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第三章 函数
第二节 一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的相关概念 ☆☆ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
考点2 一次函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3 一次函数与方程（组）、一次函数与不等式 ☆☆☆
■考点一　一次函数的相关概念
1.正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫 函数，其中k叫正比例系数。
2.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的 函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说 函数是一种特殊的 函数.。
■考点二　一次函数的图象与性质
1.一次函数的图象特征与性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 . y随x的增大而 .
k>0，b<0 .
k>0，b=0 .
y=kx+b(k≠0) k<0，b>0 . y随x的增大而 .
k<0，b<0 .
k<0，b=0 .
2.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（ ，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于 ．
②当–=0，即b=0时，直线经过 ．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于 ．
3.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当 ，两直线平行； ②当 ，两直线重合；
③当 ，两直线交于y轴上一点；④当 时，两直线垂直．
4.一次函数的平移法则： 。
■考点三　一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为 ；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的 坐标．
2.一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值 的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴 的点的横坐标满足的条件．
3.一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．
从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的 ，以及这两个函数值是何值；
从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的 ，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
■易错提示
1. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
2. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析。
■考点一　一次函数的相关概念
◇典例1：（2023下·山东济宁·九年级统考期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y
◆变式训练
1.（2023·四川成都·二模）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4），其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2022·辽宁沈阳·统考二模）若，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
A．0 B． C． D．
◇典例2：（2022·广东湛江·校联考模拟预测）点在函数的图像上，则代数式的值等于 ．
◆变式训练
1.（2023·湖南长沙·校考一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2023·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
3．（2022·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标________．
■考点二　一次函数的图象与性质
◇典例3：（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆变式训练
1. （2023·上海虹口·校联考二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西渭南·统考二模）一次函数（k为常数，）的图象不经过第四象限，则k的值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
3．（2023·湖南娄底·统考一模）若直线经过第一、三、四象限，则的值可以是 （请填一个具体的数）．
◇典例4：（2023·安徽六安·统考一模）一次函数的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·贵州贵阳·统考三模）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津河西·校考三模）若一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小，则 （写出一个满足条件的值）．
◇典例5：（2023·广东广州·统考模拟预测）若是一次函数图象上的两点，则（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1. （2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知一次函数的图像经过点、，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·安徽合肥·校考模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
◇典例7：（2023·陕西西安·校考模拟预测）把直线沿着轴平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
2.（2023·陕西西安·校考一模）将直线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直线是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象与x轴的交点坐标是 B．函数的图象一定过点
C．函数的图象不经过第三象限 D．若两点，在函数的图象上，则
◆变式训练
1. （2023·上海普陀·统考二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（ ）
A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小
2.（2023下·河南南阳·九年级校联考期中）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）

A．该函数的最小值为 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
◇典例9：（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·辽宁阜新·校联考一模）如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）．

A． B． C． D．
■考点三　一次函数与方程（组）、不等式
◇典例10：（2023·河南平顶山·九年级校联考期中）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，直线与直线交于点，则关于的方程的解为 ；

◇典例11：（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·校考一模）如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ．
2．（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）

A．随x的增大而减小 B．
C．当时， D．关于x，y的方程组的解为
◇典例12：（2023·陕西·校考模拟预测）如图，直线经过点，当时，则x的取值范围为（　　）

A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·广西钦州·统考一模）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
◇典例13：（2023上·贵州毕节·九年级校考期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023·河南南阳·统考一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ．
2.（2021·江苏苏州·统考中考真题）若，且，则的取值范围为 ．
◇典例14：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同
C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克
◆变式训练
1.（2023·湖北武汉·校考三模）某移动通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（ ）

A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜
C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟
1．（2023年湖南省益阳市中考数学真题）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
2．（2023年湖南娄底中考数学真题）将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年四川省雅安市中考数学真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
5．（2023年山东省聊城市中考数学真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）

A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
6．（2023年江苏省南通市中考数学真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ．
7．（2023年江苏省苏州市中考数学真题）已知一次函数的图象经过点和，则 ．
8．（2023年山东省济宁市中考数学真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
9．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．

10．（2023年四川省南充市中考数学真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．

11．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：(1)___________，___________；(2)请分别求出，与x的函数关系式；(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？

