资源简介

概率统计与计数原理
方法技巧
1.独立性检验的一般步骤
（1）独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对于一个实际问题，我们首先要确定能否用独立性检验的思想加以解决.
（2）如果确实属于这类问题，要科学地抽取样本，样本容量要适当，不可太小；
（3）根据数据列出2×2列联表；
（4）提出假设：所研究的两类对象无关；
（5）根据公式计算的值；
（6）比较观测值k与临界值表中相应的检验水平，根据小概率原理肯定或者否定假设，即判断X，Y是否相关.
2.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路
（1）将待求事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和.
（2）将彼此互斥的简单事件转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件.
（3）代入概率的积公式求解.
3.建立回归模型的基本步骤
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.
（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）.
（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到散点大致分布在某条直线附近，则选用线性回归方程）.
（4）按一定规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数.
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等）.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
4.概率与统计解答题的解题策略
（1）准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、独立等；
（2）理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；
（3）明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；
（4）准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率；
（5）确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望；
（6）会套用求、的公式求值，再作进一步分析.
1.为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据：
了解程度 性别 合计
男性 女性
比较了解 60 60
不太了解 20 20
合计
（1）补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？
（2）用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量X表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求X的分布列和数学期望.
附表及公式：
a 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
.
2.2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行,最终阿根廷通过点球大战总比分战胜法国,夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟,若在90分钟结束时进球数持平,需进行30分钟的加时赛,若加时赛仍是平局,则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员,双方轮流踢点球,累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前,一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数,则不需要再踢（例如：第4轮结束时,双方“点球大战”的进球数比为,则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平,则从第6轮起,双方每轮各派1人踢点球,若均进球或均不进球,则继续下一轮,直到出现一方进球另一方不进球的情况,进球方胜出.
（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左 中 右三个方向射门,门将也会等可能地选择球门的左 中 右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出.若球员射门均在门内,在一次“点球大战"中,求门将在前4次扑出点球的个数X的分布列期望；
（2）现有甲 乙两队在决赛中相遇,常规赛和加时赛后双方战平,需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为,乙队每名队员射进点球的概率均为,假设每轮点球中进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球,求在第3轮结束时,甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束,且乙队以获得冠军的概率.
3.网上购物就是通过互联网检索商品信息,并通过电子订购单发出购物请求,厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门,货到后通过银行转账 微信或支付宝支付等方式在线汇款,根据年中国消费者信息研究,超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物,使得网上购物和送货上门的需求量激增,越来越多的消费者也首次通过第三方APP 品牌官方网站和微信社群等平台进行购物,某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据,列表如下:
1 2 3 4 5
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系 若可用,估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数;若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合,计算r时精确到0.01).
参考数据:.附:相关系数,回归直线方程的斜率,截距.
（2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人,再从这7人中任取3人进行奖励,求这3人取自不同天的概率.
（3）该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案:方案一,购物金额每满100元可减10元;方案二,一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
4.某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况,现有份血液样本(数量足够大),有以下两种检验方式:
方式一:逐份检验,需要检验n次;
方式二:混合检验,将其中k(且)份血液样本混合检验,若混合血样无抗体,说明这k份血液样本全无抗体,只需检验1次;若混合血样有抗体,为了明确具体哪份血液样本有抗体,需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为次.
假设每份样本的检验结果相互独立,每份样本有抗体的概率均为.
（1）现有7份不同的血液样本,其中只有3份血液样本有抗体,采用逐份检验方式,求恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率;
（2）现取其中k(且)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为;采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为.
①若,求P关于k的函数关系式;
②已知,以检验总次数的期望为依据,讨论采用何种检验方式更好
参考数据:,,,,.
5.深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队,在对球员的使用上总是进行数据分析,为了考查甲球员对球队的贡献,现作如下数据统计:
球队胜 球队负 总计
甲参加 22 b 30
甲未参加 c 12 d
总计 30 e n
（1）求b,c,d,e,n的值,据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
（2）根据以往的数据统计,乙球员能够胜任前锋,中锋,后卫以及守门员四个位置,且出场率分别为:0.2,0.5,0.2,0.1,当出任前锋,中锋,后卫以及守门员时,球队赢球的概率依次为:0.6,0.8,0.4,0.8则:
①当他参加比赛时,求球队某场比赛赢球的概率;
②当他参加比赛时,在球队赢了某场比赛的条件下,求乙球员担当前锋的概率:
③如果你是教练员,应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员
附表及公式:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
6.2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：
时间段
频数 100 300 m n
（1）现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在通过的车辆数为X，求X的分布列与期望；
（2）由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若，则①；
②；③.
7.随着人民生活水平的不断提高,“衣食住行”愈发被人们所重视,其中对饮食的要求也愈来愈高.某地区为了解当地餐饮情况,随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题.
组别 分组 频数 频率
第1组 14 0.14
第2组 m
第3组 36 0.36
第4组 0.16
第5组 4 n
合计
(1)求m,n,y,x的值;
(2)求中位数;
(3)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”,将频率视为概率,用样本估计总体,从该地区中随机抽取3人,记其中“美食客”的人数为,求的分布列和数学期望.
