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第二章 机械振动
第4节 单摆
新教材人教版 物理（高中选择性必修第一册）
秋千的摆动
钟摆的摆动
游乐大摆锤的摆动
课堂引入
1.以上生活中的摆动有什么共同的特点？
2.结合你已经学习过的理想化模型和摆动物体的特点，你是否可以简化出一种新的理想化的物理模型呢？
思考与讨论：
单摆
01
02
单摆的周期
03
单摆的回复力
(1) 摆线
①质量不计
②不可伸缩
③长度远大于小球直径
1.定义：
细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。
2.特点：
(2) 摆球：
看做质点（体积小，质量大）
一、单摆
理想化模型
(2) 实际应用中的单摆，小球的大小是不可忽略。
(1) 摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略不计;
（摆长 L＝摆线长度＋小球半径）
一、单摆
探究思考
都不能：(1)中橡皮筋的伸缩不能忽略；(2)(3)中乒乓球和大木球摆动时，空气阻力不能忽略；(3)中大木球的直径与线的长度相比也不能忽略不计。
下面我们首先采用第一种方法进行分析。
结合单摆模型的特点想一想，下列装置能否视为单摆，为什么？
用什么方法探究单摆的振动是否为简谐振动？
方法二：分析单摆的位移与时间的关系是否满足正弦关系。
方法一：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反。
径向：
切向：
二、单摆的回复力
F回＝mgsinθ
x
G2
G1
当摆角很小时，单摆在竖直面内的摆动可看作是简谐运动。
G
任意位置
平衡位置
1. 法一：
分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反？
情景：单摆摆长为l、摆球质量为m。将摆球拉离平衡位置O后释放，摆球沿圆弧做往复运动。
????角很小时，用弧度制表示的????与它的正弦值近似相等sin????≈???? ≈ ????????；
则：F回 = mgsin????≈ mg????≈???????????? x；
位移方向与回复力方向相反:
F 回= ????????????? x 。
可以写成：F回 = ?k x
?
摆角θ
正弦值
弧度值
1°
0.01754
0.01745
2°
0.03490
0.03491
3°
0.05234
0.05236
4°
0.06976
0.06981
5°
0.08716
0.08727
6°
0.10453
0.10472
7°
0.12187
0.12217
8°
0.13917
0.13963
二、单摆的回复力
注意：单摆的运动不一定是简谐运动，只有在摆角较小的情况下才能看成简谐运动，理论上一般θ角不超过5°。
因此，在摆角θ 很小时，单摆做简谐运动，其振动图象也遵循正弦函数规律，图象是正弦或余弦曲线。
2. 法二：
分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系？
单摆振动的周期与哪些因素有关呢？
猜想？
振幅
质量
摆长
重力加速度
控制变量法
三、单摆的周期
悬点到球心的长度
实验表明：单摆的周期与摆球质量和振幅无关；单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
定量关系?
荷兰物理学家惠更斯（1629-1695）通过实验进一步得到：
单摆的周期公式：
三、单摆的周期
单摆做简谐运动的周期T 与摆长 L 的二次方根成正比，与重力加速度 g 的二次方根成反比，与振幅、摆球质量无关。
思考与讨论：
1. 如果让你设计一个实验，你认为应该首先注意什么问题？
2. 你认为如何测量摆长才较为准确？
3. 你认为如何测量周期才较为准确？
4. 在探究周期和摆长关系的过程中，你认为如何更加形象直观的反映二者关系？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}全振动个数N
平均用时t
周期T
摆长L
30
41.41s
1.38s
51.002cm
30
37.53s
1.25s
40.802cm
30
33.30s
1.11s
31.102cm
30
27.61s
0.92s
21.002cm
30
19.81s
0.66s
10.902cm
三、单摆的周期
数据处理：
单摆周期公式：
????=????????????????
?
荷兰的惠更斯对摆的研究最为突出,他在1656年利用摆的等时性发明了带摆的计时器,并在1657年获得专利,在1658年就出版了《钟表论》一书。
（1）单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关。
（2）摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。
（3）注意事项:
摆长 l : 悬点到球心的距离
适用条件 : 单摆做简谐运动θ<50
利用 单摆测重力加速度
三、单摆的周期
对周期公式的理解：
????=????????????????
?
等效摆长
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}纸面内摆动：
左侧：
右侧：
做垂直纸面的小角度摆动：
l等效＝lsin α
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}垂直纸面摆动：
纸面内摆动：
等效重力加速度(重难点)
圆槽摆
重力加速度与维度、高度、星球等有关！
l等效＝lsin α＋l
l等效＝l
l等效＝l
三、单摆的周期
等效重力加速度
????=2???????????? ????????????????
?
eg:
等效重力加速度的计算方法：为单摆处于静止状态时，摆线的拉力 F (相当于视重)与摆球质量的比值，即 。（有关等效重力加速度的题比较复杂，但只要求出 g 等 就可以求出对应的周期。）
单摆系统的运动状态
单摆小球的受力情况
摆球除受重力和拉力外还受其他力，但其他力只沿半径方向，而沿振动方向无分力，这种情况下单摆的周期不变。
摆球除受重力和拉力外还受其他力，但其他力不沿半径方向，这种情况下g为等效重力加速度
扩展：水平匀强电场情形
课堂小结
四、课堂小结
单 摆
单摆回复力
摆球重力沿切线方向的分力F ＝ mg sinθ
单摆的周期????=????????????????
?
线的伸缩和质量不计
小球可看作质点（摆长为悬点到球心的距离）
理想化模型
θ 很小时，sin????≈????≈???????? ，F ＝ mg sinθ ≈ mg????≈???????????? x，方向相反，满足F＝－k x (简谐运动的条件)。

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