1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北唐山·统考二模）对于点和直线：，下列说法正确的是( )
A．若，则经过点 B．若，则不经过点
C．若，，则点在上方 D．若，，则点在下方
3．（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）正比例函数的图象过两点，假设，那么的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
5．（2023·陕西咸阳·校考一模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移m个单位长度后得到的直线与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江杭州·校考二模）若分别在一次函数图像上两个不相同的点，记，则P为（　　）
A．0 B．正数 C．负数 1 D．非负数
7．（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，当时，自变量的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·河南南阳·校联考一模）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的函数表达式： ．
9．（2023·广东阳江·统考二模）在直角坐标系中，O为原点，P是直线上的动点，则的最小值为 ．
10．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．(1)求和的值；(2)当时，对于的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
11．（2023·广东河源·统考三模）春天来了，我校计划组织师生共1600人坐A、B两种型号的大巴车外出春游，且A型车每辆租金为580元，B型车每辆租金为700元，为了保证安全，校方要求必须保证人人都有座位．学生南南发现若租2辆A型与3辆B型大巴车恰好能坐下195人，若租3辆A型与2辆B型大巴车恰好能坐下180人．(1)请问1辆A型与1辆B型大巴车各有几座？
(2)现学校决定租两种型号的大巴车共50辆作为出行交通工具，但政教主任蒋老师发现租车总经费不能超过32000元．他想运用函数的知识进行分析，为学校寻找最节省的租车方案．现蒋老师设学校租了A型大巴车x辆，租车总费用为w元．请你帮蒋老师完成分析过程，确定共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？并求出最低费用．
1．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，在中从左向右依次作正方形，，…，，点在轴上，点在轴上，点在直线上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为，则可表示为(　　)

A． B． C． D．
3．（2023·山东聊城·统考三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ．

4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）为了响应襄阳市人民政府“改善市区河流水质，进一步净化居民生活环境”的号召，襄阳市富春紫光污水处理有限公司（以下简称：富春紫光）
A型 型
价格万元台
处理污水量吨月
决定：今年新采购台污水处理设备用以增强公司的污水处理能力经过市场考查，诚信机械设备公司（以下简称：诚信公司）推荐了A、两种型号的设备供选择，其中每台的报价与月处理污水量如表：经核算，若按诚信公司的报价：购买一台A型设备将比购买一台型设备多万元，购买台A型设备会比购买台型设备少万元．(1)求，的值；(2)诚信公司最初给出的销售条件是：购买型设备原则上不予优惠；购买A型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．并且由于受库存和产能等因素限制，在规定的交货期限内，诚信公司最多只能提供台A型设备，而富春紫光需要这批新购进的台设备月处理污水总能力不能低于吨，①富春紫光买下这批设备最少需要支付多少购买资金？②经过反复谈判协商，诚信公司最终同意：在富春紫光按照最初的销售条件全部买下诚信公司库存的台A型设备的前提下，再给予型设备如下的优惠措施：购买型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．如果富春紫光想要用不超过万元的资金买下这批污水处理设备，试求的最大值？
5．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
(1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______．
(2)当，，时，即．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 6 2 0 2 4 6 …
其中______．②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．