8.校园师生安全重于泰山,越来越多的学校纷纷引进各类急救设备.某学校引进M,N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干,并组织全校师生学习AED的使用规则及方法.经过短期的强化培训,在单位时间内,选择M,N两种类型AED操作成功的概率分别为和,假设每次操作能否成功相互独立.
(1)现有某受训学生进行急救演练,假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作,求他恰好在第二次操作成功的概率;
(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情,学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示,下面是两种方案：
方案甲：在第一次操作时,随机等可能的选择M或N型AED中的一种,若第一次对某类型AED操作成功,则第二次继续使用该类型设备;若第一次对某类型AED操作不成功,则第二次使用另一类型AED进行操作.
方案乙：在第一次操作时,随机等可能的选择M或N型AED中的一种,无论第一次操作是否成功,第二次均使用第一次所选择的设备.
假定方案选择及操作不相互影响,以成功操作累积次数的期望值为决策依据,分析哪种方案更好？
答案以及解析
1.答案：（1）了解程度与性别无关
（2）X的分布列见解析，数学期望为
解析：（1）补充表格如下：
了解程度 性别 合计
男性 女性
比较了解 60 60 120
不太了解 20 20 60
合计 80 100 180
零假设为：了解程度与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即了解程度与性别无关.
（2）用分层抽样在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人.
X的可能取值为0，2，4，6.
则，，
，.
X的分布列为：
X 0 2 4 6
P
.
2.答案：（1）
（2）
解析：（1）根据题意门将每次扑中点球概率,
X的可能取值为0,1,2,3,4,且,
;
;
；
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
数学期望.
（2）（i）甲队先踢点球,第三轮结束时甲队踢进了3个球,并获得冠军,
则乙队没有进球,所以甲队获得冠军的概率为.
（ii）点球在第7轮结束,且乙队以获胜,
所以前5轮战平,且第6轮战平,第7轮乙队胜甲队
当前5轮两队为时,
乙队胜出的概率为
当前5轮两队为时,
乙队胜出的概率为,
因为上述两个事件互斥,所以乙队胜出的概率为.
3.答案：（1）可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系,8月10日到该专营店购物的人数约为109;
（2）;
（3）选择方案二更划算.
解析:（1）由表中数据可得,,,
,,
所以,
所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系.
而,
则,
所以,
令,可得.
答:8月10日到该专营店购物的人数约为109.
（2）因为,所以从第1天和第5天取的人数分别为3和4,从而3人取自不同天的种数为,
所以概率.
答:这3人取自不同天的概率为.
（3）若选方案一,需付款元.
若选方案二,设需付款X元,则X的取值可能为600,800,900,1000,
则,
,
,
,
所以,
因此选择方案二更划算.
4.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件A,
事件A分为两种情况,一种是前三次检验中,其中两次检验出抗体,第四次检验出抗体,二是前四次均无抗体,
所以,
所以恰好经过4次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为,
（2）①由已知得,的所有可能取值为1,,
所以,,
所以,
若,则,
所以,,
所以,得,
所以P关于k的函数关系式（且）
②由①知,,
若,则,所以,得,
所以(且)
令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,,
,
所以不等式的解是且,
所以且时,,采用方案二混合检验方式好,
且时,,采用方案一逐份检验方式好,
5.答案：（1）,,;有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关;
（2）①;
②;
③乙球员担当中锋.
解析:（1）由列联表中的数据,得,,,
,
所以有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
（2）①设表示“乙球员担当前锋”;表示“乙球员担当中锋”;表示“乙球员担当后卫”;
表示“乙球员担当守门员”;B表示“球队赢得某场比赛”,,
且,,,两两互斥,,,,,
,,,,
所以
,
所以当他参加比赛时,球队某场比赛赢球的概率是0.68;
②乙球员担当前锋的概率;
③当他参加比赛时,在球队赢了某场比赛的条件下,由②知,乙球员担当前锋的概率是;
乙球员担当中锋的概率是;
乙球员担当后卫的概率;
乙球员担当守门员的概率,
显然,为了扩大赢球面,乙球员应担当中锋.
6.答案：（1）分布列见解析；期望为
（2）655
解析：（1）因为，，所以，.
由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为，
车辆数X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以.
（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值
，即，
，
所以.
估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，
，
所以估计在这一时间段内通过的车辆数为.
7.答案：(1),,,;
(2)
(3)分布列见解析,数学期望为.
解析：（1）由题意可得第四组的人数为,
所以,,
又内的频率为,所以,
内的频率为0.04,所以.
（2）由频率分布直方图可得第一、二组频率之和为,
第一、二、三组频率之和为,故中位数在之间,
设中位数为x,则：,解得,
故中位数为.
（3）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为,
由题意可取0,1,2,3,且,
所以,,
,,
所以的分布列为
0 1 2 3
P
8.答案：(1)
(2)见解析
解析：（1）设“操作成功”为事件S,“选择设备M”为事件A,“选择设备N”为事件B
由题意,,,
恰在第二次操作才成功的概率,
,
所以恰在第二次操作才成功的概率为.
（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X,Y,则X,Y可能取值均为0,1,2,
;
;
;
所以
方法一：
;
;
所以
方法二：方案乙选择其中一种操作设备后,进行2次独立重复试验,
所以,
决策一：因为,故方案甲更好.
决策二：因为与差距非常小,所以两种方案均可

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