水后，就会自动打开水库的排水系统流入另一支流．当河流的水位低于警戒位时水库的排水系统的排水速度则变慢．假设预警水库的积水时间为分钟，水库中积水量为吨，图中的折线表示某天与的函数关系，下列说法中：①这天预警水库排水时间持续了分钟；
②河流的水位超过警戒位时预警水库的排水速度比进水速度少吨分；
③预警水库最高积水量为吨；④河流的水位低于警戒位时预警水库的排水速度为吨分．
其中正确的信息判断是　　

A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
1．（2023年浙江省台州市中考数学真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ）．

A． B． C． D．
2．（2022·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年四川省自贡市中考数学真题）如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023年内蒙古中考数学真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息：
①；②；③点从点运动到点需要；
④矩形纸板裁剪前后周长均为．其中正确信息的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为，将银杏叶绕原点顺时针旋转后，叶柄上点A对应点的坐标为 ．

7．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）在平面直角坐标系中，点所在象限是第 象限．
8．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
9．（2023年山东省东营市中考数学真题）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．

10．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．

1.（2023·山西太原·统考一模）法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究．这种解决问题的方法是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．一般到特殊 D．分类讨论
2．（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）

A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里
3．（2023年江苏中考模拟）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次的折返跑，用时在整个过程中，他的速度大小v（）随时间t（）变化的图像可能是（ ）

A． B．
C． D．
4．（2023·湖南长沙·中考模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北荆州市·中考模拟）若点关于轴的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·内蒙古包头·校考三模）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位后得到点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023·广东佛山·校考三模）已知点在第四象限，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京海淀·校考模拟预测）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，将三角板绕原点顺时针旋转，若，则点的对应点的坐标为 ．

9．（2023·浙江绍兴·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为 ．

10．（2023·安徽宿州·统考三模）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．(1)将关于y轴对称得到，画出．
(2)将（1）中的绕点O顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．

11．（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整

(1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：
x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5
(2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？
1．（2023·河南新乡·校联考二模）在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“纵变点”．例如：点的“纵变点”为，点的“纵变点”为．若点A在直线上，点A的“纵变点”在第三象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川德阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2023次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·河南驻马店·校考二模）如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象，如图②所示，则边的长为（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024上·福建莆田·九年级校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为第一象限上一点，，且，则点的坐标为 ．
5．（2023·云南红河·统考一模）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（）．(1)如图①，当时，求点D的坐标；(2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
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