(3)当时，即．①当时，函数化简为______．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
(4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
备考指南
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专项练习
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第三章 函数
第二节 一次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 一次函数的相关概念 ☆☆ 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
考点2 一次函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3 一次函数与方程（组）、一次函数与不等式 ☆☆☆
■考点一　一次函数的相关概念
1.正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数。
2.一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.。
■考点二　一次函数的图象与性质
1.一次函数的图象特征与性质
函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质
y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y随x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
k>0，b=0 一、三
y=kx+b(k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y随x的增大而减小
k<0，b<0 二、三、四
k<0，b=0 二、四
2.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
3.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
4.一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
■考点三　一次函数与方程（组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2.一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3.一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．
从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
■易错提示
1. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关.
2. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值.但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限，学生做题时要注意具体问题具体分析。
■考点一　一次函数的相关概念
◇典例1：（2023下·山东济宁·九年级统考期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y
【答案】A
【分析】形如y=kx（k是常数）的函数是正比例函数，根据定义判断．
【详解】解：y=x表示y是x的正比例函数，故选项A符合题意；
y＝x+1不表示y是x的正比例函数，故选项B不符合题意；
y=x2不表示y是x的正比例函数，故选项C不符合题意；
y不表示y是x的正比例函数，故选项D不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查了函数解析式的判断，正确掌握正比例函数的定义是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·四川成都·二模）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4），其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：根据一次函数的定义可知：（1）；（2）；是一次函数，（3），是反比例函数；（4），是二次函数；故一次函数的个数有2个．故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
2.（2022·辽宁沈阳·统考二模）若，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据y是x的正比例函数，可知，即可求得b值．
【详解】解：∵y是x的正比例函数，∴，解得：，故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．
◇典例2：（2022·广东湛江·校联考模拟预测）点在函数的图像上，则代数式的值等于 ．
【答案】
【分析】把点代入一次函数解析式，求出的关系，再代入计算即可．
【详解】解：∵点在函数的图像上，∴，变形得，
代数式变形得，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数自变量或函数值、求代数式的值，熟练掌握整体思想解答是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·湖南长沙·校考一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】将图像上的点代入解析式求解即可．
【详解】一次函数的图像经过点，
，解得．故选B．
【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程求解参数是解题的关键．
2．（2023·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤m≤1
【分析】根据x＝y， 1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵x＝y，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故答案为：﹣3≤m≤1
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
3．（2022·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标________．
【答案】（0，0）（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数一定经过原点进行求解即可．
【详解】解：当x=0时，y=0，∴直线y=2x上的一个点的坐标为（0，0），
故答案为：（0，0）（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟知其性质是解题的关键．
■考点二　一次函数的图象与性质
◇典例3：（2023·安徽六安·统考二模）关于的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据一元二次方程无实数根得且，即可得，又∵，可得一次函数的图象经过一、二、四象限，即可得．
【详解】解：∵一元二次方程无实数根，
∴且，，，，
又∵，∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
∴一次函数的图象不经过第三象限，故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一次函数的图像性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
◆变式训练
1. （2023·上海虹口·校联考二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限，
∴，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键．
2．（2023·陕西渭南·统考二模）一次函数（k为常数，）的图象不经过第四象限，则k的值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根据题意得出，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵一次函数（k为常数，）的图象不经过第四象限，
∴解得：故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·湖南娄底·统考一模）若直线经过第一、三、四象限，则的值可以是 （请填一个具体的数）．
【答案】1 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数中与对函数图象的影响是解题的关键．根据一次函数所经过的象限确定图象的增减性，然后确定k的取值范围即可解答．
【详解】解：经过第一、三、四象限，
，的值可以为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．
◇典例4：（2023·安徽六安·统考一模）一次函数的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，且，将各选项的点的坐标分别代入一次函数中，求出k的值即可判断．
【详解】解：在一次函数中，y的值随x增大而增大，，且，
A．将代入中，得，解得：，故A选项不符合题意；
B．将代入中，得，解得：，故B选项不符合题意；
C．将代入中，得，解得：，故C选项符合题意；
D．将代入中，得，解得：，故D选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题关键．
◆变式训练
1.（2023·贵州贵阳·统考三模）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大，
∴，∴，故选A．
【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
2．（2023·天津河西·校考三模）若一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小，则 （写出一个满足条件的值）．
【答案】（只要是负数即可）
【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而减小得到，写出一个负数即可．
【详解】解：∵一次函数的函数值y随着自变量x值的增大而减小，
∴，∴满足题意的k的值可以为，故答案为：（只要是负数即可）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小是解题的关键．
◇典例5：（2023·广东广州·统考模拟预测）若是一次函数图象上的两点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易求出，即可判断该一次函数y值随x值的增大而增大．再根据，即得出．
【详解】解：∵，∴一次函数，y值随x值的增大而增大．
又∵，∴．故选D．
【点睛】本题考查比较一次函数值．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
◆变式训练
1. （2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】解：当时，，随x的增大而减小，
则，解得．故选：D ．
【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
2．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知一次函数的图像经过点、，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数，∴y随着x的增大而减小．
又∵5＞－2，∴．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
◇典例6：（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的图象经过点，，进而推出一次函数的图象经过定点，则一次函数一定经过第二象限，同理得到一次函数的图象经过定点，则一次函数必定经过第三象限，再由，得到一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴，
∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，
∴一次函数的图象经过定点；∴一次函数一定经过第二象限，
当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，∴一次函数的图象经过定点，
∴一次函数必定经过第三象限，
又∵，∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：一次函数，随着的增大而减小，，
又，，此一次函数图象过第一，二，四象限．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．
2.（2022·安徽合肥·校考模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数图象可知，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由函数图象可知，，解得，，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是掌握一次函数的性质．
◇典例7：（2023·陕西西安·校考模拟预测）把直线沿着轴平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移规律“上加下减”得到直线的解析式，然后根据已知条件列出关于、的方程组，通过解方程组求得系数的值．
【详解】解：设沿着轴平移后得到直线，则直线的解析式可设为，
把点代入，得，． 联立， 解得．
直线的解析式为．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数、为常数，的图象为直线，当直线平移时不变，当向上平移个单位，则平移后直线的解析式为．
◆变式训练
1．（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为，将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，平移后的直线的解析式为，
将代入得，，解得，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2.（2023·陕西西安·校考一模）将直线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【详解】解：将直线向左平移3个单位，得，即，
再向上平移2个单位，得，即．故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．
◇典例8：（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象与x轴的交点坐标是 B．函数的图象一定过点
C．函数的图象不经过第三象限 D．若两点，在函数的图象上，则
【答案】C
【分析】先根据平移方式及平移后的函数解析式求出函数的解析式，再根据一次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：一次函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，
，解得，．当时，，
函数的图象与x轴的交点坐标是，故A选项说法错误，不合题意；
当时，，函数的图象不过点，故B选项说法错误，不合题意；
由可得函数的图象经过第一、二、四象限，不过第三象限，故C说法正确，符合题意；
由可得随x的增大而减小，若两点，在函数的图象上，则，
故D选项说法错误，不合题意；故选C．
【点睛】本题考查一次函数的平移、一次函数的图象和性质，解题的关键是根据平移方式及平移后的函数解析式求出函数的解析式．
◆变式训练
1. （2023·上海普陀·统考二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（ ）
A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小
【答案】B
【分析】根据正比例函数的图象与性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，，则图像一定经过点，故该选项正确，符合题意；
C. 图像是直线，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，的值随的值增大而增大，时，的值随的值增大而减小故该选项不正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．
2.（2023下·河南南阳·九年级校联考期中）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）

A．该函数的最小值为 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，对应的函数值 D．当和时，对应的函数值相等
【答案】C
【分析】分别求出和时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，函数的最小值为；故该选项错误；
B、当时，y随x的增大而增大，故该选项错误；
C、设时，函数的解析式为，由图可知，点，在直线上，
∴，解得：，∴，∴当时，，故该选项正确；
D、当时，，
设时，函数的解析式为，由图可知，点在直线上，
∴，解得：，∴，∴当时，；
∴当和时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．
◇典例9：（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标．
【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，
∴，，∴，，，∴，∴，
如图，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，

∵，∴，，
等边经过第次翻转后，，等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，故选：D．
【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点．
◆变式训练
1．（2023·辽宁阜新·校联考一模）如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，进一步求得的长，然后根据直角三角函数求得，从而求得线段的长度，即可求解．
【详解】解：∵直线，，∴
∴∴∴直线l与x轴夹角为，
∵为x轴上一点，且，，轴
∴∴
∵，∴∴，
∵轴，∴∴，
∴，同理，…，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用解直角三角函数求得线段的长，解题关键是分析数据找出规律．
■考点三　一次函数与方程（组）、不等式
◇典例10：（2023·河南平顶山·九年级校联考期中）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴关于的方程的解是，故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是理解两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解．
◆变式训练
1.（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，直线与直线交于点，则关于的方程的解为 ；

【答案】
【分析】根据直线与直线交于点得到，再根据一次函数与一元一次方程的关系即可解答．
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴，∴，∴关于的方程的解，故答案为．
【点睛】本题考查了求一次函数的自变量或函数值，一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
◇典例11：（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴，
∴一次函数和的图象相交于点，
∴关于的方程组的解为．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·广东广州·校考一模）如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查两直线与二元一次方程组的解，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标求得结论即可．
【详解】解：∵经过，∴，解得，∴
∴一次函数与的图像相交于点，
∴可有方程组的解为，故答案为：．
2．（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）

A．随x的增大而减小 B．
C．当时， D．关于x，y的方程组的解为
【答案】B
【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可．
【详解】解：A．由图象得随x的增大而减小，故选项正确；
B．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项错误；
C．由图象得：当时，，故选项正确；
D．由图象可知，两条直线的交点为，
∴的解为：，故选项正确；故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
◇典例12：（2023·陕西·校考模拟预测）如图，直线经过点，当时，则x的取值范围为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先推出直线经过，再由，即可得只需要找到当直线的函数图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴直线经过，∴直线与直线交于，
∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，，
∴不等式的解集为，∴当时，x的取值范围为，故选A．

【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·广西钦州·统考一模）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围求解即可．
【详解】解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围，
∵一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，
∴当时，x的取值范围是，故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
2.（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用图象法写出直线在直线下方、在轴上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：直线与直线交于点，
不等式的解集为．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
◇典例13：（2023上·贵州毕节·九年级校考期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，数形结合思想，根据一次函数与坐标轴的交点确定x的取值范围，据此即可作答．
【详解】解：由一次函数的图象，知当时，x的取值范围是故选：A
◆变式训练
1.（2023·河南南阳·统考一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ．
【答案】7
【分析】根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】∵一次函数中，，∴y随x的增大而增大，
∵，∴当时，y有最大值，最大值为，故答案为：7．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
2.（2021·江苏苏州·统考中考真题）若，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0
∵，∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，∴故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
◇典例14：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．第10天销售20千克 B．第7天和第16天的日销售量相同
C．一天最多销售30千克 D．第16天比第1天多销售22千克
【答案】B
【分析】根据图象分别求出当时，当时的函数解析式，逐项进行计算即可求解．
【详解】设，把代入，得，解得，∴，
当时，，即第10天销售20千克，故A正确，不符合题意；
当时，，即第7天销售14千克，当时，，即第1天销售2千克，
当时，设，把代入，得，
解得，∴，当时，，即第16天销售24千克
∴第7天和第16天的日销售量不相同，故B错误，符合题意；
由图得，一天最多销售30千克，故C正确，不符合题意；
∵千克，∴第16天比第1天多销售22千克，故D正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，从函数图象获取信息，熟练掌握知识点是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023·湖北武汉·校考三模）某移动通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（ ）

A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜
C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟
【答案】D
【分析】当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，先求两种方案的解析式，再求对应的时间．
【详解】解：A方案的函数解析式为，B方案的解析式为，
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将或60代入，得分或195分，故选项D不符合题意；
观察图象可得A、B、C选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，注意两种付费方式都是分段函数，根据所给函数上的点得到两个函数的解析式，再结合图象判断是解题的关键．
1．（2023年湖南省益阳市中考数学真题）关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错；
当时，，∴图象与y轴交于点，故B正确；
当时，，∵函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当时，，故D错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2023年湖南娄底中考数学真题）将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可.
【详解】解：将直线向右平移2个单位，
所得直线的解析式为，即，故选：B.
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.
3．（2023年四川省雅安市中考数学真题）在平面直角坐标系中．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的图象绕坐标原点逆时针旋转的函数解析式，再根据函数图象的平移规律即可求出平移后的解析式．
【详解】解：∵点是函数图象上的点，
∴将绕原点逆时针旋转，则旋转后图象经过原点和、
∴将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到图象的解析式为，
∴根据函数图象的平移规律，再将其向上平移1个单位后的解析式为．故选A．
【点睛】本题考查了绕坐标原点逆时针旋转坐标变化的规律和一次函数平移的规律，解题关键是根据绕坐标原点逆时针的得到图象函数解析式为．
4．（2023年甘肃省兰州市中考数学真题）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值．
【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而减小
∴∴当时，故选：D
【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．
5．（2023年山东省聊城市中考数学真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）

A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，设小亮对应函数图象的解析式为，
将代入解析式得，解得，小亮对应函数图象的解析式为，
设小莹对应函数图象的解析式为，
将，代入解析式，得，解得，
小莹对应函数图象的解析式为，
令，得，解得，小亮与小莹相遇的时刻为8:28．故选A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想．
6．（2023年江苏省南通市中考数学真题）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可．
【详解】解：一次函数，随的增大而增大，
对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，
，解得．故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键．
7．（2023年江苏省苏州市中考数学真题）已知一次函数的图象经过点和，则 ．
【答案】
【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，即，∴；故答案为：
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
8．（2023年山东省济宁市中考数学真题）一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意及函数的性质可进行求解．
【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为（答案不唯一）；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
9．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在“ “探索一次函数的系数与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于 ．

【答案】5
【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出，进行比较即可解答．
【详解】解：设过，则有：
，解得：，则；
同理：，
则分别计算，的最大值为值．故答案为5．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．
10．（2023年四川省南充市中考数学真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．

【答案】1
【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可．
【详解】解：，∴当时，，当时，，
∴，，
∴，故答案为：1．
【点睛】题目考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
11．（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：

(1)___________，___________；(2)请分别求出，与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？
【答案】(1)，30(2)，；(3)或
【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可；
（3）由题意可得或，分别计算即可．
【详解】（1）解：，，故答案为：，30；
（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，设，，
将分别代入可得：，
解得：，，∴，；
（3）由题意可得或，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键．
1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若直线和直线平行，其中点的坐标为，将直线向右平移个单位后为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行直线的解析式的值相等设直线的解析式为，把点的坐标代入求出的值，然后利用平移的规律求得即可．
【详解】由题意设直线的解析式为，
∵直线经过点，∴ ，解得，∴，
将直线向右平移个单位后得到， 即，故选：．
【点睛】此题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的值相等是解题的关键．
2．（2023·河北唐山·统考二模）对于点和直线：，下列说法正确的是( )
A．若，则经过点 B．若，则不经过点
C．若，，则点在上方 D．若，，则点在下方
【答案】D
【分析】A.当时，没有意义；B.代入，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若，经过点；C.代入，，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若，，则点在下方；D.代入，，可求出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若，，则点在下方．
【详解】解：A.当时，，没有意义，选项A不符合题意；
B.当时，，点的坐标为
当时，，若，经过点，选项B不符合题意；
C.当，时，，点的坐标为
当时，，若，，则点在下方，选项C不符合题意；
D.当，时，，点的坐标为
当时，，若，，则点在下方，选项D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键．
3．（2023·福建漳州·统考模拟预测）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，则关于与的关系，正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m的两个点A和B，则，，
∵，∴，当取横坐标为正数时，同理可得，综上所述，故选：D

【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
4．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）正比例函数的图象过两点，假设，那么的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】将A、B两点的坐标分别代入正比例函数的解析式，分别求得的值；然后再来求的值并作出选择即可．
【详解】解：∵正比例函数的图象过两点，∴，
∵，∴．故选D．
【点睛】此题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于熟知正比例函数图象上的所有点的坐标均满足该函数的解析式．
5．（2023·陕西咸阳·校考一模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移m个单位长度后得到的直线与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线的图象向右平移m个单位可得：，求出直线，与直线的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
【详解】解：将直线的图象向右平移m个单位可得：，联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为，
交点在第一象限，，解得：，故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，解题的关键是注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0．
6．（2023·浙江杭州·校考二模）若分别在一次函数图像上两个不相同的点，记，则P为（　　）
A．0 B．正数 C．负数 1 D．非负数
【答案】B
【分析】根据，y随着x增大而增大，可知与同号，进一步可知P的符号．
【详解】解：∵一次函数，∴y随着x增大而增大，
∵若分别在一次函数图象上两个不相同的点，
∴与同号，∴，故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质与系数的关系是解题的关键．
7．（2023·陕西商洛·校考三模）如图，一次函数的图象与轴交于点，当时，自变量的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由图象可知，当时，，从而求出，当时，，再结合函数图象得到结果．
【详解】解：当时，，即，，
当时，，当时，自变量的取值范围是，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想求解．
8．（2023·河南南阳·校联考一模）已知正比例函数的图象经过第一、三象限，请写出一个符合条件的函数表达式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据正比例函数图象经过第一、三象限，可知比例系数，由此可解．
【详解】解：∵正比例函数（k为常数，且）的图象经过第一、三象限，
∴，∴函数表达式可以为．故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握正比例函数的系数时，图象经过第一、三象限，时，图象经过第二、四象限．
9．（2023·广东阳江·统考二模）在直角坐标系中，O为原点，P是直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先求出该直线于坐标轴的交点坐标，再根据垂线段最短可得当时，最小即可求解．
【详解】解：把代入得：；
把代入得：，解得：；
∴，，∴，则，
当时，最小，此时，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，解直角三角形，解题的关键是正确理解题意，找出最小时的情况．
10．（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．(1)求和的值；(2)当时，对于的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】对于（1），先根据平行确定k，再将点代入计算得出答案；
对于（2），根据，再分情况讨论即可．
【详解】（1）∵一次函数的图像平行于，∴一次函数的关系式为．
∵一次函数的图像经过点，
∴，解得，∴一次函数的关系式为；
（2）当时，一次函数的值大于函数的值，∴，即．
当时，对于任意x的每一个值都符合题意；
当时，，则，与相矛盾；
当时，，则，，解得，∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数与不等式，一次函数的应用等，根据两直线平行得出函数关系式中的k值是解题的关键．
11．（2023·广东河源·统考三模）春天来了，我校计划组织师生共1600人坐A、B两种型号的大巴车外出春游，且A型车每辆租金为580元，B型车每辆租金为700元，为了保证安全，校方要求必须保证人人都有座位．学生南南发现若租2辆A型与3辆B型大巴车恰好能坐下195人，若租3辆A型与2辆B型大巴车恰好能坐下180人．(1)请问1辆A型与1辆B型大巴车各有几座？
(2)现学校决定租两种型号的大巴车共50辆作为出行交通工具，但政教主任蒋老师发现租车总经费不能超过32000元．他想运用函数的知识进行分析，为学校寻找最节省的租车方案．现蒋老师设学校租了A型大巴车x辆，租车总费用为w元．请你帮蒋老师完成分析过程，确定共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？并求出最低费用．
【答案】(1)每辆A型客车有30个座位，每辆B型客车有45个座位
(2)共有19种租车方案，租A型客车43辆，B型客车7辆最省钱，最低费用为29840元．
【分析】（1）设每辆A型客车有m个座位，每辆B型客车有n个座位，根据题意可列出关于m和n的二元一次方程组，解之即可；
（2）设学校租了A型大巴车x辆，则租了B型大巴车辆，根据题意可列出关于x的一元一次不等式组，解之，即可得出共有几种租车方案；再求出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质，即可求出哪种租车方案最省钱和最低费用．
【详解】（1）解：设每辆A型客车有m个座位，每辆B型客车有n个座位，
根据题意有：，解得：，
答：每辆A型客车有30个座位，每辆B型客车有45个座位；
（2）解：设学校租了A型大巴车x辆，则租了B型大巴车辆，
根据题意，得：，解得：．
∵x为整数，∴x为25到43之间的整数（包括25和43），共19个．
∴有19种租车方案．，
∵，∴当时，w取得最小值，此时，．
答：共有19种租车方案，当租A型客车43辆，B型客车7辆最省钱，最低费用为29840元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
1．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，点，，当直线与线段有交点时，的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】分别求出直线和直线的比例系数k，即可求解．
【详解】解：将代入中得：，解得，
当直线刚好过点B时，将代入中得：，解得，
∴当直线与线段有交点时，k的取值范围为：，故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
2．（2023·河南周口·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，在中从左向右依次作正方形，，…，，点在轴上，点在轴上，点在直线上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形(阴影部分)的面积分别记为，则可表示为(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用每个小正方形的边都与坐标轴平行，，可得到每组小正方形的边长都是该组直角三角形的两直角边之差，利用的坐标探索边长的规律，进而求面积．
【详解】解：直线的关系式为：
，，，，，
每个小正方形的边都与坐标轴平行，，
每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，
每组小正方形的边长都是该组直角三角形两直角边之差，
正方形中，设点，，将点代入直线，
，，正方形中阴影正方形边长为：，阴影部分面积；
正方形中，设点，，，
正方形中阴影正方形边长为；阴影部分面积；
正方形中，设点，，，
正方形中阴影正方形边长；阴影部分面积；
以此推理，第个阴影正方形的边长为；阴影部分面积．故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数点坐标的特点，求正切；能够利用点的坐标探索边长的关系是解题的关键．
3．（2023·山东聊城·统考三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】当时，根据，可得点的坐标为，根据正方形的性质可得出规律进而可求得点，，，……，得坐标，进而可求得，，，……，进而可求解．
【详解】解：当时，有，解得：，点的坐标为，
四边形为正方形，点的坐标为，
同理可得：，，，，，
，，，，，（为正整数），
点的坐标为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数规律探索问题，根据已知找出规律是解题的关键．
4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）为了响应襄阳市人民政府“改善市区河流水质，进一步净化居民生活环境”的号召，襄阳市富春紫光污水处理有限公司（以下简称：富春紫光）
A型 型
价格万元台
处理污水量吨月
决定：今年新采购台污水处理设备用以增强公司的污水处理能力经过市场考查，诚信机械设备公司（以下简称：诚信公司）推荐了A、两种型号的设备供选择，其中每台的报价与月处理污水量如表：经核算，若按诚信公司的报价：购买一台A型设备将比购买一台型设备多万元，购买台A型设备会比购买台型设备少万元．(1)求，的值；(2)诚信公司最初给出的销售条件是：购买型设备原则上不予优惠；购买A型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．并且由于受库存和产能等因素限制，在规定的交货期限内，诚信公司最多只能提供台A型设备，而富春紫光需要这批新购进的台设备月处理污水总能力不能低于吨，①富春紫光买下这批设备最少需要支付多少购买资金？②经过反复谈判协商，诚信公司最终同意：在富春紫光按照最初的销售条件全部买下诚信公司库存的台A型设备的前提下，再给予型设备如下的优惠措施：购买型设备不超过台时无优惠；购买台以上时，超过台的部分每台可按报价的折销售．如果富春紫光想要用不超过万元的资金买下这批污水处理设备，试求的最大值？
【答案】(1)的值为，的值为
(2)①富春紫光买下这批设备最少需要支付万元购买资金；②的最大值为
【分析】（1）根据“购买一台型设备将比购买一台型设备多20万元，购买2台型设备会比购买3台型设备少40万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购买台型设备，则购买台型设备，根据“在规定的交货期限内，诚信公司最多只能提供80台型设备，而富春紫光需要这批新购进的100台设备月处理污水总能力不能低于20600吨”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设富春紫光买下这批设备需要支付万元购买资金，分及两种情况考虑，利用总价单价数量，结合诚信公司给出的优惠条件，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
②利用总价单价数量，结合富春紫光想要用不超过7850万元的资金买下这批污水处理设备，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）根据题意得：，解得：，的值为100，的值为80；
（2）①设购买台型设备，则购买台型设备，
根据题意得：，解得：．
设富春紫光买下这批设备需要支付万元购买资金，
当时，，即，
，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值；
当时，，即，
，随的增大而减小，当时，取得最小值，最小值．
，富春紫光买下这批设备最少需要支付8100万元购买资金；
②根据题意得：，
解得：，的最大值为25．答：的最大值为25．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①分及两种情况，找出关于的函数关系式；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
5．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
(1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______．
(2)当，，时，即．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 6 2 0 2 4 6 …
其中______．②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．

(3)当时，即．①当时，函数化简为______．
②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
(4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【答案】(1)(2)4，图像见详解；(3)，图像见详解；(4)答案见详解；
【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案；
（2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案；
（3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案；
（4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案；
【详解】（1）解：当时，，故答案为：；
（2）解：①当时，，故答案为：4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
；
（3）解：①当时，，故答案为：；
②当时，，当时，，当时，，
当时，，描点如图所示，
（4）解：由解析式得，当时， ，
当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，
当时，，
当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大，
故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式．
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